第4章统计假设检验

1、 第4章 统计假设检验 第1节 统计假设检验的基本概念 例1 某工厂生产60W灯泡，灯泡寿命服从正态分布，改进灯丝配料方案以后，又生产了一批灯泡，假定灯泡寿命仍服从正态分布，其标准差不变。从新配料方案生产的一批灯泡中抽取20个，测试寿命值，经计算得样本均值为（单位：h），试问新的灯丝配料方案生产的灯泡寿命比以往的是否有显著差异？或问是否有显著提高？ 例2 某工厂生产的一批产品，按规定标准，出厂的次品率不得超过3%。今从中随机抽取200件样品进行检查，发现有9件不合格品，试问这批产品能否出厂？ 例3 对甲乙两种玉米进行品比试验，得到如下资料： 甲：951 966 1008 1082 983 乙：

2、730 864 742 774 990问这两种玉米产量是否有显著差异？ 例4 抛一枚硬币100次，正面出现60次，问这枚硬币是否均匀？ 对随机分布中未知参数的假设，称为参数假设。作为检验对象的假设称为待检假设或零假设。一般用表示。 和原假设对立的任何一个假设称为备择假设，记为。原假设和备择假设主要有以下几种形式：（1）简单原假设对简单备择假设， （2）简单原假设对复合备择假设， 或或（3）复合原假设对复合备择假设， 或， 或， 双边检验：， 单边检验：，或，并约定等号放在原假设上。 一般来说，原假设是受到保护的，没有充分的根据是不能拒绝的。 假设只是一种设想，至于这种设想是否成立我们并不知道，

3、我们的任务就是对这个设想进行考察，依据的东西自然就是样本和总体的分布这两个信息，从而决定实际问题能否合理的被认为与假设相符，这一过程就是假设检验。 假设检验的方法是用置信区间的方法，基本思想是小概率事件在一次实验中是不可能发生的。 例5 某车间用一台自动包装机包装葡萄糖，根据长期积累的资料知道，包得的袋装葡萄糖的重量是一个随机变量，且服从的正态分布，某日开工后为检验包装机工作是否正常，随机地抽取9袋，称得净重为（单位：千克）0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512，问包装机工作是否正常？假设检验的基本步骤：第1步：根据实际问题，

4、提出原假设和备择假设第2步：根据的内容，选取检验统计量，并在成立的条件下确定统计量的分布；第3步：根据检验水平，确定临界值或拒绝域；第4步：由样本观察值，计算统计量的值，并与临界值相比较，做出拒绝或接受的判断。 由于我们判断的依据是样本，即由部分来推断总体，因而假设检验不可能绝对正确，也可能犯错误，这种错误大致可以分成两类：第一类：原假设是正确的（真），而检验结果却错误地拒绝了，这叫“弃真”错误，通常称为第一类错误。由于仅当小概率事件发生时，才否定，所以 拒绝为真=第二类：原假设是错误的（不真，伪），而检验结果却错误地接受了，这叫“取伪”错误，通常称为第二类错误。犯第二类错误的概率记为。 例6

5、 假设是连续型随机变量，是对的（一次）观测值，关于其概率密度有如下假设： ，检验规则：当事件出现时，否定接受，求检验犯第一类错误和第二类错误的概率和。 例7 关于泊松随机质点流的强度有两个二者必居其一的假设，和，以表示10分钟出现的随机质点数。检验规则是:当时否定接受，求检验犯第一类错误和第二类错误的概率和。 第2节 参数假设检验的方法一、正态检验法（检验法）1、单正态总体的数学期望的假设检验 设为取自总体的样本，未知，已知，关于的假设检验第一步：提出假设， 第二步：选取统计量第三步：对检验水平，确定拒绝域为（或）第四步：计算统计量的值，若（或）拒绝，否则接受。 例1 某工厂生产的某种型号的电

