样本及抽样分布

1、休息休息结束结束休息休息结束结束本章转入课程的第二部分本章转入课程的第二部分 数理统计数理统计的特点是应用面广，分支较多。数理统计的特点是应用面广，分支较多。社会的发展不断向统计提出新的问题。社会的发展不断向统计提出新的问题。休息休息结束结束从历史的典籍中，人们不难发现许多关从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作。但是当时明人们很早就开始了统计的工作。但是当时的统计，只是对有关事实的的统计，只是对有关事实的简单记录和整理简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些而没有在一定理论的指导

2、下，作出超越这些数据范围之外的数据范围之外的推断推断。到了十九世纪末二十世纪初，随着近代到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科。计学这门学科。休息休息结束结束数理统计学是一门应用性很强的学科。数理统计学是一门应用性很强的学科。 它是研究怎样以它是研究怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、 整理整理和分析和分析受随机影响的数据受随机影响的数据，并对所考察的，并对所考察的问题作出问题作出推断推断和和预测预测，直至为采取决策和，直至为采取决策和行动提供行动提供依据依据和和建议建议。休息休息结束结束 数理统计不同于一般

3、的资料统计，数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析。进行资料的收集、整理和分析。数理统计的任务就是研究怎样有效地数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的收集、整理、分析所获得的有限的、局部有限的、局部的的资料，对所研究问题资料，对所研究问题的的整体整体, 尽可能地作出尽可能地作出精确而可靠的结论精确而可靠的结论。休息休息结束结束在数理统计中，不是对所研究的对象全在数理统计中，不是对所研究的对象全体体( (称为称为总体总体) )进行观察，而是抽取其中的部进行观察，而是抽取其中的部分分( (称为称

4、为样本样本) )进行观察获得数据（进行观察获得数据（抽样抽样），），并通过这些数据对总体进行推断。并通过这些数据对总体进行推断。由于推断是基于抽样数据，抽样数据又由于推断是基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究对象的全部信息。因而由此获不能包括研究对象的全部信息。因而由此获得的结论必然包含得的结论必然包含不肯定性不肯定性。所以，在数理。所以，在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法。统计中必然要用到概率论的理论和方法。休息休息结束结束由此也可以说：由此也可以说：概率论是数理统计的基础，而数理概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的重要应用。但它们是并统计是概率论的重要应用。但它们是并列的两个

5、学科，并无从属关系。列的两个学科，并无从属关系。休息休息结束结束需要强调说明一点：需要强调说明一点：统计方法具有统计方法具有“部分推断整体部分推断整体”的的特征特征 。因为我们是从一小部分因为我们是从一小部分样本样本观察值观察值去推断该全体对象（去推断该全体对象（总体总体）情况，即由）情况，即由部分推断全体。部分推断全体。 这里使用的推理方法是这里使用的推理方法是“归纳推理归纳推理”。休息休息结束结束这种归纳推理不同于数学中的这种归纳推理不同于数学中的“演绎演绎推理推理”。 它在作出结论时，是根据所观察到的它在作出结论时，是根据所观察到的大量个别情况，大量个别情况，“归纳归纳”起来所得，而不起

6、来所得，而不是从一些假设、命题、已知的事实等出发，是从一些假设、命题、已知的事实等出发，按一定的逻辑按一定的逻辑推理推理去得出来的。去得出来的。休息休息结束结束如果这一切都建立在可靠的科学基础上如果这一切都建立在可靠的科学基础上，则对总体下结论是可能的也是可靠的。，则对总体下结论是可能的也是可靠的。 因为这里存在着样品（随机抽取的一个个体因为这里存在着样品（随机抽取的一个个体）个性）个性 ( (特殊性特殊性) ) 和总体共性和总体共性( (普遍性普遍性) )之间之间的一种内在的、对立统一的辩证关系。的一种内在的、对立统一的辩证关系。但此时还应记住毕竟是由但此时还应记住毕竟是由“局部局部”推推断

7、断“整体整体”，因而仍可能，因而仍可能犯错误犯错误，结论往往，结论往往又是在某个又是在某个“可靠性水平可靠性水平”之下得出的。之下得出的。休息休息结束结束1.1 随机样本随机样本1.1.总体与个体总体与个体 一一个统计问题总有它明确的研究对象。个统计问题总有它明确的研究对象。研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体。休息休息结束结束 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项其每个个体的一项(或几项或几项)数量数量指标指标和该数量指标和该数量指标在总体中的在总体中的分布分布情况。

