2018-2019学年湖南省永州市高二下学期期中考试数学试题(解析版)

1、2018-2019学年湖南省永州市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1 命题“ R , x? 4x 4岂0 ”的否定是（）A xR， x2-4x4 0B.-xR， x? -4x 4 _ 0? 2C xR, x-4x40D xR, x-4x 4_0【答案】A【解析】 根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A选项正确故选：A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题2 .平面内，一个动点P，两个定点Fi , F?，若PFi - PF?为大于零的常数，则动点P的轨迹为（）A .双曲线B.射线C .线段D .双

2、曲线的一支或射线【答案】D【解析】根据双曲线的定义，对动点 P的轨迹进行判断，由此确定正确选项【详解】两个定点的距离为 F1F2 , 当PFi - PF2 v F1F2时，P点的轨迹为双曲线的一支;当|PFi - PF2I = F1F2时，P点的轨迹为射线；不存在PR - PF2 a F|F2的情况.综上所述，P的轨迹为双曲线的一支或射线 .故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线定义的辨析，属于基础题2 23 双曲线JJ =1的焦距是( )k2+124k2A . 2 2B. 4C . 8D .与 k 有关【答案】C【解析】 分析：由双曲线的方程根据公式 ca2 - b2，求出c的值，进而可求焦距

3、2c.2 2详解：由双曲线 x一=1可得，k2+124k22 2 2 2 2c=ab =k 12 4 -k =16,.c =4焦距2c =8，故选C.点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.4 向量 a = (-2, -3,1),b 二(2,0, 4), c = (-4, -6, 2)，下列结论正确的是()4,44444 4A all b,a| cB a/b,a_c C. a/c,a_b D.以上都不对【答案】C【解析】先由题中向量的坐标，得到c =2a, ab=-44=o, bc=-88=o,进而可判断出结果.【详解】因为 a=(-2,_

4、3,1), b =(2,0, 4) , c=(-4,-6,2),4a十斗 4 彳 呻所以 a/c , a _ b .故选：C【点睛】本题主要考查向量垂直与向量共线的坐标表示，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.2 2 “5 椭圆9x ky =225的一个焦点是 4,0，那么k二()A 5B. 25C -5D . -25【答案】B【解析】 将椭圆方程化为标准方程，根据焦点坐标求得C，由此列方程求得 k的值.2 2x十yq椭圆的标准方程为 25 225 _ ，由于椭圆焦点为4,0，故焦点在x轴上，且c = 4.2252所以25二4，解得k =25.k故选：B【点睛】本小题主要考查根据椭圆的焦点坐

5、标求参数的值，属于基础题6 .过抛物线= 2px p 0的焦点作一条直线交抛物线于A Xi,yi、B X2,y2 ，第3页共18页则X-|X2B.-4c . p2D . - p2【答案】【解析】设直线AB的方程为x呵手，将该直线方程与抛物线方程联立列出韦达定理，由此可得出”二4匕的值.X1X2y2【详解】抛物线y2 =2px p 0的焦点坐标为,0 L设直线AB的方程为x = my + E ,丿 2将直线AB的方程与抛物线的方程联立px = my，消去 x 得 y - 2mpy - p = 0 , y2 二 2 px由韦达定理得b均在抛物线上，则y2 2pXl匕=2 px22yi/曰2p，得2

6、,Iy他-2 2pyy因此，x1x22yiyy2y24p2孙22p 2p故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦所在直线的性质,般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理法求解，考查运算求解能力，属于中等题7如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -ABQ , CA二CG =2CB，则直线BCi与直线ABi所成角的余弦值为（）在正四面体 ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点第4页共I8页.56【答案】CI解析】设出边长，求得云忌的坐标，利用向量夹角公式，求得异面直线所成角 的余弦值【详解】设 CA=CG =2CB =2，所以 B 0,0,1 ,G 0,2,0 ,A= 2,0,0 ,B

