第一部分专题一第4讲万有引力定律及其应用

1、第 4 讲万有引力定律及其应用热点一万有引力定律的应用命题规律万有引力定律的应用在高考中也时有考查 题型主要为选择题， 命题角度有以下几点：(1)结合比例运算求解重力加速度等问题(2)考查重力与万有引力的关系的应用1(2015高考海南卷)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2 7.已知该行星质量约为地球的 7 倍，地球的半径为 R.由此可知，该行星的半径约为()A12RB72RC2RD72R突破点拨(1)根据平抛运动规律可解行星与地球表面的重力加速度之比(2)根据星球表面GMmR2mg 可求该行星半径解析在行星和地球上

2、相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体， 它们经历的时间之比即为在水平方向运动的距离之比， 所以t1t227.竖直方向上做自由落体运动，重力加速度分别为 g1和 g2，因此g1g22h/t212h/t22t22t2174.设行星和地球的质量分别为 7M 和 M，行星的半径为 r，由牛顿第二定律得G7Mmr2mg1GMmR2mg2/得 r2R因此 A、B、D 错，C 对答案C在上述题 1 中，若行星赤道上的物体不因随行星自转而被甩出，则行星自转周期不能小于多少？(已知地球半径 R地6 400 km，地球表面的重力加速度 g地10 m/s2)解析：由题意知，赤道上的物体所受万

3、有引力恰好提供向心力，设行星赤道上物体的质量为 m.GM行mR2行m42T2R行又GM地R2地g地且根据上述题 1 解析知，M行7M地，R行2R地解得：T42R地7g地5.4103s.答案：5.4103s2(2015湖南十三校二联)据报道，科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星假设该行星质量约为地球质量的 6.4 倍，半径约为地球半径的 2 倍那么，一个在地球表面能举起 64 kg 物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度 g10 m/s2)()A40 kgB50 kgC60 kgD30 kg解析设地球的半径为 R，质量为 M，则由万有引力定律

4、可得：GMmR2mg，Fmg，可得：人的举力 FGMmR2；同理在“宜居”行星上，人的举力 FG6.4Mm4R2，联立可得：mm1.640 kg，选项 A 正确，选项 B、C、D 错误答案A3.(多选)为了探寻金矿区域的位置和金矿储量，常利用重力加速度反常现象如图所示，P 点为某地区水平地面上的一点， 假定在 P 点正下方有一空腔或密度较大的金矿， 该地区重力加速度的大小就会与正常情况有微小偏离， 这种现象叫做“重力加速度反常” 如果球形区域内储藏有金矿，已知金矿的密度为，球形区域周围均匀分布的岩石密度为0，且0.又已知引力常量为 G，球形空腔体积为 V，球心深度为 d(远小于地球半径)，则下

5、列说法正确的是()A有金矿会导致 P 点重力加速度偏小B有金矿会导致 P 点重力加速度偏大CP 点重力加速度反常值约为gG（0）Vd2D在图中 P1点重力加速度反常值大于 P 点重力加速度反常值解析因为金矿对地球表面物体的引力大，所以有金矿会导致 P 点重力加速度偏大，即 B 正确，A 错误；根据万有引力定律可知 P 点重力加速度反常值约为gG（0）Vd2，即 C 正确； 因为 P1点较远， 所以在图中 P1点重力加速度反常值小于 P 点重力加速度反常值，即 D 错误答案BC总结提升(1)万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用，故求一般物体间的万有引力时，应把物体进行分割，使之能视为质点

6、后再用 FGm1m2r2求质点间的各个作用力，最后求其合力(2)对于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用万有引力定律的公式来计算，式中的 r 是两个球体球心间的距离；一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用公式 FGm1m2r2计算，式中 r 是球体球心到质点的距离(3)对于一般情况物体间的万有引力中学阶段无法求解，但某些特殊情况下我们应用“补偿法”可以求出其万有引力的大小热点二天体质量和密度的计算命题规律天体质量和密度的计算问题是近几年来高考的热点 命题规律一般体现在以下两个方面：(1)结合星球表面重力加速度考查(2)结合卫星绕中心天体做圆周运动考查1(多选)(2015大连模拟)宇航

7、员抵达一半径为 R 的星球后，做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为 m 的砝码，另一端连接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动若该星球表面没有空气，不计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为F.已知万有引力常量为 G，根据题中提供的条件和测量结果，可知()A该星球表面的重力加速度为F2mB该星球表面的重力加速度为F6mC该星球的质量为FR26GmD该星球的质量为FR23Gm突破点拨(1)题干中“该星球表面没有空气，不计阻力”说明砝

