1锐角三角的定义教案

1、锐角三角函数的定义概述32适用学科 初中数学适用年级初三I III适用区域新人教版课时时长（分钟）120厂 iJ知识点 1.当锐角A的度数确定时，它所在的直角三角形中任意两边的比都有唯II一确定的值II1I2. 正弦、余弦、正切的定义1I3. 锐角三角函数的定义4.特殊角三角函数的值I I I I II III教学目标 1. 了解正弦，余弦，正切这三个锐角三角函数的定义，能准确地用直角三IIII角形两边的比表示这些函数IIIIIIII|i2.掌握特殊角的三角函数值，会用三角函数解决三角形中的边角问题，会IIIIIII丨 用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求角度的大小IIII| 3.体验数

2、形结合思想在解决问题中的广泛应用， 感受学习数学的乐趣和成IIIIIIIIII 功的喜悦II教学重点 1.当锐角A的度数确定时，它所在的直角三角形中任意两边的比都有唯一II确定的值II| 2.正弦、余弦、正切的定义II3.特殊角三角函数的值II厂 ;一一一一一一 一教学难点 锐角三角函数的定义II【教学建议】锐角三角函数既是相似三角形及函数的继续，也是学习三角函数的基础，锐角三角函数的定义，这是中考的热点在近几年的中考中，主要考查已知直角三角形的两边长求锐角的三角函数值，题目较简单，题型主要有选择题和填空题【知识导图】正弦、余弦、正切的定义锐角三角函数锐角三角函数的定义特殊角三角函数的值教学过

3、程一、导入大家思考：小红在上坡的过程中，下列哪些量是变量和常量？（坡角、上升高度、所走路程）她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走的路程的比值变化吗？二、复习预习带着这个问题走进我们今天学习的内容 锐角三角函数，前面我们学过在直角三角形中,知道任意两条边，通过勾股定理可以求出第三条边，例如：已知在RHABC中， C =90 , bc=12, AC=5,求边AB的长.2 2 2利用勾股定理：BC AC -AB可得：AB=13那么知道一角一边能求出其他的边和角吗？三、知识讲解考点1当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定得值1任意画一个锐角 A的一边上任取一点 B,自点

4、B向另一边作垂线，垂足为 C，从而得到一个RtABC,如图 Rr : ABC中的三条边每两边构成一个比，一共可得到如下六个比：BC AC AB AC AB BC2在锐角A的AB边上再取另一点B1自点Bi向另一边作垂线，垂足 为G,从而得到另一个 RAB1C1,RAB1C1B1C1 AC1 AB1 AC1 AB1 B1C1? ? ? ? ?中的三条边也构成如下六个比，AB1 AB1 B1C1 DC1 AC1 AC1 .那么有两个直角三角形所得的对应比有怎样关系呢？所以点B1是在AB边上任取得，所以前面的操作具有普遍性所以当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定得值考点

5、2正弦、余弦和正切的定义由知识点1可知，当锐角A的度数固定时， A的对边与斜边的比是一个固定值， A的邻边与斜边的比也是一个固定值， A的对边与邻边的比也是一个固定值.在Rt ABC中，设 C =9”. A,. B,. C的对边分别为a,b,c,如图所示:ZA的对边（1）我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作si nA,即sinA=斜边（2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做.A的邻边_ b 厶A的余弦，记作cosA,即cosA= 斜边 c .我们把锐角A的对边与邻边的比叫做EA的正切，记作tanA,即tanA =(3)知识拓展：（1）正弦、余弦和正切都是一个比，没有单位（2）正弦值，余

6、弦值和正切值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关（3） si nA、cosA、tanA 是整体符号，不能写成 sin A、cos A、tan * A.（4） 当用三个字母表示角时，角的符号不能省略，女口 sin ABC.（5）sin 2 A表示（sinA） 而不能与成sin A .（6） 三角函数还可以表示成sin -、cos 一、tan 一（7）在 Rt 心ABC中，NC =9 ： , sin A 二 cosB,sin B =cosA22（8） 在 Rt ABC中,C = 9 , sin A cos A = 1（9） 在 Rt ABC中,C =9 , tanA tan B =1si nAt

