圆的一般方程更新

1、4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程圆的标准方程圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：特征：直接看出直接看出圆心圆心与与半径半径 复习复习 x2 y 2dxeyf0 把把圆的标准方程圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开，得- -22222202= =- -+ + +- -+ +rbabyaxyx由于由于a, b, r均为常数均为常数frbaebda= =- -+ += =- -= =- -222,2,2令

2、令结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手动动手1.是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2dxeyf0 方程表示的曲线是圆呢？方程表示的曲线是圆呢？ 思考思考2.下列方程表示什么图形？下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.配方可得：配方可得：把方程：把方程：x2 y 2dxeyf0 (1) 当当d2+e2-4f0时时,表示以（表示以（ ） 为圆心，以为圆心，以( ) 为半径的圆为半径的圆.2,2ed- - -fed42122- -+ +222

3、24()()224dedefxy+ +- -+ + + += =(2) 当当d2+e2-4f=0时时,方程只有一组解方程只有一组解x=-d/2 y=-e/2，表示一个点（，表示一个点（ ）.2,2ed- - - 动动脑动动脑(3) 当当d2+e2-4f0时时,方程无实数解方程无实数解,所所以以不表示任何图形不表示任何图形.所以形如所以形如x2 y 2dxeyf0 （d2+e2-4f0）可表示圆的方程可表示圆的方程22224()()224dedefxy+ +- -+ + + += = 圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2dxeyf0圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：

4、(d2+e2-4f0)（1）a=-d/2，b=-e/2，r= fed42122- -+ +没有没有xy这样的二次项这样的二次项（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0； 判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程,若能写若能写出圆心与半径出圆心与半径(1) x2+y2-2x+4y-4=0(2) 2x2+2y2-12x+4y=0(3) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圆心（圆心

5、（1，-2）半径）半径3是是圆心（圆心（3，-1）半径）半径10不是不是不是不是不是不是 练习练习1. 已知圆已知圆 x2+y2+dx+ey+f=0的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3),半径为半径为4,则则d,e,f分别等于分别等于2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是是圆的方程的充要条件是3 , 6, 4)(- -a3 , 6 , 4)(- -b3, 6 , 4)(- - -c3, 6, 4)(- - -d21)( aa21)( ab21)(= =ac21)( addd 练习练习3.圆圆x2+y2+8x-10y+f=0 与与x轴相切轴相切,则这则这个圆截个圆截y轴所得的

6、弦长是轴所得的弦长是4. 点点a(3,5) 是圆是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条的一条弦的中点弦的中点,则这条弦所在的直线方程是则这条弦所在的直线方程是08 = =- -+ + yx 练习练习6)(a5)(b4)(c3)( da 举例举例例例1： 求过三点求过三点o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法几何方法方法一：yxm1( (1, ,1) )m2( (4, ,2) )0圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点因为因为o(0,0),a

7、(1,1),b(4,2)都在圆上都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求解：设所求圆的标准方程为圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法待定系数法方法二：所求所求圆的方程为：圆的方程为：即（即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得 举例举例例例1： 求过三点求过三点o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 举例举例例例1： 求过三点求过三点o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出这个圆的

8、半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求解：设所求圆的一般方程为圆的一般方程为：因为因为o(0,0),a (1,1),b(4,2)都在圆上，则都在圆上，则222240) 0(defxydx ey f+=+-f=0d+e+f+2=04d+2e+f+20=0所求所求圆的方程为圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0 即即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法待定系数法方法三：f=0d=-8e=6解得解得 小结小结( (特殊情况时特殊情况时, ,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单) )注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或若知道或涉及圆心

9、和半径涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用圆的圆的标标准准方程方程较简单较简单.若已知若已知三点三点求圆的方程求圆的方程,我们常常采用我们常常采用圆圆的的一般一般方程用待定系数法求解方程用待定系数法求解. 几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线） 求半径求半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法22222()()0)xaybrxydxeyf-+-=+=设方程为(或列关于列关于a a，b b，r r（或（或d d，e e，f f）的方程组的方程组解出解出a a，b