6、子元件，其平均使用寿命不得低于1000h。今从中任取25件，测试其寿命，经计算得样本均值，假定原件寿命，给定显著性水平，试问这批元件是否合格？解：（1） （2）选取统计量（3）对检验水平，拒绝域为（4）由于落在拒绝域中，所以拒绝，即认为这批元件不合格。2、非正态总体参数的假设检验适用于大样本（）情形假定总体服从非正态分布， 当为真时 特别的，若总体分布，参数为， 由中心极限定理，可得拒绝域（或） 例2 某工厂生产的一批产品，按规定标准，出厂的次品率不得超过3%。今从中随机抽取200件样品进行检查，发现有9件不合格品，试问这批产品能否出厂？已知解：本问题是在下检验假设 ， 选取统计量检验的拒绝域

7、为，由于，未落入拒绝域中，从而接受，即认为这批产品可以出厂。3、双正态总体的数学期望的假设检验 设是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差；是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差。两样本相互独立。 ， 当已知时，选取统计量当未知时，大样本情况下，即，当为真时，选取统计量相应的拒绝域为（或）。当总体，假设 ， 当为真时，选取统计量由于，统计量 例3 在由机器A生产的200只螺栓和由机器B生产的100只螺栓的随机样品中，分别发现有19只和5只有缺陷的螺栓。试问在显著性水平下，（1）两台机器呈现不同的性能吗？（2）机器B操作的比机器A好些吗？假定机器A、B生产的螺栓总体

8、均值分别为解：（1）是在下检验假设 ， 当为真时，选取统计量，由于统计量的值没有落在拒绝域中，所以接受，即不能认为两台机器性能不同。（2）是在下检验假设 ， 当为真时，选取统计量，由于统计量的值没有落在拒绝域中，所以接受，即不能认为机器A比机器B好。二、检验法1、单正态总体的数学期望的假设检验 设为取自总体的样本，、未知，关于的假设检验 ， 选取统计量对检验水平，拒绝域为（或） 例4 某食品厂生产的袋装花生米。每袋净重服从正态分布，其中标准差未知。今开箱任意抽取10袋，称得样本均值克，样本标准差为克，试问在显著性水平下，是否可以认为该箱袋装花生米每袋净重不小于150克？解：本问题是在下检验假设

9、 ， 选取统计量，临界值由于 说明统计量的值落在拒绝域中，所以拒绝，即不可以认为该箱袋装花生米每袋净重不小于150克。2、双正态总体的数学期望的假设检验 设是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差；是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差。两样本独立。 ， 当未知时，选取统计量 对检验水平，确定拒绝域为（或） 例5 从两家工商银行分别独立地对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得平均存款余额分别为，样本标准差，假设两家银行存款余额分别服从正态分布，试问在显著性水平下，是否可以认为两家银行储户的平均年存款余额有显著性差异？解：本问题是在下检验假设， 选取

10、统计量 给定，检验的拒绝域为而 由于 说明统计量的值落在拒绝域中，所以拒绝，即不可以认为两家银行储户的平均年存款余额有显著性差异。3、数据成对出现的情况有对试验结果， ，与相互独立，且假定未知，检验假设 ， 即， 此时常作，即，则，于是，其中，对检验水平，检验的拒绝域为（或）例6 某货运公司欲实验两种不同品牌的卡车轮胎的耐磨性，以便选择耐磨性较好的加以采购，各购买了A种和B种轮胎8个，各抽取一个组成一对，再用随机抽样的方法按装在8辆卡车上，行驶一定的里程后，测量轮胎磨损量（单位：mg），试在显著性水平下，检验两种品牌轮胎的耐磨性是否有显著性差异？4900 5220 5500 6020 6340

