数列的通项与求和

1、第六讲 数列的通项与求和【考纲解读】1. 数列是自变量为正整数的一类特殊函数，可用列表法、图象法、解析法来表示.2. 会求简单数列的通项公式，能借助于递推公式求得数列的通项公式.3. 掌握等差数列与等比数列的基本知识，并能综合利用它们解决相关问题.4. 理解数列作为函数的特性，能抽象出其中的数列模型，并用数列的性质解决相关问题.【命题规律分析】 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，数列的概念中主要考查数列的项、项数、求通项公式、与的关系，由数列的递推关系求通项时，通常将其变形成等差数列、等比数列，或与函数的周期性等有关的问题.其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和

2、公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查，常与函数、不等式、解析几何等内容相结合，通过递推式求通项或前项以及证明有关式子.由于数列与正整数有关，有时会结合数学归纳法进行证明.【知识回顾】一、数列通项数列通项公式的求法：观察分析法；公式法：；转化成等差、等比数列；累加、累乘法 ；递推法.二、数列的求和基本公式法：等差数列求和公式： 等比数列求和公式：； .错位相消法：给各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前项和.一般适应于数列的前项求和，其中成等差数

3、列，成等比数列.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.【考点剖析】考点一 数列的通项公式与递推公式例1、根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式（1），；（2）1，2，6，13，23，36，；选题意图：本题考查观察法求通项公式解析：（1）（2）例2、.选题意图：本题考查累加法求通项解析： .变式训练1：已知数列满足，求.解析：由条件知：所以

4、，.例3、选题意图：本题考查累乘法求数列的通项解析：由条件知，代入上式得又，.变式训练2：已知数列满足，则的通项 解析：由已知，得，用此式减已知式，得当时，即，又，将以上个式子相乘，得，经验证时不符合这个式子.点评：累乘问题，同时也是非常经典的需要验证首项的数列题.例4、已知数列中，求.选题意图：本题考查一阶递推式求数列通项解析：设递推公式可以转化为即.故递推公式为，又，所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以.变式训练3：解析：是以为首项，以为公比的等比数列.例5、已知数列an中，a1=1，Sn=，求an的通项公式选题意图：本题考查由求通项答案解析：由，是以1为首项，公差为2的等差数列=

5、1+2（n1）=2n1，即Sn=an=SnSn1= an=变式训练：已知正数数列an的前n项和Sn=，求an的通项公式答案解析：S1=a1=，所以a1=1an=SnSn1 2Sn=SnSn1+Sn+Sn1=，即Sn2Sn12=1 是以1为首项，公差为1的等差数列Sn2=n，即Sn=an=SnSn1=（n2），又n=1时也适合上式， an=考点二 数列的求和例6、求和选题意图：本题考查分组求和法解析：由可知变式训练：求数列的前n项和Sn.例7、求和选题意图：本题考查裂项相消法求和解析：变式训练：求和：解析：设数列的通项为an，则，变式训练：求数列的前n项和.解析：设 （裂项）则 （裂项求和） 例

6、8、求和选题意图：本题考查错位相减法求和.解析：当时，；当时，则（1）式-（2）式，得，故例9、求和选题意图：本题考查倒序相加法求和解析：根据组合数性质，将倒序写为，两式相加，得，考点三 数列的应用例10、一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ak（k1，2，3，n）试求：（1）a1，a2，a3；（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？选题意图：本题考查学生的分析问题，建立数学模型的能力难度分级：B 解析：（1）由题意

7、得a1n1，a2（n1）（n2）12n4，a3（n1）（n2）（n3）123n9.（2）在第k站出发时，放上的邮袋共：（n1）（n2）（nk）个，而从第二站起，每站放下的邮袋共：123（k1）个，故ak（n1）（n2）（nk）12（k1）knk（k1）k（k1）knk2（k1，2，n），即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋个数为knk2（k1，2，n）例11、设等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式及前n项和公式；（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由选题意图：本题考查数列的综合应用答案解析：（1）设等差数列an的公差

8、为d.由已知得即解得故an2n1，Snn2.（2）由（1）知bn.要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2b1bm，即2，整理得m3，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当t2时，m7；当t3时，m5；当t5时，m4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列例12、已知数列的前n项和为，且.数列满足，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值选题意图：本题考查数列的综合应用答案解析：（1）当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1n5.而当n1时，n56，ann5.又bn22bn1bn0，即bn2bn1bn1bn，bn

9、是等差数列，又b311，b1b2b9153，解得b15，d3.bn3n2.（2）cnTnc1c2cn.Tn1Tn0，Tn单调递增，故（Tn）minT1.令，得k19，所以kmax18.【课后作业】1设数列的前n项和为，令，称为数列，的“理想数”，已知数列，的“理想数”为2004，那么数列2， ，的“理想数”为（ ）A2002 B2004 C2006 D20082已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）ABCD3.数列满足，则的前项和为 4.设，则 .5.对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 .6.设数列的前n项和为Sn，满足，nN，且，成等差数列（1）

10、求的值；（2）求数列的通项公式（3）证明：对一切正整数n，有.7. 已知数列的前n项和，且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求；（2）求数列的前n项和Tn.8.（1）已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式.（2）已知数列中，求通项公式.9.（1）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求（2）已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和.10.设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（）求数列和的通项公式；（）设，求数列的前n项和Tn.【参考答案】1.【答案】A【解析】认识信息，理解理想数的意义有：2.【答案】C【解析】由已知+ -12，+24，=+= -30，选C3.【答案】1830【解析】由得，即，也有，两式相加得，设为整数，则，于是.4.【答案】5【解析】由，整体求和，所求值为55.【答案】【解析】，曲线在x=2处的切线的斜率为，切点为，所以切线方程为，令x=0得，令.数列的前n项和为.6.【解析】（1） 相减得：，成等差数列（2）得对均成立，得：（3）当时，当时，故由上式得：对一切正整数，