03普通高等学校招生全国统一考试数学试题广东卷附解答

1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1暂缺2已知（ ）abcd3圆锥曲线（ ）abcd4等差数列中，已知，则n为（ ）a48b49c50d515双曲线虚轴的一个端点为m，两个焦点为f1、f2，f1mf2=120，则双曲线的离心率为（ ）abcd5设函数若，则x0的取值范围是（ ）a（1，1）b（1，+）c（，2）（0，+）d（，1）（1，+）7函数的最大值为（ ）abcd28已知圆的弦长为时，则a=（ ）abcd9已知圆锥的底面半径为r，高为3r，在它的所有内接圆柱中，全面积

2、的最大值是（ ）abcd10函数（ ）abcd11已知长方形的四个顶点a（0，0），b（2，0），c（2，1）和d（0，1）.一质点从ab的中点p0沿与ab夹角为的方向射到bc上的点p1后，依次反射到cd、da和ab上的点p2，p3和p4（入射角等于反射角）. 设p4的坐标为（x4，0），若则的取值范围是（ ）a（，1）bcd12一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）a3b4cd6二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上13不等式的解集是 14展开式中的系数是 15在平面几何里，有勾股定理：“设abc的两边ab、ac互相垂直，则ab

3、2+ac2=bc2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥abcd的三个侧面abc、acd、adb两两相互垂直，则 16如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知正四棱柱abcda1b1c1d1，ab=1，aa1=2，点e为cc1中点，点f为bd1中点. （1）证明ef为bd1与cc1的公垂线； （2）求点d1到面bde的距离.1

4、8（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60，且是和的等比中项. 求.19（本小题满分12分） 已知c0，设p：函数在r上单调递减q：不等式x+|x-2c|1的解集为r.如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围20（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市o（如图）的东偏南方向300km的海面p处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21（本小题满分14分）已知常数在矩形abcd中，ab=4，bc=4，o为ab的中点，点e、f、g

5、分别在bc、cd、da上移动，且，p为ge与of的交点（如图），问是否存在两个定点，使p到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22（本小题满分14分） 设为常数，且 （1）证明对任意； （2）假设对任意有，求的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.d 2.d 3.c 4.c 5.b 6.d 7.a 8.c 9.b 10.d 11.c 12.a二、填空题：13 14 15s2abc+s2acd+s2adb=2sbcd三、解答题：（i）证明：取bd中点m，连结mc，fm， f为bd1中点， fmd1d且

6、fm=d1d又ec=cc1，且ecmc，四边形efmc是矩形 efcc1 又cm面dbd1 ef面dbd1bd1面dbd1，efbd1 故ef为bd1与cc1的公垂线.（ii）解：连结ed1，有由（i）知ef面dbd1，设点d1到面bde的距离为d，则sdbcd=sdbdef.9分aa1=2ab=1. 故点d1到平面bde的距离为.18 解：设，则复数由题设1920解：如图建立坐标系以o为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：（1）台风中心p（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市o受到台风的侵袭，则有即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点p坐标满足的方程

7、，据此再判断是否存在的两定点，使得点p到两点距离的和为定值.按题意有a（2，0），b（2，0），c（2，4a），d（2，4a）设由此有e（2，4ak），f（24k，4a），g（2，4a4ak）直线of的方程为：直线ge的方程为：从，消去参数k，得点p（x,y）坐标满足方程整理得 当时，点p的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当时，点p轨迹为椭圆的一部分，点p到该椭圆焦点的距离的和为定长当时，点p到椭圆两个焦点（的距离之和为定值当时，点p 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.22本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nn，成立. 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一：由通项公式 等价于 （i）当n=2k1，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 （ii）当n=2k，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，