7、i 0,2,1，所以BG = 0,2, -1 ,ABi二-2,2,1 .设异面直线BCi与直线ABi所成角为二，则COST =cos； BCi, AB故选：C【点睛】本小题主要考查空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，属于基础题8.已知正四面体 ABCD的棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点,则AE AF的值为A a2I 2B. 一 aC.為23 2D a424【答案】B【解析】禾U用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量AE、AF，然后求得结果【详解】.aaB bE,aF = -Ad21AD2 2则 AEAF = (因为是正四面体，所以BE _ AD, BADAD -2TtAD即 bE

8、ad=o,Ab AD = I AB ADncos 3第21页共18页故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体与向量的综合知识,熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度，属于基础题2 29 已知椭圆E:笃每=1(a b 0)的右焦点为 F 3,0 , 过点 a b的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为1,-1，贝U E的方程为()2A. H452一 1362 2B. 0136272 2C U127182D .三丄182二19【答案】【解析】设A Xi,yi ,B X2,y2 ，直线AB的斜率k二-1 -01-32生2a22y_ =1b212 ，两式相减得上丄a2b2，即丄a2y1y2y

9、1 -y2门2 _ 0 bX1X2为 - X20-2，即a2 =2bc2 =9, a2 二 b2c2，解得：a2= 18,b2 =9，方程是218故选D.10 .对于四面体 ABCD，给出下列四个命题:若 AB=AC , BD=CD，贝U BC 丄 AD ;若 AB=CD , AC=BD，贝U BC 丄 AD ;若 AB丄AC, BD丄CD，贝U BC丄AD ; 若 AB丄CD , AC丄BD，贝U BC丄AD ;其中正确的命题的序号是 ()A. B . C . D .【答案】D2y = 2px(p0)2 2【解析】11.已知双曲线笃-爲=1(b 0, a 0)的两条渐近线与抛物线a b的准线

10、分别交于O , A , B三点，0为坐标原点.若双曲线的离心率为2, AOB的面积为、3，则p=()A . 1C . 2【答案】C3B.2D. 32 2【解析】双曲线的方程为 笃一爲=i(b . 0, a 0)a b双曲线的渐近线的方程为yxa抛物线y2 =2px(p - 0)的准线方程是 x = -P双曲线的渐近线与抛物线准线相交的A , B两点的纵坐标分别是 y二史2a双曲线的离心率为2C.2- A , B两点的纵坐标分别是又/ . AOB的面积为-.3 , x轴是 AOB的平分线 -、3p卫二汨2 2- p = 2故选C.点睛：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方

11、程，解出A ,B两点的纵坐标，结合对称性列出三角形的面积也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨2 212.设双曲线 笃一爲=1 a . 0,b0的右焦点为F ,右顶点为A ,过F作AF的垂a b线与双曲线交于 B , C两点，过B , C分别作AC , AB的垂线，两垂线交于点 D .若D到直线BC的距离等于aa2 b2，则该双曲线的离心率是（C. 2【答案】A【解析】依题意求得A,B,C的坐标，求得直线BD,CD的方程，联立BD,CD的方程求得D点坐标，根据D到直线BC的距离等于a a?b2列方程，由此求得双曲线的离心率.【详解】依题意可知A a,0 ,Bb2c,Cc,I a丿m-

12、1的解集为R，命题q :函数xf (x)=(52m )是减函数.(1) 若命题q为真命题，求实数 m的取值范围；(2) 若P q为真命题，P q为假命题，求实数 m的取值范围.【答案】 m 2 (2) 1 1，mv2.(2) 由(1)知，命题q为真命题时，m ： 2 命题p为真命题时，m -1 ： 0，所以m ： 1. 又由于P q为真，P q为假，所以P和q中一真一假.当P真q假” m不存在当“P假q真”时，1 2.综上所述，实数 m的取值范围是1空m ： 2 .【点睛】本小题主要考查根据命题的真假性求参数的取值范围，考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围，考查指数型函数的单调性