8、这时，每个个体具有的数量情况。这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体。指标的全体就是总体。该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是全体就是总体总体某品牌轿车百公里耗某品牌轿车百公里耗油量的全体就是油量的全体就是总体总体某批灯泡的寿命某批灯泡的寿命某品牌轿车百公里某品牌轿车百公里耗油量耗油量休息休息结束结束 由于每个个体的出现是随机的，所以相由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性。从而可应的数量指标的出现也带有随机性。从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的随机变量的分布就是该数量指标在总体

9、中的分布。分布。 这样，这样，总体就可以用一个随机变量总体就可以用一个随机变量及其分布来描述及其分布来描述。休息休息结束结束 统计的任务统计的任务, ,是根据从总体中抽取的是根据从总体中抽取的样本样本，去推断总体的性质去推断总体的性质。 由于我们关心的是总体中的个体的某项指由于我们关心的是总体中的个体的某项指标标( (如人的身高、体重，灯泡的寿命如人的身高、体重，灯泡的寿命, ,汽车的汽车的耗油量耗油量) ) ，所谓总体的性质所谓总体的性质，无非就是这无非就是这些些指标值的集体的性质指标值的集体的性质。 而而概率分布概率分布正是刻划这种集体性质的适正是刻划这种集体性质的适当工具。因此在理论上可

10、以当工具。因此在理论上可以把总体与概率分把总体与概率分布等同起来布等同起来。休息休息结束结束在数理统计中，总体这个概念在数理统计中，总体这个概念的的要旨要旨是：是：总体就是一个概率分布。-50005001000150020000510152025休息休息结束结束2. 样本样本 为推断总体分布及各种特征，按一定规为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样抽样”，所抽取的部分个体称为，所抽取的部分个体称为样本样本。样。样本中所包含的个体数目称为本中所包

11、含的个体数目称为样本容量样本容量。从某品牌轿车中抽从某品牌轿车中抽5辆进行耗油量试验辆进行耗油量试验样本容量为样本容量为5休息休息结束结束容量为容量为 n 的样本（也称为的样本（也称为子样子样）可以可以看作看作 n 维随机变量：维随机变量：( X1 , X2 , , Xn ) 但是，一旦取定一组样本，得到的是但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数个具体的数 ( x1 , x2 , , xn )，称为样本的，称为样本的一次观察值，简称一次观察值，简称样本观察值样本观察值 。休息休息结束结束由于抽样的目的是为了对总体进行由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地统计推断

12、，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法。反映总体的信息，必须考虑抽样方法。最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单简单随机抽样随机抽样”，它要求抽取的样本满足下，它要求抽取的样本满足下面两点面两点:休息休息结束结束1. 代表性代表性： X1 , X2 , , Xn 中每一个中每一个与所考察的总体有相同的分布。与所考察的总体有相同的分布。2. 独立性独立性： X1 , X2 , , Xn 是相互独是相互独立的随机变量。立的随机变量。休息休息结束结束由简单随机抽样得到的样本由简单随机抽样得到的样本(子样）称子样）称为为简单随机样本（子样）简单随机样本（子样）。用用

13、（ X1 , X2 , , Xn ）表示。表示。 简单随机样本是应用中最常见的情形，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到今后，当说到（ X1 , X2 , , Xn ）是取自是取自某总体的样本时，若不特别说明，就指某总体的样本时，若不特别说明，就指简简单随机样本单随机样本。休息休息结束结束3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）总体（理论分布） 样本样本 样本值样本值总体分布决定了样本取值的概率规律，总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体。样本值去推断总体。 休息休息

14、结束结束2.2 抽样分布抽样分布1. 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。本中所含的（某一方面）的信息集中起来。 这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为不含任何未知参数的样本的函数称为统统计量计量。它是完全由样本决定的量。统计量的分布。它是完全由样本决定的量。统计量的分布称为称为抽样分布抽样分布。休息休息结束结束 2. 样本均值及其抽样分布样本均值及其抽样分布 样本均值样本均值niiXnX11反

