2022版新教材高考数学一轮复习第十章10.4离散型随机变量及其分布列课件新人教B版

1、10.410.4离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列第十章第十章2022内容索引必备知识必备知识 预案自诊预案自诊关键能力关键能力 学案突破学案突破素养提升微专题素养提升微专题1414随机变量函数的分布列随机变量函数的分布列必备知识必备知识 预案自诊预案自诊【知识梳理知识梳理】 1.随机变量(1)定义:一般地,如果随机试验的样本空间为,而且对于中的每一个样本点,变量x都对应有的实数值,就称x为一个随机变量.(2)表示:用大写英文字母x,y,z,或小写希腊字母,表示.(3)取值范围:随机变量的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围.2.随机变量与事件的联系一般地,如果x是一个随机

2、变量,a,b都是任意实数,那么x=a,xb,xb等都表示事件,而且:(1)当ab时,事件x=a与x=b;(2)事件xa与xa相互,因此p(xa)+p(xa)=.唯一确定 所有可能互斥对立13.随机变量的分类(1)离散型随机变量:若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的,那么其是离散型随机变量.(2)连续型随机变量:与随机变量对应的是连续型随机变量,连续型随机变量的取值范围包含一个.4.随机变量之间的关系如果x是一个随机变量,a,b都是实数且a0,则y=ax+b也是一个,且p(x=t)=.离散型区间随机变量p(y=at+b) 5.离散型随机变量的分布列(1)一般地,当离散型随机变量x的取值

3、范围是x1,x2,xn时,如果对任意k1,2,n,概率p(x=xk)=pk都是已知的,则称x的概率分布是已知的.离散型随机变量x的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为x的概率分布或分布列.xx1x2xkxnpp1p2pkpn(2)离散型随机变量x的概率分布还可以用图1或图2来直观表示,其中,图1中,xk上的矩形宽为1、高为pk,因此每个矩形的面积也恰为;图2中,xk上的线段长为. (3)离散型随机变量的分布列必须满足:pk,k=1,2,n;pk pk 0 16.两点分布(1)一般地,如果随机变量x的分布列能写成如下表格的形式,则称这个随机变量服从参数为的两点分布(或01分布).(2)

4、一个所有可能结果只有的随机试验,通常称为伯努利试验.不难看出,如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”,并设“成功”出现的概率为p,一次伯努利试验中“成功”出现的次数为x,则x服从参数为p的分布,因此两点分布也常称为伯努利分布,两点分布中的也常被称为成功概率.x10pp1-pp 两种 两点p 【考点自诊考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.()(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出.()(4)离散型随机变量的分布列中,随机变量

5、取各个值的概率之和可以小于1.()(5)随机试验的结果与随机变量是对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()2.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是()a.至少取到1个白球 b.至多取到1个白球c.取到白球的个数d.取到的球的个数答案 c解析 选项a,b表述的都是随机事件;选项d是确定的值2,并不随机;选项c是随机变量,可能取值为0,1,2.3.设随机变量的概率分布列如下表,则p(|-2|=1)=() 答案 c 4.某射击选手射击环数的分布列为若射击一次不小于9环为优秀,其射击一次优秀的概率为.x78910p0.30.3ab答案 0.4解析 由分布列

6、的性质得a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射击一次优秀的概率为0.4.关键能力关键能力 学案突破学案突破考点考点1 1离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质答案 a 解题心得1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,要注意检查每个概率值均为非负数.2.求随机变量在某个范围内的概率,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.对点训练1设离散型随机变量x的分布列为(1)求随机变量y=2x+1的分布列;(2)求随机变量=|x-1|的分布列;(3)求随机变量=x2的分布列.x01234p0.20.10.10.3m解 (1)由分布列的性质知

7、,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.首先列表为从而y=2x+1的分布列为x012342x+113579y13579p0.20.10.10.30.3(2)列表为p(=0)=p(x=1)=0.1,p(=1)=p(x=0)+p(x=2)=0.2+0.1=0.3,p(=2)=p(x=3)=0.3,p(=3)=p(x=4)=0.3.故=|x-1|的分布列为x01234|x-1|101230123p0.10.30.30.3(3)首先列表为从而=x2的分布列为x01234x2014916014916p0.20.10.10.30.3考点考点2 2求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的

8、分布列 (多考向探究多考向探究) 考向1与互斥事件、独立事件有关的分布列【例2】 (2020云南民族大学附属中学高三期中)面对环境污染,党和政府高度重视,各级环保部门制定了严格措施治理污染,同时宣传部门加大保护环境的宣传力度,因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识.为此,某市建立了公共自行车服务系统,市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡,初次办卡时卡内预先赠送20分,当诚信积分为0时,借车卡自动锁定,限制借车,用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡,为了鼓励市民租用公共自行车出行,同时督促市民尽快还车,方便更多的市民使用,公共自行车按每车每次的租用时间