13、，考查绝对值不等式的解法，属于 中档题.18如图所示，在直三棱柱 ABC-ABG 中，.ACB=90 ,AC = BC = 2 , AR =4，D是棱AA1的中点.(1) 求证：D。_ BC ；(2) 求直线BC1与平面BCD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)二 .5【解析】(1)通过证明BC丄平面ACC1A来证得BC DC.(2)以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线BC1的方向向量和平面 BCD的法向量，计算出线面角的正弦值【详解】 (1)根据直三棱柱的性质有 C _平面ABC，所以CC! _ BC，由于BC _ AC ,AC dCG =C，所以 BC 丄平面 ACC1A1

14、，所以 BC _ DC1.(2)由(1)得CA, CB, CCi两两垂直，以C为坐标原点，CA,CB,CCi分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系，如下图所示所以B 0,2,0 ,Ci 0,0,4 , D 2,0,2 ，所以BG = 0, -2,4 .设平面BCD的法向量为n hx,y,z，则=2x 2 z =0=2y = 0，令z=l，则x=-1，所以平面BCD的法向量为-1,0,1 .设直线直线BCi与平面BCD所成角为,贝U si nr二_n BC12 2；55【点睛】本小题主要考查利用线面垂直证明显现垂直，考查利用空间向量法求线面角的正弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题

15、佃直线 kx 1与双曲线3x2 -y2 =1相交于不同的两点 A,B.(1) 求实数k的取值范围；(2) 若以线段 AB为直径的圆经过坐标原点，求实数 k的值.【答案】(1) k亍心i:73, .3 一、3八 6 ；(2) k 二 1.【解析】(1)由直线 kx 1与双曲线3X2 - y2 = 1，消去y，利用判别式大于零得不等式，解出即可；T T(2)以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为OA OB = 0，即乂必1丫2 =0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值.【详解】解：(1)由直线y二也1与双曲线3x? y? =1 , 得 3 -k? x? 2kx 2 =0 ,所以3 一 k? =

16、0 : =4k? 8(3-k?)0解得 .6 -.3 一 一、3,、3 一. 、3,、6 ；(?)以线段AB为直径的圆经过坐标原点，设A Xi,yi ,B x?,y?，则 OA OB =0，即 XiX?%y? =0，%x?kxj 1 i kx? 1 = 0，即 k?1 x-ix?k x-ix?1=0,k? 1 F 舟二0， 整理得k? =1，符合条件, k = 1 .【点睛】直线与曲线联立，根据方程的根与系本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用,数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两 直线的垂直关系，是中档题.3T20.如图，在多面体ABCDEF中，四

17、边形ABCD是菱形， ABC二一,四边形ABEF3JT11是直角梯形，ZFAB, AF 二 BE , AF = AB =?BE 二？.?(I)证明：CE二平面ADF .(H)若平面 ABCD _平面ABEF , H为DF的中点，求平面 ACH与平面ABEF所 成锐二面角的余弦值.【答案】(I)见解析;(II) V7【解析】(I)取AF的中点M，连接DM , EM ,结合已知条件，得四边形ABEM为 平行四边形，进而得DCEM为平行四边形，由线面平行的判定定理得 CE/平面ADF .(H )取CD中点N,以A为原点，AN为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直 角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值.【详解】(I )取AF的中点M，连接DM , EM ,如图所示，因为AF = 2BE ,四边形 ABEF 是直角梯形，得AM二BE且AM |_|BE，所以四边形 ABEM为平行四边形，即 ME =AB且ME UAB .又因为四边形ABCD是菱形，所以ABLJCD ,进而CDjME，得DCEM为平行四边 形，即有DM |_|CE，又DM 平面ADF , CE二平面ADF，所以CE U平面ADF .(n )取CD的中点N，在菱形ABCD中，.ABC二60，可得AN _ CD 因为平面ABCD _ 平面 ABEF