2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师用书教案理新人教版

1、第第 8 8 章章 平面解析几何平面解析几何全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制 12 道小题， 1 道解答题，分值约占 2024 分.2.考查内容(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基.(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.

2、掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系1直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是0，)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan ，倾斜角是2的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式经过两点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x

3、2x1.3直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距，斜率ykxb与 x 轴不垂直的直线点斜式过一点，斜率yy0k(xx0)两点式过两点yy1y2y1xx1x2x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xayb1不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线一般式axbyc0(a2b20)平面内所有直线都适用提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数常用结论1直线的斜率 k 和倾斜角之间的函数关系如图，当0，2 时，斜率 k0，)；当2时，斜率不存在；当2，时，斜率 k(，0)2特殊直线的方程(1)直线过点 p1(x1，y1)，垂直于 x 轴

4、的方程为 xx1；(2)直线过点 p1(x1，y1)，垂直于 y 轴的方程为 yy1；(3)y 轴的方程为 x0；(4)x 轴的方程为 y0.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为. ()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离()(4)经过任意两个不同的点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知两点 a(3， 3)，b( 3，1)，则直线 ab 的斜率是()a 3b 3c33

5、d33dkab313 333，故选 d2过点(1,2)且倾斜角为 30的直线方程为()a 3x3y6 30b 3x3y6 30c 3x3y6 30d 3x3y6 30a直线的斜率 ktan 3033.由点斜式方程得 y233(x1)，即3x3y6 30，故选 a3在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4，3 的直线方程为3x4y120由题意知，直线方程为x4y31，即 3x4y120.4已知直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为4或34设直线的倾斜角为，则|tan |1，tan 1.又0，)，4或34.考点一直线的倾斜角与斜率斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置

6、， 借助图形， 结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可1若经过两点 a(4,2y1)，b(2，3)的直线的倾斜角为34，则 y 等于()a1b3c0d2b由题意可知2y1342tan341，解得 y3.故选 b2若直线 l 的斜率 k1,1，则直线 l 的倾斜角的范围是0，4 34，当1k0 时，34，当 0k1 时，04.因此的取值范围是0，4 34，.3直线 l 过点 p(1,0)，且与以 a(2,1)，b(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为(， 31，)如图，kap10211，kbp3001 3，k(， 31，)点评

7、：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想注意区分含有 90和不含 90两种情况的讨论(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，2 与2，两种情况讨论考点二直线方程的求法求直线方程的两种方法典例 1求适合下列条件的直线方程：(1)经过点 p(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)直线经过点 a( 3，3)，且倾斜角为直线3xy10 的倾斜角的一半；(3)在abc 中，已知 a(5，2)，b(7,3)，且 ac 的中点 m 在 y 轴上，bc 的中点 n 在 x轴上，求直线 mn 的方程解(1)法一：设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a0，即 l 过点(0,0)和(3

8、,2)，l 的方程为 y23x，即 2x3y0.若 a0，则设 l 的方程为xaya1，l 过点(3,2)，3a2a1，a5，l 的方程为 xy50.综上可知，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50.法二：由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k0，设直线方程为 y2k(x3)，令 y0，得 x32k，令 x0，得 y23k，由已知 32k23k，解得 k1 或 k23，直线 l 的方程为 y2(x3)或 y223(x3)，即 xy50 或 2x3y0.(2)由3xy10 得此直线的斜率为 3，所以倾斜角为 120，从而所求直线的倾斜角为 60，故所求直线的斜率为 3.又直线过点 a( 3

9、，3)，所以所求直线方程为 y3 3(x 3)，即3xy60.(3)设 c(x0，y0)，则m5x02，y022，n7x02，y032.因为点 m 在 y 轴上，所以5x020，所以 x05.因为点 n 在 x 轴上，所以y0320，所以 y03，即 c(5，3)，所以 m0，52 ，n(1,0)，所以直线 mn 的方程为x1y521，即 5x2y50.点评：当直线在 x 轴、y 轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解跟进训练已知abc 的三个顶点分别为 a(3,0)，b(2,1)，c

10、(2,3)，求：(1)bc 边所在直线的方程；(2)bc 边上中线 ad 所在直线的方程；(3)bc 边的垂直平分线 de 的方程解(1)因为直线 bc 经过 b(2,1)和 c(2,3)两点，得 bc 的方程为y131x222，即 x2y40.(2)设 bc 边的中点 d(x，y)，则 x2220，y1322.bc 边的中线 ad 过 a(3,0)，d(0,2)两点，所在直线方程为x3y21，即 2x3y60.(3)由(1)知， 直线 bc 的斜率 k112， 则直线 bc 的垂直平分线 de 的斜率 k22.由(2)知，点 d 的坐标为(0,2)所求直线方程为 y22(x0)，即 2xy2

11、0.考点三直线方程的综合应用处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”典例 2已知直线 l：kxy12k0(kr)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 a，交 y 轴正半轴于 b，aob 的面积为 s(o 为坐标原点)，求 s 的最小值并求此时直线 l 的方程解(1)证明：法一：直线 l 的方程可化为k(x2)(1y)0，令x20，1y

12、0，解得x2，y1.无论 k 取何值，直线总经过定点(2,1)法二：方程 kxy12k0 可化为 y1k(x2)，显然直线恒过定点(2,1)(2)由方程知，当 k0 时，直线在 x 轴上的截距为12kk，在 y 轴上的截距为 12k，要使直线不经过第四象限，则必须有12kk2，12k1，解得 k0；当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k 的取值范围是0，)(3)由题意可知 k0，再由 l 的方程，得 a12kk，0，b(0,12k)依题意得12kk0，12k0，解得 k0.s12|oa|ob|12|12kk|12k|1212k2k124k1k412(224)4，“”成立的条件是 k0 且 4k1k，即 k12，smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.点评：本例(3)在求解中常忽略条件“12kk012k0”的书写，进而导致 s 最值的求解失误跟进训练1已知直线 l 过点 m(2,1)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 a，b 两点，o 为坐标原点，则当|ma|mb|取得最小值时，直线 l 的方程为xy30设 a(a,0)，b(0，b)，则 a0，b0，直线 l 的方程为xayb1，所以2a1b1.|ma|mb|mamb(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)2a1b 52ba2ab4，当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy30.