8、码在竖直平面内做圆周运动过程中，遵守机械能守恒定律(2)计算星球的质量，本题中应根据GMmR2mg 计算解析设砝码在最高点的速率为 v1，受到的弹力为 F1，在最低点的速率为 v2，受到的弹力为 F2，则有F1mgmv21R，F2mgmv22R砝码由最高点到最低点，由机械能守恒定律得：mg2R12mv2112mv22拉力传感器读数差为FF2F16mg故星球表面的重力加速度为 gF6m，A 错误，B 正确；在星球表面附近有：GMmR2mg，则 MFR26Gm，故 C 正确，D 错误答案BC(1)在上述题 1 中，试计算该星球的平均密度解析：由于星球的质量为 MFR26Gm，其平均密度MVFR26

9、Gm43R3F8GmR.答案：F8GmR(2)在上述题 1 中，试求出该星球的第一宇宙速度解析：该星球的第一宇宙速度为v gRF6mRFR6m.答案：FR6m2 (2015高考江苏卷)过去几千年来， 人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内， 行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为()A110B1C5D10解析行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得GMmr2m42T2r，则M1M2r1r23T2T121203365421

10、，选项 B 正确答案B3(2015武汉模拟)美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行， 环绕 n 周飞行时间为 t.已知万有引力常量为 G， 则下列关于土星质量 M 和平均密度的表达式正确的是()AM42n2（Rh）3Gt2，3n2（Rh）3Gt2R3BM42（Rh）2Gt2，3n2（Rh）2Gt2R3CM42t2（Rh）3Gn2，3t2（Rh）3Gn2R3DM42n2（Rh）3Gt2，3（Rh）3Gt2R3解析探测器围绕土星飞行， 万有引力提供它做圆周运动的向心力， 有 G

11、mM（Rh）2m(Rh)2T2，其中公转周期 Ttn，则土星的质量为 M42n2（Rh）3Gt2.密度M43R3，代入质量可得土星的密度为3n2（Rh）3Gt2R3，A 正确答案A总结提升估算中心天体的质量和密度的两条思路(1)测出中心天体表面的重力加速度 g.由 GMmR2mg 求出 M，进而求得MVM43R33g4GR.(2)利用环绕天体的轨道半径 r、周期 T.由 GMmr2m42T2r 可得出 M42r3GT2.若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径 rR，则M43R33GT2.热点三人造卫星的定轨问题命题规律人造卫星问题一直是近几年高考的热点，命题规律主要是结合圆周运动规

12、律、万有引力定律进行考查：(1)考查卫星在轨道运行时线速度、角速度、周期的计算(2)考查不同轨道卫星各个物理量的比较(3)结合宇宙速度考查1.(2015河南八市质检)如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极上空，已知该卫星从北纬 60的正上方，按图示方向第一次运行到南纬 60的正上方时所用时间为 1 h，则下列说法正确的是()A该卫星与同步卫星的运行半径之比为 14B该卫星与同步卫星的运行速度之比为 12C该卫星的运行速度一定大于 7.9 km/sD该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能突破点拨(1)极地卫星的周期为_(2)卫星周期与轨道半径的关系式为_(3)卫星的机械能大小与

13、哪些因素有关？解析由题知卫星运行的轨迹所对圆心角为 120， 即运行了三分之一周期， 用时 1 h，因此卫星的周期 T3 h，由 GMmr2m42T2r 可得 T r3，又同步卫星的周期 T同24 h，则极地卫星与同步卫星的半径之比为 14，A 正确由 GMmr2mv2r，可得 v1r，故极地卫星与同步卫星的运行速度之比为 21，B 错误第一宇宙速度 v7.9 km/s，是近地卫星的运行速度，而该卫星的运行速度小于 7.9 km/s，故 C 错误因卫星的质量未知，则机械能无法比较，D 错误答案A在上述题 1 中，极地卫星转动一周的过程中，地球自转转过多少周？解析：卫星周期 T3 h，地球自转周

14、期 T24 h，故地球转动18周答案：182(2015高考福建卷)如图，若两颗人造卫星 a 和 b 均绕地球做匀速圆周运动，a、b 到地心 O 的距离分别为 r1、r2，线速度大小分别为 v1、v2，则()Av1v2r2r1Bv1v2r1r2Cv1v2(r2r1)2Dv1v2(r1r2)2解析对人造卫星，根据万有引力提供向心力GMmr2mv2r，可得 vGMr.所以对于a、b 两颗人造卫星有v1v2r2r1，故选项 A 正确答案A3(多选)(2015高考天津卷) P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星 s1、s2做匀速圆周运动图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力

