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文档简介

1、 问题的提出(Introduction) 我们知道,导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型,它反映的是函数在一点处的局部变化性态,但在理论研究和实际应用中,常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态。 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢? 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,是导数与实际问题联系的桥梁,借助中值定理可应用导数来研究函数及曲线的某些性态(如单调性、函数的极值、最值;凹凸性、拐点等)。第1页/共30页中值定理包括三个定理:罗尔定理拉格朗日定理柯西定理(微分中值定理)所研究的内容:它们都是研究函数在一区间上两端点的函数值与它在区间内某一

2、点的导数值之间的关系.第2页/共30页一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理::)(满足以下三条满足以下三条如果函数如果函数xfy ;,)1(上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),()2(内可导内可导在开区间在开区间ba);()(,)3(bfaf 即即相等相等在区间两端点的函数值在区间两端点的函数值0)(),( fba使得使得则至少存在一点则至少存在一点几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,轴轴行于行于在该点处的切线平在该点处的切线平点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧xCABC第3页/共30页证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)

3、(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在.)(点点的的导导数数情情况况在在讨讨论论 xf第4页/共30页),(,baxx 使使点给一个点给一个在在)()( fxfy 0 xfxfxy )()( 则则,0时时当当 x 0)()( xfxfxy ,0时时当当 x 0)()( xfxfxy 0)(, 0)( ff0)()()(0 fff0)( f即即证毕第5页/共30页解:,3 , 1)()1(上上

4、连连续续在在 xf性性上上验验证证罗罗尔尔定定理理的的正正确确在在对对例例3 , 1)3)(1(32)(:2 xxxxxf内内可可导导在在内内处处处处有有定定义义在在)3 , 1()(,)3 , 1(22)()2( xfxxf)3()1()3(ff ),3 , 1( 0)( f使使1022)( xxxf得得令令0)1( f (既要验证条件,又要验证结论)第6页/共30页注1:罗尔定理的条件仅是充分条件,不是必要的.注2 用途:确定导函数的根的位置第7页/共30页例2.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连

5、续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理. 0)(),1 , 0(11 f使使(1)证明在(0,1)中有实根(零点定理)即 为方程的小于1的正实根.1 第8页/共30页,),1 , 0(122 设另有设另有. 0)(2 f使使,)(21件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在 xf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(21 . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾,.为唯一实根为唯一实根(2)证明在(0,1)中只有一个实根(罗尔定理)证毕第9页/共30页拉格朗日中值定理::)(满足满足如果函数如果函数xfy ;,)1(上连

6、续上连续在闭区间在闭区间ba;),()2(内可导内可导在开区间在开区间baabafbffba )()()(),( 使得使得则至少存在一点则至少存在一点二、拉格朗日(Lagrange)中值定理)()()(abfafbf 或或ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧第10页/共30页证分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲

7、曲线线ba作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即abafbff )()()( ).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式第11页/共30页注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值的另外一种形式:若 f (x)在 a, b上满足拉格朗日中值定理条件,对于 a, b 上任意两点 x, x+x,在 x, x+x (或 x+x, x ) 上, 公式也成立.y

8、 = f (x+x) f (x)其中 (x, x+x) 或 (x+x, x) 记 =x+ x (其中0 1) =f ( ) x .有限增量公式:y= f ( x+ x ) x第12页/共30页比较 :f (x)在 x 处于可微:ydy=f (x)x要求:| x |很小,且f (x)0f (x)在 a, b 上满足拉格朗日定理条件:y= f ( x+ x )x要求: x有限.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf推论1:推论2具有相同导函数的两个函数,相差一个常数.第13页/共30页例3).11(2arccosa

9、rcsin xxx证明证明证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx证毕.:. 3用来证明等式或不等式用来证明等式或不等式用途用途第14页/共30页例4.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证),1ln()(ttf设, 0)(上满足拉氏定理的条件在xtf)0(),0)()0()(xxffxf 所以,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即证毕第15

10、页/共30页方法方法等等式式从从而而得得到到所所要要证证明明的的不不适适当当的的放放大大或或缩缩小小,将将一一个个恰恰当当的的函函数数,然然后后设设某某些些不不等等式式时时,首首先先要要利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理证证明明)( f. 1,0 xexx时练习:证明当第16页/共30页三、柯西(Cauchy)中值定理柯西定理::)(),(满足如果函数xgxf;,)1(上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),()2(内可导内可导在开区间在开区间ba0)(,),() 3( xgba内在)()()()()()(),(agbgafbfgfba使得则至少存在一点第17页/共30页几何解释:)(1g)(2g

11、)(agA)(bgBCD)(xgNM.),(),(ABfgCAB弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧证作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x xoy)()(xfYxgXXY第18页/共30页, 0)()()()()()(gagbgafbff即.)()()()()()(gfagbgafbf. 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,)(xxg当, 1)(,)()(xgabagbg)()()()()()(gfagbgafbf).()()( fabafbf第19页/共30页 abf

12、afbfbababaxfbxaln)()()(,使得证明:内可导,上连续,在函数例:设第20页/共30页小结:Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系;注意定理成立的条件;会用中值定理证明简单的等式与不等式.第21页/共30页 约瑟夫拉格朗日(Joseph Louis Lagrange), 法国数学家、物理学家。 他在数学、力学和天文学三个学科 领域中都有历史性的贡献,其中尤 以数学方面的成就最为突出 拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官,后由于经商破

13、产,家道中落。据拉格朗日本人回忆,如果幼年是家境富裕,他也就不会作数学研究了,因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。第22页/共30页 17岁时,开始专攻当时迅速发展的数学分析。18岁时,拉格朗日用意大利语写了第一篇论文,1755年拉格朗日19岁时,在探讨数学难题“等周问题”的过程中,他以欧拉的思路和结果为依据,用纯分析的方法求变分极值。 19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授,成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年20岁时,受欧拉的举荐,拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。 近百余年来,数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学

14、史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。第23页/共30页 柯西1789年8月2l日出生生于巴黎, 他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法 国波旁王朝的官员,在法国动荡 的政治漩涡中一直担任公职。由于 家庭的原因,柯西本人属于拥护波 旁王朝的正统派,是一位虔诚的天主教徒。 柯西在幼年时,他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室,并且在那里指导他进行学习,因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分常识;拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家,但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。 第24页/共30页 柯西于1802年入中学。在中学时,他的拉丁文和希腊文取得优异成绩

15、,多次参加竞赛获奖;数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校,在那里主要学习数学和力学;1807年考入桥梁公路学校,1810年以优异成绩毕业,前往瑟堡参加海港建设工程。 柯西于1816年先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为巴黎大学力学教授,还曾在法兰西学院授课。第25页/共30页一、一、 填空题:填空题:1 1、 函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理,则定理,则=_=_ _ _. .2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf, 方 程方 程0)( xf有有_个根,它们分别在区间个根,它们

16、分别在区间_上上. .3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系. .5 5、 如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _,那,那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .练 习 题第26页/共30页二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所

17、求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间 . .三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、设四、设0 ba,1 n,证明,证明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 证明下列不等式:证明下列不等式: 1 1、baba arctanarctan; 2 2、时时当当1 x,exex . .第27页/共30页六六、设函数、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数,阶导数, 且且)0()0()0()1( nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理 证明:证明:!)()()(nxfxxfnn , (, (10 ). . 七七、设、设)(xf在

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