7、an A =（1 ）在 Rt ABC 中,C =9 ,cosA考点3锐角三角函数的定义锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做 A的锐角三角函数（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角 函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化（2）由定义可知,0si nA1,0cosA0.令y=si nA,y=cosA,y=ta nA,则函数中自变量的取值范围均为a：90函数的增减性分别为:y=si nA在自变量的取值范围内,y随/A的增大而增大y=cosA在自变量的取值范围内,y随也A的增大而减小y=tanA在自变量的取值范围内,y随.A的增大而增大知识拓展：（

8、1）锐角的三个三角函数都是比，当锐角不变时，该角的正弦值，余弦值，正切值也不变（2）锐角的三角函数值与角的两边的长短无关（3）当锐角 A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形, 从而求出 si nA、cosA、tanA.考点4特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值主要是指30，5 ,60这三个角的三角函数值，如下表:函数锐角a 、304560正弓sina1V2T29余眩8旳V21222正切tana31V3知识拓展：（1）结合图形：如图及其中的数据和三角函数的定义来计算特殊角的三角函数值，从而记住结果(2 )对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，如15 ,22.5

9、 ,75 ,36 等(3)等边三角形，等腰直角三角形，及与30，5 ,60角相联系的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答四、例题精析类型一当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定得值例题1如图，点A为/ a边上的任意一点，作 AC丄BC于点C, CD AB于点D,下列用线段比表示BD BC AD CDA.B. - - C. D. l：【解析】解：I AC丄BC, CD丄AB,/ a +/BCD=Z ACD+Z BCD, a =/ACD,BD BC DC COS a =cos/ ACD=BC =3& =AC只有选项C错误，符合题意.故选：C.【总结与反思】利

10、用垂直的定义以及互余的定义得出/a =Z ACD,进而利用锐角三角函数关系得出答案.类型二正弦、余弦和正切的定义例题2在Rt ABC中，/ C=90，若斜边 AB是直角边 BC的3倍，贝U tanB的值是（）1V2A.B . 3 C .：D . 2. :【解析】 解：设BC=x则AB=3x由勾股定理得，AC=2*x,AC加tanB= - - =-=2 .1故选：D.【总结与反思】 设BC=x则AB=3x,由勾股定理求出 AC,根据三角函数的概念求出tanB .类型三锐角三角函数的定义例题312D. tanB=BC=12则下列三角函数表示正确的是（【解析】 解：/ ACB=90, AB=13,

11、BC=12, AC=5,BC 12A、sinA=- = -，故本选项正确；ac rs_B、cosA=l，故本选项错误.BC空C、ta nA=AC= 5，故本选项错误；AC旦D、tanB=J=-，故本选项错误；故选A.【总结与反思】先利用勾股定理求出 AC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可.类型四特殊角的三角函数值例题4在厶ABC中，若角A,B 满足 |cosA -(1 tanB) 2=0,则/ C的大小是(A. 45B. 60C. 75 D. 105V3【解析】 解：由题意得，cosA= , tanB=1,则/ A=30, / B=45 ,则/ C=18

12、0 - 30 - 45=105.故选D.【总结与反思】 根据非负数的性质得出 cosA=, tanB=1，求出/ A和/B的度数，继而可求得/ C的度数.五、课堂运用基础1.三角函数sin30、cos16cos43之间的大小关系是A. cos43 cos16 sin30B.cos16 sin30 cos43 C. cos16 cos43 sin30D.cos43 sin30 cos16A的坐标为（4, 3），那么cos a的值是（2.如图，在平面直角坐标系中，点在厶ABC中，AD丄BC,垂足为点D,若AC=6/ C=45 , tan / ABC=3 贝U BD等3.如图,C.A. 2B. 3D