11、 7660 8650 48704930 4900 5140 5700 6110 6880 7930 5010-30 320 360 320 230 780 720 -140解：本问题是在下检验假设， 或， 选取统计量给定，检验的拒绝域为而，由于 说明统计量的值落在拒绝域中，所以拒绝，即可以认为两种品牌轮胎的耐磨性有显著性差异。 三、检验法设为取自总体的样本，检验假设 ， 若已知，则选取统计量对检验水平，检验的拒绝域为或（或）若未知，则选取统计量对检验水平，检验的拒绝域为或（或）例7 某工厂生产的铜丝的折断力（单位：N）服从正态分布，某日抽取10根，测得折断力为578 572 570 568 5

12、72 570 572 596 584 570（1）若已知，试在显著性水平下，检验是否成立？（2）若未知，试在显著性水平下，检验是否成立？解：（1）， 选取统计量对检验水平，检验的拒绝域为或，由于说明统计量的值未落在拒绝域中，所以接收，即可以认为成立。（2）， 选取统计量对检验水平，检验的拒绝域为或，由于说明统计量的值未落在拒绝域中，所以接收，即可以认为成立。四、检验法设是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差；是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差。检验， （1）若已知，选取统计量对检验水平，检验的拒绝域为或（或）（2）若未知，选取统计量对检验水平，检验的拒绝域为

13、或（或）例8 为了减少发动机的装配时间，起草了A、B两种改进方案。分别用A方案装配10台，用B方案装配9台，记录装配时间列入下表：n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10方案A83 79 72 85 70 76 78 81 95 82方案B68 76 81 73 66 70 73 76 80假设A、B两种方案装配时间分别服从正态分布，试在显著性水平下，检验A、B两种方案装配时间是否有显著性差异？解：， 选取统计量对检验水平，检验的拒绝域为或，由于说明统计量的值未落在拒绝域中，所以接收，即可以认为A、B两种方案装配时间的方差没有显著性差异。若选取统计量 则，得出同样的结论，但减少了计算量。（2

14、）， 选取统计量 给定，检验的拒绝域为 由于 说明统计量的值未落在拒绝域中，所以接收，即可以认为A、B两种方案装配时间没有显著性差异。 第3节 非参数的假设检验一、单总体分布的检验1、拟合优度检验例1 在实验室里观察某种铀放射出来的粒子到达计数器上的个数，每隔一定时间观察一次实验结果，共观察了100次，数据列表如下0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 100其中为观察到有个粒子的个数。从理论上考虑应服从泊松分布，试在显著性水平下，检验设想是否正确？解：总体服从泊松分布，即 利用极大似然估计，得参数的估计值为151617261199

15、21210.0150.0630.1320.1850.1940.1630.1440.0690.0360.0170.0070.00513.218.519.416.314.46.9-1.82.8-1.56.6-5.3-2.42.1-0.50.4150.5940.1222.2451.7230.5050.6390.03851006.2815即，因为，统计量的值没有落入拒绝域中，从而接受，即可以认为总体服从泊松分布。例2 一自动化车床连续用刀具加工某种零件，从换上新刀具到损坏为止加工的零件数称为刀具的寿命。现记录100把刀具的寿命，经计算，频率分布列表如下：组号1 2 3 4 5 6 7 寿命区间（336

16、.5， （339.5， （342.5， （345.5， （348.5， （351.5， （354.5 339.5 342.5 345.5 348.5 351.5 354.5 357.5频数 1 5 11 18 24 20 12组号8 9 10 寿命区间（357.5， （360.5， （363.5， 360.5 363.5 366.5 频数 6 2 1 100通过画直方图，粗略知道刀具寿命服从正态分布。试在显著性水平下，检验刀具寿命是否服从正态分布？解：本问题是在下，检验假设 ：总体服从正态分布 1511182420126210.01450.0460.10930.18580.22770.1981

