偏导数和全微分课件

1、偏导数和全微分l 对一元函数：对一元函数： yf x0000limxf xxf xfxx 导数导数描述了函数在描述了函数在0 xx处的瞬时处的瞬时变化率变化率，它的几何意义就是函数曲线上点它的几何意义就是函数曲线上点00,xf x处的处的切线的斜率切线的斜率.l 对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，6-4 偏导数与全微分偏导数与全微分以二元函数以二元函数 为例，为例，,zf x y将自变量将自变量 固定时，固定时，,zf x y就是就是 的一个一元函数的一个一元函数, 这函数求得的对这函数求得的对 导数，称作导数，称作,z

2、f x y对对 的的偏导数偏导数，类似地，可考虑，类似地，可考虑,zf x y对对 的的偏导数偏导数.xxxyy偏导数和全微分 1. 一阶偏导数一阶偏导数(偏微商偏微商)的定义的定义定义定义 设函数设函数,zf x y 在点在点00,xy 的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，00000,limxxf xf xyyx若若 存在，则称此存在，则称此极限极限为为00000,limyfyyyyxf x若若存在，则称此存在，则称此极限极限为为函数函数,zf x y在点在点00,xy处处对对 的偏导数的偏导数，记作，记作x函数函数,zf x y在点在点00,xy处处对对 的偏导数的偏导数，记作，记作y

3、00000000,x xx xyx xyy yy yy yzfzfxyyy或或00,xyzx00,f xyx00,xyxz00,xfxy或或偏导数和全微分如果函数如果函数,zf x y在区域在区域 D 内每一点内每一点, x y处对处对 和对和对 的的xy的偏导数都存在，那么我们就说函数的偏导数都存在，那么我们就说函数,zf x y在在 D 内可导，内可导，它在它在 D 内的偏导数仍是内的偏导数仍是x和和y的二元函数，称为的二元函数，称为偏导函数偏导函数，简称，简称偏导数偏导数，记为，记为,xxzfzfx yxx或或,yyzfzfx yyy求偏导方法求偏导方法：只需将：只需将其它变量视为常数其

4、它变量视为常数，按一元函数求导则可，按一元函数求导则可.偏导数和全微分例例1.,.cos),(22yfxfyexyyxyxfzx求设解解xfyf例例2 设，）0, 0(),(yxxyxfy.,yfxf求解解xfyf,cos2yeyxx.sin2yexyx,1yyx.ln xxy偏导数和全微分例例3解法解法1 .|),ln(),()2, 1(22xzyxxyxfz求设2yz)2 ,(xf),4ln(2xx) 2, 1(xz1)4ln(2xxxdxd1)42)4(ln(222xxxx.525ln 解法解法2xz.2)ln(22222yxxyx) 2, 1(xz.525ln (先代后求)(先求后代)

5、偏导数和全微分例例4 设.|)2()2(arctan)0, 2(322yzyxxyyyxz求解解2|xz), 2(yz,2arctany)0, 2(|yz0|), 2(ydyydz0|2arctanydyyd02|4121yy.21偏导数和全微分),(zyxfx例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为(请自己写出)例例5.u,.sin)(2222zyuxuxzyxu及求设解解xuyu,cos2222x

6、xxz ,22yz).(222yxzzu偏导数和全微分二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:0000),(dd),(xxyxfxyxfx0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M对 y 轴的偏导数和全微分函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.一元

7、函数在某一元函数在某点可导，则在点可导，则在该点连续该点连续.偏导数和全微分偏导数的几何意义说明了偏导数的几何意义说明了: 二元函数的偏导数存在二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿只是表明函数沿 x 和和 y 轴方向是连续的轴方向是连续的 , 而二元函而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数和全微分2. 高阶偏导数高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx

8、)(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:偏导数和全微分 若函数若函数 的两个混合偏导数的两个混合偏导数和和 在区域在区域D内连续内连续,则在该区域内这两个二阶则在该区域内这两个二阶偏导数必相等偏导数必相等, 即即:,f x y,yxfx y,xyfx y定理定理1,.xyyxfx yfx yx yD *证xyf及及yxf称为称为混合偏导数混合偏导数.偏导数和全微分例例6 设 ，求二阶偏导数.xyyez 解解xzyz

9、,2xyey,)1 (xyexyxxz,3xyeyxyzxyxyexyey22xyexyy)2(2yxzxyxyyexyey)1 ( xyeyxyy)1 (,)2(2xyexyy yyzxyxyexyxxe)1 ( xyexyxx)1 (.)2(2xyeyxx注意注意: :此处yxxyzz.的连续函数与是与因为yxzzyzxy偏导数和全微分类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1偏导数为11nnxz.8),(个三阶偏导数

