线性代数华南理工大学线性代数试题答案

1、试卷(一)解答:一. 1. 2. 3. 4. 5. 1,2,-3.二. 1. d 2. a 3. d 4. d 5. d三. 1. 2. .3. 由有 .4. 而向量组: 线性无关,可得 故 ，为一个最大线性无关组.5.令 ，则有： 解得： 的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则六. 证明: 设则: 于是 即 但 因此 从而有 又 线性无关, 因此 于是 故有 线性无关.试卷(二)部分解答:一（3）已知向量组线性相关,求

2、 解: 线性相关可求出 二.(8分) 设,且求矩阵b. 解: ,可逆,且,于是 五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系. (与76页例4.17类似作)六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围. 解: 二次型的矩阵为 由 得特征值对 可得的一个基础解系为: 正交化: 取 对 可得的一个基础解系为: 将分别单位化,得: 取正交变换 ,则此正交变换将二次型化为标准形: 正定七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求解: 设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不

3、同特征值对应的特征向量正交, 则有 即: 此方程的一个基础解系为: 则为的属于特征值3的两个线性无关的特征向量,于是: =八. (10分) 当为何值时,方程组 有惟一解、无穷多解、无解? 解: 记, 系数行列式 (1). 当 时, 由克莱姆法则知方程组有惟一解. (2). 当 时, 于是 方程组无解. (3). 当 时, (i) 当时, 方程组有无穷多解. (ii) 当时, 方程组无解.九(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.证明: (1) 由于, 则存在可逆矩阵 使得 于是由可逆知也可逆,且 (2

4、) 设 记 由 知为的属于的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设a是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：rank(a)=rank(a b)=n.2. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时, -27e. (利用)3. 若t为实数, 则向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3+t）的秩为: 34. 若a为2009阶正交矩阵，为a的伴随矩阵， 则=15. 设a为n阶方阵，是的个特征根，则 = 0二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把a：(b)a, 左乘一个 b，右

5、乘一个 c 左乘一个 d，右乘一个2. 若a为mn 矩阵，是维非零列向量，。集合, 则 (d)a， 是维向量空间， b， 是n-r维向量空间a， 是m-r维向量空间， d， a，b，c都不对3. 若n阶方阵a满足 ，则以下命题哪一个成立 (b) a， ， b， c. ， d， 4. 若a是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：(a)a，矩阵为正交矩阵， b，矩阵 2为正交矩阵 c, 矩阵为正交矩阵， d，矩阵 为正交矩阵5. 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：(c)a, 2007， b，2008c, 2009, d，2000 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对线性

6、方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变. ( 错 )(2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( 对 )(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( 错 )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求向量，在基下的坐标.（坐标为: ）2设计算.解: 五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基.解: 先求矩阵列向量组生成的子空间的一个基.由于可知的前三列线性无关,为子空间的一个基.记将其正交化.令再单位化,令则 为所求标准正交基.六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都

7、有解，证明的秩等于m.证明: 设, 则 为m维向量组. 由于线性方程组对于任意m维向量都有解, 现分别取等于m维基本单位向量: , 可知向量组可由向量组线性表示, 又向量组可由向量组线性表示, 于是向量组与向量组等价, 故 七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵.解: 设 对特征值由，求得基础解系：对特征值，由，求得基础解系： 对特征值，由，求得基础解系： 已两两正交, 再单位化：令，则为正交阵, 且.正交变换为将二次型化为标准形: 八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵. 证明: 由于矩阵，都是正定矩阵,则对于任一有从而 故是正定矩阵.试卷(四):一

8、. 填空题（每小题4分，共20分）1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是:的阶子式全为0.2.已知为单位矩阵，若,则当可逆时,3.若向量组的秩为2时,0或4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则5. 设为阶方阵,是的个特征值,则0.二. 选择题 （每小题4分，共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是：(d).a, b， a) d，2. 若a为mn 矩阵，,令集合, 则(b) a, 是空集; b， 只含一个元素;c, 含有两个以上元素 d， a，b，c都不对3. 若n阶方阵a满足 ，则以下命题哪一个成立(b) a， ， b， c. ， d， 4

9、. 若a,b都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立：(b)a，矩阵为对称矩阵， b，矩阵为对称矩阵 c, 矩阵为对称矩阵， d，矩阵为对称矩阵5. 如果n(n1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值：(b) (因(i,j)元素必在次对角线上)a, 为0， b，为1c, 为2, d，无法确定. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( 对 )(2) 正交矩阵的特征值是实数. ( 错 )(3)一个可逆矩阵a与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( 对 )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求单位向量

10、，它在基下的坐标向量也是.解: 设,由题意, 即于是有解得 又由为单位向量知 因此 故所求向量 或2设n阶方阵计算解: (将第2至n行加到第一行) 五.(10分) 求矩阵的逆矩阵.解: 于是六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵,证明证明: 设 则设是a的一个最大线性无关组，是b的一个最大线性无关组,则，由于可由线性表示，可由线性表示，可由，线性表示，从而即七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.证明: 设为任一方阵, 记 由于 则为对称矩阵, 为反对称矩阵, 而 故得证. 八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵解答见课

11、件.试卷(五):一. 填空题（每小题4分，共20分）1.设是矩阵,那么可逆的条件是: 2.矩阵是二次型的矩阵的条件是: .3.设则.4若为2010阶正交矩阵, 则5将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为设是的个特征值， 则= 1 .二. 选择题 （每小题4分，共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么的逆矩阵是：a.a, b， c, d，2. 若a为mn 矩阵，令集合, 则d.a, 是空集; b， 只含一个元素;c, 含有两个以上元素 d， 是非空集合.3. 若n阶方阵满足 ，则以下命题哪一个成立b. a， ， b， 是可逆矩阵c. ， d， 4. 若a是n阶矩阵，则

12、以下命题哪一个不成立：b.a，矩阵为对称矩阵， b，矩阵为对称矩阵， c, 矩阵为对称矩阵， d，矩阵为对称矩阵5. 如果n(n1)阶矩阵的行向量线性无关，那么：b.a, 的行列式为0， b，的列向量线性无关c, 的秩为0, d，以为系数矩阵的线性方程组有非零解. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 已知是阶矩阵，如果，那么. ( 错 )(2) 如果一个向量组线性无关，那么它的任意一部分向量也线性无关. ( 对 )(3) 如果一个矩阵a是正定的, 那么它的行列式大于0. ( 对 )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求所有向量，它与是正交的.解: 设,由题意知 即解得 故所

13、求向量 ,为任意常数.2设n阶方阵计算.解: (将第2至n行加到第一行) 五.(10分) 求矩阵的伴随矩阵.解:先求 的逆矩阵.由于 ,于是, 所求伴随矩阵六. 证明题（6分） 设是n阶方阵,如果可逆,证明与相似.证明: 由于可逆, 利用可知与相似. 七、（6分）证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积.证明: 设此二次型为:, 其中,由于它的秩为2,且正惯性指数为1,由惯性定理,可作一可逆变换: 将其化为规范形 由可设 则有 于是为两个一次多项式的乘积.八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵解: 设 对特征值由，求得基础解系： 将其正交化:对特征值，由，求得基础解系： 再单位化：令，则为正交阵, 且.正交变换为将二次型化为标准形: 试卷(六):一. 填空题1. 2. 实数.3. 5.45.二. 选择题1. a 2. b 3. b 4. c 5. d三. 判断题 (1) 正确 (2) 正确 （3) 错误 四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1解: 行向量组为：,列向量组为：.设过渡矩阵为 则于是