9、进行扣分缴费,具体扣分标准如下:租用时间不超过1小时,免费;租用时间为1小时以上且不超过2小时,扣1分;租用时间为2小时以上且不超过3小时,扣2分;租用时间为3小时以上且不超过4小时,扣3分;租车时间超过4小时,除扣3分外,超出时间按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,且两人租车时间都不会超过4小时,设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4,0.5;租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.3,0.3;租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是0.2,0.1.(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率;(2)设甲、乙两人所扣积

10、分之和为随机变量,求的分布列和数学期望.解题心得1.(1)与互斥事件、独立事件有关的分布列一定要分清每一个事件是由哪几个基本事件组成的,做到不重不漏.(2)辨别事件的相互关系,是互斥,还是独立关系,确定所利用的公式,一般是p(a+b)=p(a)+p(b),p(ab)=p(a)p(b),p( )=1-p(a)三个公式联用.2.在求几个互斥事件构成的事件的概率时,一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率,然后用概率加法公式求概率,审题时应注意关键词语,如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等,在求复杂事件的概率时,应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生),或者考虑结

11、合对立事件求解,从而使问题变得更易解决.对点训练2在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中,有6位参赛选手(1号至6号)登台演出,由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手,各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人,其中甲同学是1号选手的同班同学,必选1号,另在2号至6号选手中随机选2名;乙同学不欣赏2号选手,必不选2号,在其他5位选手中随机选出3名;丙同学对6位选手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号选手中随机选出3名.(1)求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率;(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为x,求x的分布列和数学期望.考向2与古典概型有关的分布列【例3】 某校举办校园

12、科技文化艺术节,在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已知a,b两学习小组各有5位同学,每位同学在两场讲座任意选听一场.若a组1人选听生活趣味数学,其余4人选听校园舞蹈赏析;b组2人选听生活趣味数学,其余3人选听校园舞蹈赏析.(1)若从此10人中任意选出3人,求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率;(2)若从a,b两组中各任选2人,设x为选出的4人中选听生活趣味数学的人数,求x的分布列.解题心得1.求古典概型的离散型随机变量的分布列,要注意应用计数原理、排列组合的知识求基本事件的个数及事件a包含的基本事件的个数,然后应用古典概型的概率公式求概率.2.求出分布列后,注意运用分布

13、列的两条性质检验所求的分布列是否正确.对点训练3已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设x表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求x的分布列.答案 b 考点考点3 3统计与概率分布列的综合统计与概率分布列的综合【例4】 某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据,分为专业一等奖学金(奖金额3 000元)、专业二等奖学金(奖金额1 500元)

14、及专业三等奖学金(奖金额600元),且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图1是统计了该校2020年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图,图2是这500名学生在2020年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.图1 图2 (1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数;(2)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生,否则称为“非努力型”学生,列22列联表,依据=0.001的独立性检验,能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是不是“努力型”学生有关联?(3)若以频率作为概率,从该校任选一名学生,记该学生2020年获得的专业奖学金额为随机变量x,求随机变量x的分布

15、列和期望.=p(2k) 0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解 (1)获得专业三等奖学金的频率为:(0.008+0.016+0.04)50.15+(0.04+0.056+0.016)50.4+(0.016+0.008)50.4=0.32,5000.32=160,故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160.(2)每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有500(0.008+0.016+0.04+0.04+0.056+0.016)5=440(人),其中获得专业一、二等奖学金学生有500(0.008+0.016+0.04)50

16、.05+500(0.04+0.056+0.016)5(0.25+0.05)=92(人),每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有5000.12=60(人),其中获得专业一、二等奖学金学生有60(0.35+0.25)=36(人),22列联表如图所示: 是否获得专业一、二等奖学金“非努力型”学生 “努力型”学生总计获得9236128未获得34824372总计44060500零假设为h0:该校学生获得专业一、二等奖学金与是不是“努力型”学生无关联.根据=0.001的独立性检验,我们推断h0不成立,即认为获得专业一、二等奖学金与是不是“努力型”学生有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.(

17、3)x的可能取值为0,600,1 500,3 000.p(x=600)=0.32,p(x=1 500)=0.198,p(x=3 000)=0.058,p(x=0)=1-0.32-0.198-0.058=0.424.x的分布列为其期望为e(x)=00.424+6000.32+1 5000.198+3 0000.058=192+297+174=663.x06001 5003 000p0.4240.320.1980.058解题心得求随机变量的分布列的三个步骤(1)找:找出随机变量的所有可能的取值xi(i=1,2,n),并确定=xi的意义.(2)求:借助概率的有关知识求出随机变量取每一个值的概率p(=

18、xi)=pi(i=1,2,n).(3)列:列出表格,并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.对点训练4如图是某市2020年3月1日至16日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(aqi)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.(1)若该人到达后停留2天(到达当日算1天),求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率;(2)若该人到达后停留3天(到达当日算1天),设x是此人停留期间空气重度污染的天数,求x的分布列.素养提升微专题素养提升微专题1313随机变量函数的分布列随机变量函数的分布列要求f()的分布列,只需求出随机变量的分布列即可.在求f()的分布列