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文档简介

1、证明数列收敛本文讨论了一类递推数列的单调性与收敛性问题，同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.运用单调有界性来证明收敛,而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况： 易知单调递增或递减,需证有上界或下界。 易知有上界或下界,需证单调递增或递减。 易知既有上界又有下界,需证单调。 易知单调,需证既有上界又有下界。用导数来求证单调有界性如果，即函数单调递增时,数列具有单调性是可以肯定的,而研究递增递减那要看跟的比较了(如果的话，那么)具体的说若时,由,那么可以判定为减数列。若时,由,那么可以判定为增数列。例题1.证：记,则因为，则，由于所以,即那么具有单调有界性，上界为然后对数列两边取极限,记极限为

2、则设函数,其中a为方程的根，由于在上连续,在内可导，则所以函数递增,又由于所以的根在内。如果,即函数单调递减时,数列肯定不具有单调性的.但是,它的奇数项子数列和偶数项子数列都可以看作是通过单调增加函数g().其中所以肯定具有单调性,而且其增减性恰好相反例题.当时,，证明数列收敛,并求其极限值。证:设函数,则函数在上连续，在内可导,易知。所以在上递减。由于,可知，又在上递减。所以有,即,所以可推得由此可知奇数项子数列单调递减有下界，偶数项子数列单调递增有上界，则两子数列都收敛。设奇数项子数列收敛于p，偶数项子数列收敛于q。对两边去极限得:解方程得那么数列收敛于。利用不动点与导数的结合来证单调有界

3、性。定义：对于函数,若存在实数,使得，则称c为的不动点。命题.设函数在上连续，在内可导，且,.设,则递推数列收敛。命题2.设函数在上连续，在内可导，且,设，则递推数列收敛。命题3如果函数在有唯一的不动点，那么数列必收敛于该不动点。推论:对于递推数列, 如果,那么数列收敛，且收敛于l,其中。例题设， （）,求证:数列收敛,并求其极限。解：数列的迭代方程,。又，即。故数列在区间上满足命题1的条件,于是数列收敛。又在上有唯一的不动点,于是。例题2 已知函数,且存在，使.设，,其中,证明：。证：由数列的迭代函数得，从而在区间上，由命题1的结论得，在区间上,由命题2的结论得，于是有.证毕.利用单调性的定义或数学归纳法。例题. 设， ,证明数列极限存在。思路：先试求的极限,对两边取极限,解得,猜想它是数列的一个上界，那么问题就转换为证明这个猜想。证:易从看出数列递增。接下来用数学归纳法求证有上界。显然，假设,便有了。则为单调递增有上界的数列，故数列收敛。例题3证：利用数学归纳法对n进行归纳证明,当时已知成立。假设,由重要不等式

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