15、产生的加速度 a，横坐标表示物体到行星中心的距离 r 的平方，两条曲线分别表示 P1、P2周围的 a与 r2的反比关系，它们左端点横坐标相同则()AP1的平均密度比 P2的大BP1的“第一宇宙速度”比 P2的小Cs1的向心加速度比 s2的大Ds1的公转周期比 s2的大解析由图象左端点横坐标相同可知，P1、P2两行星的半径 R 相等，对于两行星的近地卫星：GMmR2ma，得行星的质量 MR2aG，由 ar2图象可知 P1的近地卫星的向心加速度大，所以 P1的质量大，平均密度大，选项 A 正确；根据 GMmR2mv2R得，行星的第一宇宙速度 vGMR，由于 P1的质量大，所以 P1的第一宇宙速度大

16、，选项 B 错误；s1、s2的轨道半径相等，由 ar2图象可知 s1的向心加速度大，选项 C 正确；根据 GMmr2m2T2r 得，卫星的公转周期 T2r3GM，由于 P1的质量大，故 s1的公转周期小，选项 D 错误答案AC总结提升解答卫星问题的三个关键点(1)根据 GMmr2F向mv2rmr2mr42T2ma，推导、记忆 vGMr、GMr3、T42r3GM、aGMr2等公式(2)理解掌握第一宇宙速度的意义、求法及数值单位(3)灵活应用同步卫星的特点，注意同步卫星与地球赤道上物体的区别和联系对卫星变轨问题的考查命题规律卫星或航天器的变轨问题是高考热点，预计命题角度有以下几点：(1)发射过程中

17、的变轨问题，考查卫星的速度、周期、加速度(2)考查航天器对接过程中的轨道控制(3)考查变轨前后的速度、周期及机械能的比较范例(多选)在发射一颗质量为 m 的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道变轨后到达距地面高为 h的预定圆轨道上已知它在圆形轨道上运行的加速度为 g，地球半径为 R，图中 PQ 长约为 8R，卫星在变轨过程中质量不变，则()A卫星在轨道上运行的加速度为hRh2gB卫星在轨道上运行的线速度为 vgR2RhC卫星在轨道上运行时经过 P 点的速率大于在轨道上运行时经过 P 点的速率D卫星在轨道上的动能大于在轨道上的动能解析

18、设地球质量为 M，由万有引力提供向心力得在轨道上有 GMmR2mg，在轨道上有 GMm（Rh）2man，所以 anRRh2g，A 错；又因 anv2Rh，所以 vgR2Rh，B对；卫星由轨道变轨到轨道需要加速，做离心运动，即满足GMmr2a3a1Ba2a1a3Ca3a1a2Da3a2a1解析：选 D空间站和月球绕地球运动的周期相同，由 an2T2r 知，a2a1；对地球同步卫星和月球， 由万有引力定律和牛顿第二定律得 GMmr2man， 可知 a3a2， 故选项 D 正确7 (2015河北百校联考)嫦娥五号探测器由轨道器、 返回器、 着陆器等多个部分组成 探测器预计在 2017 年由长征五号运

19、载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约 2 kg 月球样品某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为()月球半径R0月球表面处的重力加速度g0地球和月球的半径之比RR04地球表面和月球表面的重力加速度之比gg06A23B32C4D6解析：选 B利用题给信息，对地球，有GMmR2mg，得 MgR2G又 V43R3得地球的密度：MV3g4GR对月球，有GM0mR20mg0，得 M0g0R20G又 V043R30得月球的密度：0M0V03g04GR0则地球的密度与月球的密度之比032，故 A、C、D 错误，

20、B 正确8(2015高考四川卷)登上火星是人类的梦想， “嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020 年登陆火星地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响根据下表，火星和地球相比()行星半径/m质量/kg轨道半径/m地球6.41066.010241.51011火星3.41066.410232.31011A火星的公转周期较小B火星做圆周运动的加速度较小C火星表面的重力加速度较大D火星的第一宇宙速度较大解析：选 B火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由GMmr2m42T2rman知，因 r火r地，而r3T2GM42，故 T火T地，选项 A 错误；向心加速度 anGMr2，则 a

