函数的应用(新课)

1、第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、基本初等函数的零点：正比例函数仅有一个零点。反比例函数没有零点。一次函数仅有一个零点。二次函数（1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函

2、数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点指数函数没有零点。对数函数仅有一个零点1.幂函数，当时，仅有一个零点0，当时，没有零点。5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把转化成，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数零点的个数。6、 选择题判断区间上是否含有零点，只需满足。Eg：试判断方程0,2内是否有实数解？并说明理由。7、 确定零点在某区间个数是唯一的条件是:在区间上连续，且在区间上单调。Eg：求函数的零点个数。8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角

3、度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点Eg：一元二次方程根的分布讨论 一元二次方程根的分布的基本类型设一元二次方程（）的两实根为，且.为常数，则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）或根在区间上的分布主要有以下基本类型：表一：（两根与0的大小比较）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的

4、结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）Eg：（1）关于x的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围？（2） 关于x的方程有两实根在0,4内，求的取值范围？（3）关于x的方程有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围？9、二分法的定义对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法10、给定精确度，

5、用二分法求函数零点近似值的步骤：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：若=，则就是函数的零点；若，则令=（此时零点）；若，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）（4）11、二分法的条件表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。1下列图象表示的函数中没有零点的是()解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点答案A2根据表格中的数据，可以断定函数f(x)exx2的一个零点所在的区间是().x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0) B

6、(0,1)C(1,2) D(2,3)解析由上表可知f(1)2.7230，f(2)7.3940，f(1)f(2)0，f(x)在区间(1,2)上存在零点答案C5已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_解析奇函数的图象关于原点对称，若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案06若函数f(x)axb只有一个零点2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_解析由题意知，2ab0，则b2a，g(x)2ax2axax(2x1)，令g(x)0，得x0或.答案，0能力提升8若函数f(x)在定义域x|xR且x0上是偶函数，且在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A一个 B

7、两个 C至少两个 D无法判断解析f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，所以f(x)在(0，)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(，0)上有且仅有一个零点2.因此函数f(x)有两个零点2与2.答案B10已知函数f(x)x22x3，x1,4(1)画出函数yf(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点？解(1)依题意：f(x)(x1)24，x1,4，其图象如图所示由图可知，函数f(x)的值域为4,5(2)函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点方程f(x)m在x1,4上有两相异的实数根，即函数yf(x)与ym的图象有两个交点

8、由(1)所作图象可知，4m0，0m4.当0m4时，函数yf(x)与ym的图象有两个交点，故当0m4时，函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点用二分法求方程的近似解基础达标1已知函数yf(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4 B3,4C5,4 D4,3解析题中图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案D2设方程2x2x10的根为则()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)解析设f(x)2x2x10，则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点f(0)9，f(1)6，f(2)2，

9、f(3)4，f(2)f(3)0.(2,3)答案C3用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，f(0.74)0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A0.64 B0.74 C0.7 D0.6解析f(0.72)f(0.68)0，且|0.720.68|0.1，f(x)的一个正零点x0(0.68,0.72)，x00.7可作为零点的近似值答案C4用二分法求函数yf(x)在区间2,4上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)f(4)0，取区间2,4的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是_解析f(2

10、)f(4)0，f(2)f(3)0，因此f(3)f(4)0，x0(2,3)答案(2,3)5用二分法求方程x380在区间(2,3)内的近似解经过_次“二分”后精确度能达到0.01?解析设n次“二分”后精确度达到0.01，区间(2,3)的长度为1，0.01，即2n100.注意到2664100,27128100.故要经过7次二分后精确度达到0.01.答案76(2013合肥高一检测)若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程x3x22x20的一个近似根为_(精确度0.1)解析由表知|1.437 51.375|0.062 50.1，所以方程x3x22x20的一个近似根为1.437 5.答案1.437 5(不唯一)7证明函数f(x)2x3x6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)证明由于f(1)10，f(2)40，又函数f(x)是增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零