10、共有一个二元函数yxf偏导数和全微分例例7 证明 满足平面拉普拉斯方程.22lnyxz证证xz),ln(2122yxz,22yxx22xz22222)(2)(yxxxyx,)(22222yxxy利用对称性 , 有22yz.)(22222yxyx22xz. 022yz 一个含有未知函数的偏导数的方程式称作偏微分方一个含有未知函数的偏导数的方程式称作偏微分方程，显然，上述程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程偏微分方程.偏导数和全微分例例8 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证证xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu

11、方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0222222zyx拉普拉斯算子,3rx偏导数和全微分内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)偏导数和全微分应用 一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差3.全微分设二元函数为设二元函数为 00( , )

12、, (,)fzf x yxyD全增量全增量：称：称 为函数在点为函数在点 处的全增量处的全增量. 0000(,)(,)zf xyxxyfy 00(,)xy偏导数和全微分. 00yx与的表达式是较复杂的，一般说来， z例如函数：处的全增量为在),(),(002yxxyyxf),(),(0000yxfyyxxfz200200)(yxyyxx,2220200020yxyxyyxyyxxy是是 与与 的二次以上的多项式的二次以上的多项式yx.项小得多很小时，后三项比前两，当yx若令,22yx:则有所以有所以有),(20020oyyxxyz. 0,20020yyxxyzyx 可用可用 与与 的线性函数近

13、似代替的线性函数近似代替.z是关于是关于 与与 的线性函数的线性函数xy偏导数和全微分定义定义A xB y 为函数在为函数在 处的处的全微分全微分,记为：记为：00,xydzA xB y 设设 在点在点 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,f x y00,xy 其中其中 只与点只与点 有关而与自变量的改变量有关而与自变量的改变量 无关无关,A B00,xy, xy22,xy 则称则称 在在 处处可微可微，并称，并称00,x y,f x y- 全增量全增量 的的线性主线性主要要部部分分z当当 在区域在区域 内每一点都可微时内每一点都可微时,称函数在称函数在 可微可微.,f x yDD若若 的的

14、全增量全增量( , )f x y0000,zfxyxfxyy 可写成可写成 (6. 3) ,zA xB yo 0, 对于一般的二元函数，我们也希望能用 的一个线性函数来近似代替yx 与. z为此，引进全微分的概念全微分的概念.偏导数和全微分(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim0000yyxxfyx由微分定义 :得zyx00lim0),(00yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即偏导数和全微分定理定理2若若 在在 处可微处可微,f

15、x y00,xy定理定理3若若 在在 处可微处可微,则它在则它在 处处的两个偏导数存在的两个偏导数存在,且且 ,f x y00,xy00,xy0000,.xyfxyAfxyB 则则 在在 处必连续处必连续.00,x y,f x y证证 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令并有这时|,| x),(),(0000yxfyxxf. 0|),(|xxoxA. 0,|)(|),(),(0000 xxxoAxyxfyxxf.),(),(lim00000Axyxfyxxfx),(00yxfx偏导数和全微分.),(00Byxfy同理可证因此有.),(00yyxfdzyxyxfx),(00 若若 在区域在区

16、域D 内可微内可微,则在则在D内任一点内任一点的全微分可写成的全微分可写成,f x y, x yd,xyzfx y dxfx y dy,df x yf x yfdxdyxy,df x yf x yfdxdyxy或写成或写成d,xyzfx y dxfx y dy定理定理3告诉我们偏导数存在是二元函数全微分存在的告诉我们偏导数存在是二元函数全微分存在的必必要条件，但不是充分条件要条件，但不是充分条件 .偏导数和全微分例例 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 它在(0,0)点的偏导数存在,注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:0),(,22y

17、xyxyx0),(, 0yx但它在但它在(0,0)点并不连续点并不连续. 另一方面，连续是可微的必另一方面，连续是可微的必要条件要条件.由此可见，这个函数在由此可见，这个函数在(0,0)点不可微点不可微.偏导数和全微分 若若 的偏导数的偏导数 与与 在点在点 的某个邻域内存在的某个邻域内存在, 且这两个偏导数在且这两个偏导数在处连续处连续,则则 在点在点 处可微处可微.,zf x y,xfx y,yfx y00,xy00,xy,f x y00,xy定理定理4 (可微的充分条件可微的充分条件)证 考察函数的全增量),(),(0000yxfyyxxfz),(),(0000yyxfyyxxf),()

18、,(0000yxfyyxfxyyxxfx),(010(应用拉格日中值定理)(*)1,0(),(21200yyyxfy连续，所以在由于),(,00yxffyx偏导数和全微分),(010yyxxfx时，当0,0yx),(00yxfx),(200yyxfy).,(00yxfy故有),(010yyxxfx,),(100yxfx),(200yyxfy,),(200yxfy，其中0021时，当0)()(22yx代入到（*）式得xyxfzx),(00,),(2100yxyyxfy).(021oyx时再证事实上偏导数和全微分|02121yxyx,21由夹逼定理得,0lim210yx).(021oyx时即因此xyxfzx),(00.0),(),(00oyyxfy.