15、映了总体均值的信息分组样本场合：分组样本场合：kiii 11Xf xn 其中其中 k 为组数；为组数；xi 为第为第 i 组的组中值；组的组中值； fi 为第为第 i 组的频率。组的频率。休息休息结束结束定理定理: 设设 是来自某总体的样本是来自某总体的样本, 为为 样本均值。样本均值。nXXX,21X 若总体分布为若总体分布为 N( ,2), 则则 的精确分的精确分布为布为 N(, 2/n ) ；X 若总体分布未知或不是正态分布，若总体分布未知或不是正态分布，则则 的渐近分布为的渐近分布为 N(, 2/n ) ；X休息休息结束结束 样本方差与样本标准差样本方差与样本标准差n22ii 11S(

16、 XX )n1 它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息n22ii 11S( XX )n 22SS ,SS休息休息结束结束n222ii 11nSxxn1n-1 2nnn22iiii 1i 1i 1n22ii 11( xx )xXnxnx n222ii 11Sxxn 休息休息结束结束定理定理 设总体设总体X具有二阶矩，具有二阶矩，EX=, DX=2 2 休息休息结束结束0);(nxfLimxt分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称，且对称，且当当n充分大时，其图形类似于标准正充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。态分布密度函数的图形。请看演示t 分布分布休息休息结束结束

17、不难看到，当不难看到，当n充分大时，充分大时，t 分布近分布近似似N (0,1)分布。分布。 但对于较小的但对于较小的n，t分布分布与与N (0,1)分布相差很大。分布相差很大。休息休息结束结束3、F分布分布),(),(2212nYnX定义定义: 设设 X与与Y相互相互独立，则称统计量独立，则称统计量服从服从自由度为自由度为n1及及 n2 的的F分布分布，n1称为第称为第一自由度，一自由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作 ： F F ( n1 , n2 ) .12X nFY n Fisher休息休息结束结束由定义可见，由定义可见，21Y n1FX n F ( n2, n1)休息休

18、息结束结束若若XF(n1,n2)， X的概率密度为的概率密度为 0001)()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnnX的数学期望为的数学期望为:2)(22nnXE若若n22即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.F分布分布演示演示休息休息结束结束分位数演示分位数演示休息休息结束结束例如：0.05z 1.6450.01z 2.3260.990.01zz -2.3260.025t(6 ) 2.44690.9750.025t(6 )t(6 ) -2.446920.025(6 ) 14.44920.975

19、(6 ) 1.237计算计算休息休息结束结束0.025F(6,4 ) 9.200.975F(6,4 )? xy一般地，一般地，112211F(n ,n )F (n ,n ) 证：112P FF(n ,n )1 11211P1FF(n ,n ) 1 112F(n ,n ) 12F(n ,n )休息休息结束结束112P FF(n ,n )1 11211P1FF(n ,n ) 11211PFF(n ,n ) 令：令：1FF 则则21FF(n ,n ) xy21F(n ,n ) 1121FP,(nn )F 211211F (n ,nFn)(n) 1121F(n ,n ) 112211F(n ,n )F

20、 (n ,n ) 休息休息结束结束0.975F(6,4 ) 0.0251F(4,6 ) 16.23=0.1605休息休息结束结束四、几个重要的抽样分布定理四、几个重要的抽样分布定理 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1, X2, , Xn 是取自正态总体是取自正态总体2N(,) 的样本，则有：的样本，则有：2X N(,)n X N(0,1)n nii 11E( X )E(X )n 2nii 11D( X )D(X )nn 休息休息结束结束 n取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X休息休息结束结束 定理定理 2 ( 样本方差的分布样本方差的分布 )设设X1, X2

21、, , Xn 是取自正态总体是取自正态总体2N(,) 的样本的样本,2Xs和和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有：则有：222s(n1)(1)(n1) 2(.X)s2和和相相互互独独立立休息休息结束结束n22ii 11S( XX )n1 22ni22i 1( XX )(n1)S 2ni2i 1( X) 2(n) 2(n-1) 说明：休息休息结束结束n取不同值时取不同值时 的分布的分布 22( n1 )S 休息休息结束结束 定理定理 3 设设 X1,X2,Xn 是取自正态总体是取自正态总体2N(,) 的样本的样本,2Xs和和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有：则有：X t(n1)Sn 休息休息结束结束X N(0,1)n 222(n1)S(n1) 22(n1)s/nnX(1) t(n1) XSn 证明：独立独立 休息休息结束结束 定理定理 4 (两总体样