2022届高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文新人教版

1、9 9. .3 3圆的方程圆的方程-2-知识梳理双基自测211.圆的定义及方程 一定点 定长 (a,b) r -3-知识梳理双基自测212.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点m(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆内.= 0.() -5-知识梳理双基自测234152.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为() 答案解析解析关闭 答案解析关闭-6-知识梳理双基自测234153.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,

2、1),(2,0)的圆的方程为 . 答案解析解析关闭设点o,a,b的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则ao=ab,所以点a在线段ob的垂直平分线上.又因为ob为该圆的一条弦,所以圆心在线段ob的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. 答案解析关闭x2+y2-2x=0-7-知识梳理双基自测234154.经过点a(5,2),b(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 . 答案解析解析关闭 答案解析关闭-8-知识梳理双基自测234155.已知等腰三角形ab

3、c,其中顶点a的坐标为(0,0),底边的一个端点b的坐标为(1,1),则另一个端点c的轨迹方程为 . 答案解析解析关闭设c(x,y),根据在等腰三角形中,|ab|=|ac|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到a,b,c三点要构成三角形,因此点c不能为(1,1)和(-1,-1).所以点c的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和(-1,-1). 答案解析关闭x2+y2=2(除去点(1,1)和(-1,-1)-9-知识梳理双基自测23415自测点评1.求圆的标准方程,一定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素.2.配方法在圆的一般方程化为标准方程时起关键

4、作用,因此要熟练掌握.3.求轨迹方程时,一定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解.-10-考点1考点2考点3例1(1)已知圆c与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆c的方程为()a.(x+1)2+(y-1)2=2 b.(x-1)2+(y+1)2=2c.(x-1)2+(y-1)2=2d.(x+1)2+(y+1)2=2(2)圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0, x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程为 . 思考求圆的方程有哪些常见方法?b (x+3)2+(y-3)2=10 -11-考点1考点2考点3解析: (1)(方法一)设出

5、圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可.即|a|=|a-2|,解得a=1,故圆c的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离 ;圆心是直线x+y=0被这两条平行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0),与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所求圆c的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.(方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项c,d,再验证选项a,b中圆心到两直线的距离是否等于半径2即可.-12-考点1考点2考点3圆的方

6、程是(x+3)2+(y-3)2=10. -13-考点1考点2考点3(方法二)由方法一,知两圆交点为a(-4,0),b(0,2). 圆的方程是(x+3)2+(y-3)2=10. -14-考点1考点2考点3方法三(圆系法):设经过两圆交点的圆系方程为(x2+y2-2x+10y-24)+(x2+y2+2x+2y-8)=0(-1),即1-5-=0,=-2,所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.-15-考点1考点2考点3解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在

7、过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.-16-考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)过点a(4,1)的圆c与直线x-y-1=0相切于点b(2,1),则圆c的方程为.(2)在平面直角坐标系xoy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆c上,则圆c的方程为. (x-3)2+y2=2 (x-3)2+(y-1)2=9 -17-考点1考点2考点3解析: (1)(方法一)由已知kab=0,所以ab的中垂线方程为x=3. 过b点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=

8、0,所以圆c的方程为(x-3)2+y2=2.-18-考点1考点2考点3(方法二)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),因为点a(4,1),b(2,1)在圆上,-19-考点1考点2考点3例2如图,已知点a(-1,0)与点b(1,0),c是圆x2+y2=1上的动点,连接bc并延长至d,使得|cd|=|bc|,求ac与od的交点p的轨迹方程.思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?-20-考点1考点2考点3解:设动点p(x,y),由题意可知p是abd的重心.由a(-1,0),b(1,0),令动点c(x0,y0),-21-考点1考点2考点3解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设

9、条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.-22-考点1考点2考点3对点训练对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点a(2,0),b(1,1)为圆内一点,p,q为圆上的动点.(1)求线段ap中点的轨迹方程;(2)若pbq=90,求线段pq中点的轨迹方程.-23-考点1考点2

10、考点3解 (1)设ap的中点为m(x,y),由中点坐标公式可知,p点坐标为(2x-2,2y).因为p点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.故线段ap中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设pq的中点为n(x,y).在rtpbq中,|pn|=|bn|.设o为坐标原点,连接on,则onpq,所以|op|2=|on|2+|pn|2=|on|2+|bn|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段pq中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.-24-考点1考点2考点3考向一斜率型最值问题例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+

11、1=0,求 的最大值和最小值.-25-考点1考点2考点3解:原方程可化为(x-2)2+y2=3, 如图所示,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,-26-考点1考点2考点3考向二截距型最值问题例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.思考如何求解形如ax+by的最值问题?-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3考向三距离型最值问题例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?解 如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.-29-考点1

12、考点2考点3考向四建立目标函数求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点a,b,当|ab|取最小值时,切线l的方程为.思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?x+y-2=0 -30-考点1考点2考点3-31-考点1考点2考点3解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:(1)借助几何性质求最值形如 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出

13、关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.-32-考点1考点2考点3(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,则2x-y的最大值为,最小值为.(3)已知p(x,y)在圆c:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为.(4)设p为直线3x-4y+11=0上的动点,过点p作圆c:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为a,b,则四边形pacb的面积的最小值为.-33-考点1考点2考点3-34-考点1考点2考点3-35-考点1考点2考点3求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距、半径,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