专题复习 与圆的切线有关的证明与计算

1、切线的性质切线的性质 定理：圆的切线_于经过切点的半径技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线切线的判定切线的判定 垂直 垂直 第1页/共25页第2页/共25页有交点，连半径，证垂直有交点，连半径，证垂直第3页/共25页第4页/共25页1.1.如图9 9所示，点O O在APBAPB的平分线上，O O与PAPA相切于点C.C.（1 1）求证：直线PBPB与O O相切（2 2）POPO的延长线与O O交于点E E，若O O的半径为3 3，PC=4.PC=4.求弦CECE的长第5页/共25页（1 1）证明: :过点O O作ODPB,ODPB,连接OC. OC. APAP与O O相切, OCAP. , O

2、CAP. 又OPOP平分APB, OD=OC. APB, OD=OC. PBPB是O O的切线. . CFOPCPOCSOCP2121（2）解:过C作CFPE于点F. 522CPOP在RtRtOCPOCP中，OP=OP=512CF在RtCOF中，2295OFCOCF524593FE在RtRtCFECFE中，551222EFCFCE第6页/共25页【教材原型】如图，O O的切线PCPC交直径ABAB的延长线于点P P，C C为切点，若P P3030，O O的半径为1 1，则PBPB的长为_第7页/共25页【解 析解 析 】 连 结 O C ， 因 为 P C 为 O 的 切的 切线 ， 所 以线

3、 ， 所 以 P C O 9 0 ，在在 R t O C P 中 ，中 ， O C 1 ， P 3 0 ，所 以所 以 O P 2 O C 2 ， 所 以， 所 以 P B O P O B 2 1 1 .【 思 想 方 法 】 ( 1 )( 1 ) 已 知 圆 的 切 线 ， 可 得 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 半 径 ；( 2 )( 2 ) 已 知 圆 的 切 线 ， 常 作 过 切 点 的 半 径 ， 得 到 切 线 与 半 径 垂 直 。第8页/共25页练习：如图，ABAB是O O 的直径，O O交BCBC的中点于D D，DEDEACAC. .求证：DEDE与O O相切. .一题

4、多解第9页/共25页变式训练变式训练 规范书写规范书写( (昆明）如图，已知ABAB是O O的直径，过点E E的直线EFEF与ABAB的延长线交于点F F，ACACEFEF，垂足为C C，AEAE平分FACFAC。求证：CFCF是O O的切线。（5 5分）第10页/共25页（1）证明：连接OE1分AE平分FACCAE=OAE又OA=OE， OEA=OAE .2分 CAE=OEAOEAC.3分OEF=ACF又ACEFOEF=ACF=90OECF .4分又点E在 O上CF是 O的切线.5分看看你能得几分？看看你能得几分？第11页/共25页变式变式 （广州）（广州） 如图，如图，C=90o，BD平分

5、平分ABC，DEBD ，设，设 O是是BDE的外接圆。的外接圆。求证：求证：AC是是 O的切线。的切线。DEBD ，设，设 O是是BDE的外接圆的外接圆变式训练第12页/共25页 例：如图例：如图 ，已知：，已知： 为为 角平分线上一点，角平分线上一点， 于于 ，以，以 为圆心，为圆心， 为半径作圆。为半径作圆。求证：求证： 是是 的切线。的切线。DODOABOD OOACBAC无交点，作垂直，证半径无交点，作垂直，证半径证明：过证明：过O作作OEAC于于E AO平分平分BAC ODAB OEOD OE是是 O的半径的半径 AC是是 O的切线的切线E第13页/共25页【教材原型教材原型】已知：

6、如图，A A是圆O O外一点，AOAO的延长线交O O于点C C，点B B在圆上，且ABABBCBC，A A3030，求证：直线ABAB是O O的切线第14页/共25页证明证明：连结OB，OBOC，ABBC，A30，OBCCA30，AOBCOBC60.ABO180(AOBA) 180(6030)90，ABOB，AB为为 O的切线的切线【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“连半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”第15页/共25页【中考变形中考变形】1 1如图，点C C是O O的直径ABAB延长线上的一点，且有BOBOBDBDBCBC. .(1)(1)求证：CDCD是O O的切线；(2)(2)若半

7、径OBOB2 2，求ADAD的长第16页/共25页解解：(1)证明：连结OD，BOBC，BD为ODC的中线的中线又又DBBC，ODC90.又又OD为为 O的半径，的半径，CD是是 O的切线；的切线；(2)AB为为 O的直径，的直径，BDA90，BOBD2，AB2BD4，第17页/共25页2.2.（20152015昆明）如图，AHAH是O O的直径，AEAE平分FAHFAH，交O O于点E E，过点E E的直线FGAFFGAF，垂足为F F，B B为直径OHOH上一点，点E E、F F分别在矩形ABCDABCD的边BCBC和CDCD上（1 1）求证：直线FGFG是O O的切线；（2 2）若CD=

8、10CD=10，EB=5EB=5，求O O的直径第18页/共25页证明：（1 1）如图1 1，连接OEOE，OA=OEOA=OE，EAO=AEOEAO=AEO，AEAE平分FAHFAH，EAO=FAEEAO=FAE，FAE=AEOFAE=AEO，AFOEAFOE，AFE+OEF=180AFE+OEF=180，AFGFAFGF，AFE=OEF=90AFE=OEF=90，OEGFOEGF，点E E在圆上，OEOE是半径，GFGF是O O的切线第19页/共25页（2 2）四边形ABCDABCD是矩形，CD=10CD=10，AB=CD=10AB=CD=10，ABE=90ABE=90，设OA=OE=xO

9、A=OE=x，则OB=10OB=10 x x，在RtRtOBEOBE中，OBE=90OBE=90，BE=5BE=5，由勾股定理得：OBOB2 2+BE+BE2 2=OE=OE2 2，（1010 x x）2 2+5+52 2=x=x2 2，O O的直径为 第20页/共25页【 中 考 预 测中 考 预 测 】如 图 ， O O 的 直 径 A BA B 为 1 0 c m1 0 c m ， 弦 B CB C 为 6 c m6 c m ， D D ， E E 分 别 是 A C BA C B的 平 分 线 与 O O ， A BA B 的 交 点 ， P P 为 A BA B 延 长 线 上 一

10、点 ， 且 P CP C P E .P E .( 1 )( 1 ) 求 A CA C ， A DA D 的 长 ；( 2 )( 2 ) 试 判 断 直 线 P CP C 与 O O 的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 第21页/共25页解解 ： ( 1 ) 如 图 ， 连 结， 连 结 B D ， A B 是是 O O 直 径 ，直 径 ， A C B A D B 9 0 .在在 R t A B C 中 ，中 ， C D 平 分平 分 A C B ，第22页/共25页( 2 )( 2 ) 直 线P CP C与 O O相 切 理 由 ： 如 图 ， 连 结O CO C， O CO CO AO A， C A OC A O O C AO C A. .P CP CP EP E， P C EP C E P E CP E C. . P E CP E C C A EC A E A C EA C E， P C BP C B E C BE C B C A EC A E A C EA C E，C DC D平 分 A C BA C B， A C EA C E E C BE C B. . P C BP C B C A EC A E. . P C BP