10、 b，r r（或（或d d，e e，f f），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程） 小结小结求圆的方程求圆的方程例例2. 已知一曲线是与两定点已知一曲线是与两定点o(0,0)、a(3,0)距离的比为距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线并画出曲线. 举例举例2222222( , )(0)(0)12(3)(0)23064( 9)0 x yxyxyxyx-+-=-+-+-=- -解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx .o.（-1，0）a(3,0)m(x,y)直接法直接法例3、由动点p向圆x2+y2=1

11、引两条切线pa、pb，切点分别为a、b， 则动点p的轨迹方程为 60apb = =oyxbpa 举例举例224xy+= 举例举例例例4. 已知线段已知线段ab的端点的端点b的坐标是（的坐标是（4，3），端点），端点a在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段ab的中点的中点m的轨迹方程的轨迹方程.解：解：设点设点m的坐标是（的坐标是（x,y）,点点a的坐标为（的坐标为（x0,y0）由于由于b点坐标为（点坐标为（4，3），），m为为ab的中点，的中点，所以所以23,2400+=+=yyxx整理得整理得. 32, 4200-=-=yyxx又因为点又因为点a在圆上运动，所以在圆上运动

12、，所以a点坐标满足点坐标满足 方程，又有方程，又有（x0+1）2+y02=4 所以所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得整理得1)23()23(22=-+-yx所以，点的轨迹是以（所以，点的轨迹是以（ ）为圆心，为半径的圆）为圆心，为半径的圆3 32 2，yabmxo相关点法相关点法相关点法步骤：相关点法步骤： 1mqi00设被动点（x,y）,主动点 （x ,y ） 100200,2mq,xfxyyfxy=求出点与点 坐标间的关系 0102,3i,xgx yygx y=从中解出ii（ ） 4iiq将（ ）代入主动点 的轨迹方程（已知曲线的方程），化简得被动点的轨迹方程。例例5.已知：

13、一个圆的直径的两端点是已知：一个圆的直径的两端点是a(x1，y1) 、b(x2，y2). 证明：圆的方程是证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 abc p解法一：解法一： 求圆心、求半径求圆心、求半径解法二：解法二： 直接法直接法p点满足点满足papb即即12211- -= =- - - - - -xxyyxxyy 举例举例1定义法：定义法：如果动点如果动点p的运动规律合乎我们已知的的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中则可先设出轨迹方

14、程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。熟悉一些基本曲线的定的常数，即可得到轨迹方程。熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。义是用定义法求曲线方程的关键。求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法 ：2.直接法：直接法：如果动点如果动点p的运动规律满足的等量关系的运动规律满足的等量关系易于建立，则可以用点易于建立，则可以用点p的坐标（的坐标（x，y）表示该）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。（有时要借助等量关系式，即可得到轨迹方程。（有时要借助相关图形的几何性质）相关图形的几何性质） 3.相关点法：相关点法：如果动点如果动点p的运动是由另外某一点的运动是由另外某一点

15、p的运动的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出知曲线方程），则可以设出p（x，y），用（），用（x，y）表）表示出相关点示出相关点p的坐标，然后把的坐标，然后把p的坐标代入已知曲线方的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点程，即可得到动点p的轨迹方程。的轨迹方程。 4.交轨消去参数法：交轨消去参数法：在求动点轨迹时，有时会在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。方程），该法经常与参数法并用。1. 本节课的主要内容是圆的一般方程本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为其表达式为(用配方法求解用配方法求解)3. 给出圆的一般方程给出圆的一般方程,如何求圆心和半径如何求圆心和半径? - -+ += =+ + + + +0402222fedfeydxyx 配方展开2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程一般方程标准方程标准方程(圆心