17、0.12950.05970.01970.05910.9318.5822.7719.8112.95-0.050.07-0.581.230.19-0.950.470.00041320.0004480.01810550.06644270.00182230.06969110.02589681000.1828即，因为，即统计量的值没有落入拒绝域中，从而接受，即认为总体服从正态分布。2、戈尔莫哥洛夫(Kolmogorov)检验法-单个连续型总体分布的检验法 是给定的某个连续型分布函数。设是来自于总体的简单随机样本，由戈列文科定理知，经验分布函数依概率收敛于分布函数，即定义与的距离为，Glivenko Ca

18、ntelli证明了选取统计量当为真，应该较小，戈尔莫哥洛夫（Kolmogorov）证明了的极限分布为若记，的值在附表8中。对给定的检验水平，检验的拒绝域为例3 从连续分布总体抽取容量为25的样本，其观察值为-2.46 -2.11 -1.23 -0.99 -0.42 -0.39 -0.21 -0.15 -0.10 -0.07 -0.02 0.27 0.40 0.42 0.44 0.70 0.81 0.88 1.07 1.39 1.40 1.47 1.62 1.64 1.76，试在显著性水平下，检验样本来自于标准正态分布解：将样本按照从小到大的顺序排序，得经验分布函数 当为真时，计算相应的标准正态

19、分布的函数值结果列表如下 12345678910111213141516171819202122232425-2.46 0.04 0.0069 0.0069 0.0331-2.11 0.08 0.0174 0.0226 0.0626-1.23 0.12 0.1093 0.0293 0.0107-0.99 0.16 0.1611 0.0411 0.0011-0.42 0.2 0.3372 0.1772 0. 1372-0.39 0.24 0.3483 0.1483 0.1083-0.21 0.28 0.4168 0.1768 0.1368-0.15 0.32 0.4404 0.1604 0.12

20、04-0.10 0.36 0.4602 0.1402 0.1002-0.07 0.40 0.4721 0.1121 0.0721-0.02 0.44 0.4920 0.0921 0.05200.27 0.48 0.6064 0.1664 0.12640.40 0.52 0.6554 0.1754 0.13540.42 0.56 0.6628 0.1428 0.10280.44 0.60 0.6700 0.1100 0.07000.70 0.64 0.7580 0.1580 0.11800.81 0.68 0.7910 0.1510 0.11100.88 0.72 0.8106 0.1306 0

21、.09061.07 0.76 0.8577 0.1397 0.09771.39 0.80 0.9197 0.1577 0.11771.40 0.84 0.9192 0.1192 0.07921.47 0.88 0.9292 0.0892 0.04921.62 0.92 0.9474 0.0674 0.02741.64 0.96 0.9495 0.0295 0.01051.76 1 0.9608 0.0520 0.0392给定，检验的拒绝域为，这里，即统计量的值没有落入拒绝域中，从而接受，即可以认为总体服从标准正态分布。二、双总体的检验1、斯米尔诺夫（Smirnov)检验法戈尔莫哥洛夫给出的是单

22、总体分布的检验法。假设两个总体和都服从连续分布，分布函数分别为和，斯米尔诺夫（Smirnov)给出的是两个总体分布的检验问题，即检验假设 设是来自于总体的简单随机样本， 是来自于总体的简单随机样本，和分别是两个样本的经验分布函数，和之间的差异反映了和之间的差异，选取统计量，当为真，应该较小，GlivenkoCantelli证明了，斯米尔诺夫（Smirnov)证明了对给定的检验水平，检验的拒绝域为，的值可以从附表8中查得。2、秩和检验法 秩和检验由FWilcoxon，HBMann和DRWhitney提出。定义 设是来自于总体的简单随机样本，将其观察值按从小到大的顺序排列，得，如果，则称为的秩。例4 设从总体中抽取容量为4的样本，其观察值为，按从小到大的顺序排列，得，则， 假设和是两个随机变量，分布函数分别为和，从中抽取容量为的样本，其顺序统计量为；从中抽取容量为的样本，其顺序统计量为，将两个样本混合起来，并将混合后的个样本值按从小到大的顺序排序，若检验 当为真，