21、火a地， 故选项B正确； 地球表面的重力加速度g地GM地R2地， 火星表面的重力加速度g火GM火R2火，代入数据比较知 g火g地，故选项 C 错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v地GM地R地，v火GM火R火，v地v火，故选项 D 错误9.(多选)(2015广西四校调研)嫦娥三号发射取得圆满成功，这标志着我国的航空航天技术又迈进了一大步“嫦娥三号”探月卫星沿地月转移轨道到达距月球表面 200 km 的 P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获， 进入椭圆轨道绕月飞行， 再经过一次制动进入距月球表面 15 km 的圆形轨道上绕月球做匀速圆周运动则下面说法正确的是()A由于“刹车制动”，卫星在轨道上

22、运动的周期将比沿轨道运动的周期长B虽然“刹车制动”，但卫星在轨道上运动的周期还是比沿轨道运动的周期短C卫星在到达月球附近时需进行第一次“刹车制动”是因为卫星到达月球附近时的速度大于月球卫星的第二宇宙速度D卫星在轨道上运动的加速度小于沿轨道上运动到 P 点时的加速度解析：选 BC考查天体运动问题，由开普勒第三定律 kr3T2可知，TT，则 A 错，B对； 由第二宇宙速度的含义可知， 卫星到达月球附近并被月球捕获时的速度不能超过月球卫星的第二宇宙速度，不然卫星将脱离月球，则 C 对；由GMmr2ma，得卫星在轨道上的加速度 aGMr2，由GMmr2PmaP，得卫星在 P 点的加速度 aPGMr2P

23、，因 rPr，则 aPa，D错10(多选)(2015高考全国卷，T21，6 分)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面 4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落已知探测器的质量约为 1.3103kg，地球质量约为月球的 81 倍，地球半径约为月球的 3.7 倍，地球表面的重力加速度大小约为 9.8 m/s2.则此探测器()A在着陆前的瞬间，速度大小约为 8.9 m/sB悬停时受到的反冲作用力约为 2103NC从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D在近月圆轨道上运行的线速度小

24、于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度解析：选 BD设月球表面的重力加速度为 g月，则g月g地GM月R2月GM地R2地M月M地R2地R2月1813.72，解得 g月1.7 m/s2.由 v22g月h，得着陆前的速度为 v 2g月h 21.74 m/s3.7 m/s，选项 A 错误悬停时受到的反冲力 Fmg月2103N，选项 B 正确从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项 C 错误设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为 v1、v2，则v1v2GM月R月GM地R地M月M地R地R月3.7811，故 v1v2，选项 D 正确11.(201

25、5合肥质检)“北斗”系统中两颗工作卫星 1 和 2 在同一轨道上绕地心 O 沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为 r，某时刻它们分别位于轨道上的 A、B 两位置，如图所示已知地球表面处的重力加速度为 g，地球半径为 R，不计卫星间的相互作用力以下判断中正确的是()A这两颗卫星的向心加速度大小为 anr2R2gB这两颗卫星的角速度大小为RgrC卫星 1 由位置 A 运动至位置 B 所需的时间为 tr3RrgD如果使卫星 1 加速，它就一定能追上卫星 2解析：选 C卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，即：GMmr2man，由万有引力与重力关系，GMmR2mg，解两式得：anR2r2g，

26、A 项错；由 an2r，将上式代入得：gR2r3，B 项错；卫星 1 由位置 A 运动到位置 B 所需时间为卫星周期的16，由 T2得，tr3Rrg，C 项对；卫星 1 加速后做离心运动，进入高轨道运动，不能追上卫星 2，D 项错12.如图所示，三个质点 a、b、c 质量分别为 m1、m2、M(Mm1，Mm2)在 c 的万有引力作用下，a、b 在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比 TaTb1k；从图示位置开始，在 b 运动一周的过程中，则()Aa、b 距离最近的次数为 k 次Ba、b 距离最近的次数为(k1)次Ca、b、c 共线的次数为 2k 次Da、b、c 共线的次

27、数为(2k2)次解析：选 D在 b 转动一周过程中，a 转过了 k 圈，假设 b 不动，则 a 转过了(k1)圈，所以 a、b 距离最远的次数为(k1)次，a、b 距离最近的次数为(k1)次，故 a、b、c 共线的次数为(2k2)次，所以选项 D 正确13.“轨道康复者” 航天器可在太空中给 “垃圾” 卫星补充能源， 延长卫星的使用寿命 如图是“轨道康复者”在某次拯救一颗地球同步卫星前， 二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动的示意图，此时二者的连线通过地心，轨道半径之比为 14.若不考虑卫星与“轨道康复者”之间的引力，则下列说法正确的是()A在图示轨道上， “轨道康复者”的速度大于 7.9 km/sB在图示轨道上， “轨道康复者