13、 .4.在厶 ABC中，/ C=90, AC=4 BC=2,求/ B 的余弦值.答案与解析1. 【答案】C.【解析】解：t sin30 =cos60 ,又16v 43v 60,余弦值随着角的增大而减小， cos16 cos43 sin30 .故选：C.2. 【答案】D.【解析】由勾股定理得 0A= 、=5，所以cos a匸故选D.3. 【答案】A.【解析】解： AC=6：2，/ C=45 , AD=AC?sin45 =6:=6,* tan / ABC=3AD=3,AD BD= 一 =2,故选：A.4【答案】_ .【解析】解：如图,在 Rt ABC中，T BC=2 AC=4 AB=，=2 口BC

14、则 cosB=V5=-巩固1. a为锐角，若sina +COS a - 贝Usin a-COS a的值为(AB. 士 + C. ； D 0丄2. 已知锐角a满足COS a =2，则锐角a的度数是 度.3. 如图，将矩形 ABCD沿 AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB:AD=2:3，那么tan EFC 值是4.如图，AB为O O的直径，弦 CDL AB于点H,过点B作O O的切线与 AD的延长线交于 F.(1)求证：/ABC乙F3(2)若 sinC= 5 , DF=6 求O O的半径.答案与解析1.【答案】D.【解析】解：T sin a +COS a =12 sin a +COS

15、a )=2,即 sin 2 a +COS? a +2sin a COS a =2.2 2乂 sin a +cos a =1 , 2sin a cos a =1 . ( sin a - COs a )2 2 2=sin a +cos a - 2sin a cos a =1 - 2sin a cos a =1 - 1=0. sin a - COs a =0 .故选：D.2.【答案】60.【解析】解：由锐角a满足COs a =，则锐角a的度数是60度，故答案为：60.-53. 【答案】5【解析】 AB： AD=2 3,设 AB=2k, AD=3k, AF=AD=3k=BC,CD=AB=2k,/ B=

16、90 bf= AF2 _AB2 = ；5k CF=BC-BF=( 3-5 ) k, / EF=DE DE+CE=CD EF=2k-CE,/ C=90, ef2=cF2+c即：（2k-CE） 2= （3-5 ） 2k2+cE3 5-5k CE= 2,CE 5 tan / EFC=CF2 .4.【答案】（1）v BF为OO的切线， AB丄BF于点B./ CD丄ABABF =/AHD =90 . CD/ BF.aZ ADC=z F.又/ ABC=z ADC / ABC玄 F.（2）如图，连接BD/AB为OO的直径，/ ADB =90 .由（1）Z ABF =90,aZ A=Z DBF.又/ A=Z

17、C,./ C=Z DBF.3 sin C =sin /DBF = 在 Rt DBF中,5 , DF=6 - BD=8在 Rt ABD中,sin CAB403 .O O的半径为203【解析】(1) 一方面由切线的性质和平行的性质得到/ADC=/ F四边形2另一方面由圆周角定理得/ ABC=/ ADC从而证得/ ABC=/ F.(2)连接BD,根据直径所对的圆周角为直角得到/ ADB=90，根据切线的性质得到/3si nC =si nNDBF =-ABF=90，利用锐角三角函数定义，在Rt DBF中，由5 , DF=6求得340sin C =si nA-AB -BD=8;在Rt ABD中，由5求得

18、3，即可得到O O的半径.拔高1. 若锐角 x 满足 tan -11-：i i 一 - |i - tan60x-( - ；+1) tanx+* V=0,则 x=2. 在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=3, tanB= ，求 AB的值.3.计算(2)(1) cos60 +答案与解析1.【答案】45或60.【解析】解：t tan 2x -(L： ； +1) tanx+ :;=0,( tanx 1)(tanx 卜:-)=0, tan x=1 或 当 tanx=1 时，x=45 当 tanx=-时，x=60 故 x=45 或 60 .1&2.答案】J .A解析】解：在 Rt ABC中，/

19、 ACB=90 , AC=3 tanB=：,AC/ tan B=-，贝 y ab=1 =3.答案】(1) 2;( 2)【解析】解:1 V2 21)原式=2+2gTgA.CBC=価=3=4二+丄+1-11 - . -I=1 -六、课堂小结1. 知识结构及要点小结锐角三角函数： 锐角三角函数的定义：锐角 A的正弦，余弦，正切都叫 .A的锐角三角函数 特殊角的三角函数值同角，互为余角的三角函数关系；sin 2A - cos2 B =1si n(90-.A) = cosA,cos(90 -. A) = si nAtan(90- A) =1锐角三角函数值的变化情况及取值范围：正弦（正切）值随角度增大而增

20、大，余弦值随角度增大而减小O0sinA1,0cosA0（0: a ： 90 ）2. 解题方法及技巧小结（1）当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，转化为直角三角 形，从而求出该锐角的三角函数值（2）化简含有三角函数的绝对值，要根据三角函数的增减性来化简七、课后作业基础1. 如图， ABC的顶点是正方形网格的格点，贝UtanA的值为2. 在厶 ABC中，/ C=90, cosA=，贝U tanA 等于.3. 如图， ABC内接于O O AD为O O的直径，交 BC于点E,若DE=2 OE=3贝U tanC?tanB=A. 2B. 3C. 4D. 514.计算：2cos45 -

21、tan60 +sin30 - | -| .答案与解析1. 【答案】离【解析】解：连接 CD则CD血,AD卫伍,J-AD/7/3c2.答案】43则 tanA=3_【解析】解：t cosA=知，设b=3x，贝U c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x .3.【答案】C.【解析】解：连接 BD CD由圆周角定理可知/ B=Z ADC / C=Z ADB ABEA CDE ACEA BDEAEBEACCEAECDDE：BD _DE：Jbe由AD为直径可知/ DBA2 DCA=90 ,/ DE=2, OE=3 AO=OD=OE+ED=5AE=8tan C?ta nB=tanAB AC BE CE AB

22、 AC AE CE1 ipp/ ADtan / ADC=丨 I = :i=4.故选：C.4.【答案】:.【解析】解：原式=血-庾.巩固A1. ABC中，/ C=90, tanA=：，贝U sinA+cosA=2. 如图，在Rt ABC中，/ A=90, AD丄BC垂足为D.给出下列四个结论： sin a =sinB ;sin a =cos 3 .其中正确的结论有3.计算：sin30 -cos45 +屛604.如图，在四边形 ABCD中，/ B=Z D=90，/ C=60 , BC=4, CD=3 求 AB的长.答案与解析7_1.【答案】拆.设 AB=5x,则 BC=4x AC=3xBC AC

23、_3x 4x_ 7_则有：sina+cosA=址 + 肛1 =5工+ 5工=5 ,7_故答案为：5 .2. 【答案】.【解析】解：/A=90, AD丄BC,:丄 a +Z 3 =90,/ B+Z 3 =90,/ B+Z C=90, a = Z B,Z 3 =Z C, sin a =sinB，故正确;sin 3 =sinC，故正确;AC AC 在 Rt ABC中 sinB= , cosC= sinB=cosC，故正确；/ sin a =sinB , cos / 3 =cosC, sin a =cos / 3，故正确；故答案为.3.【答案】1.【解析】解：原式=2 - 2+32 HI=2 -2+3

24、x 3=1.4.【答案】解：如图，延长BA CD交于点E./ B=90,Z C=60 , BC=4/ E=30, CE=8, BE=4- 3 .* CD=3,DE=5.DE 510 3AE 二cosE cos30 3. AB=BE-AE=4 310 .32.33=3【解析】延长BA CD交于点E,构成两个含30度角的直角三角形： EAB EAD应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求解即可拔高1.如图， ABC中 AB=AC=4 / C=72 ,D是AB中点，点E在AC上，DEL AB,cosA的值C.B.A.2.计算：(sin30 )(sin60cos45 )J3.如图，在 ABC中，/ C=150, AC=4, tanB=.(1 )求 BC的长;(2)利用此图形求tan 15。的值(精确到0.1，参考数据：忙访=1