《自动控制原理》---丁红主编---第八章习题答案

1、8-1已知非线性环节的特性如图8.1a所示，试计算该环节的描述函数。y（c）0-aax答：方法一：由图8.1a所示，令xt=Xsint,代入则可以得到y(t)KXsint+A 0tKXsint-A t0x+x+x=0 x0时，相轨迹方程对应的特征方程为2+1=0，1,2=-12+32j，由x=xdxdx可以得到dxdx=-x+xx.故奇点为稳定的焦点。当x0x=11+x x011+ x0-1+1k x0,列写表格如下表所示。K-3-2-10123+=-1-1k x0-1-23-120-2-32-43-1=-1+1k x0，T0。当非线性元件N分别为理想继电特性;死区继电特性;滞环继电特性;带死

2、区和滞环的继电特性，在相平面上绘制相平面图。C(t)r = 0-N(e) e) （俄）8-29系统方框图（1） 具有死区的三位置继电特性线性部分的微分方程为Tc+c=Ku当继电特性为具有死区的三位置继电特性时，上式可以写成分段微分方程为：Tc+c=-KM，chTc+c=0，chTc+c=KM，ch区域，相轨迹方程为：Tc+c=-KM类似于具有饱和特性的非线性控制系统时的讨论，像平面与该区域无奇点，相轨迹均渐进于c=-KM的直线。在c-h区域，相轨迹方程为：Tc+c=KM像平面在该区域无奇点，相轨迹均渐进于c=KM的直线。在ch；c-h;c0Tc+c=KM，c-h；c0开关线方程为c=-h;c0

3、开关线将整个相平面划分成两个区域：区域ch；c-h;c0相轨迹方程Tc+c=-KM，区域无奇点，相轨迹渐近于c=-KM水平直线;区域c-h；c0相轨迹方程Tc+c=KM区域无奇点，相轨迹渐近于c=KM水平直线。（3） 既有死区又有滞环的继电特性当继电特性为既有死区又有滞环的继电特性时，分段线性微分方程为Tc+c=-KM，ch；cmh; c0Tc+c=0，ch; c0;-mh0Tc+c=KM，cc; c0开关线方程为c=h；c=mh; c0和c=-h；c=-mh; c0.5的范围内,y=2与e的具体数值无关。于是上图可进一步化简。r = 0-0.5 2（2）绘出线性部分的G（j）曲线图。由上图可

4、得线性部分的传递函数为Gs=10s（s+1）2，当从0变化时，G（j）曲线从第象限开始，穿越负实轴后进入第象限，最后终止于坐标原点。令Gjg=-90。-2arctan=-180。有arctan=45。=g=1计算可得Gjg曲线与负实轴的交点为G（j）=101+22=g=5于是，可绘出G（j）曲线图。（3）绘出非线性部分-1NA曲线。由上图可得，非线性部分的描述函数为NA=4MA1-（e0A）2其中M=2，e0=0.5，故NA=8A1-（12A）2计算可得，当A=2e0=22时，NA取极值NA=8-1NA=-0.39绘出-1NA曲线。（4） 计算自振参数。-1N曲线与nyquist图有2个交点，

5、对应于较大的A，将产生自持振荡。令-1NA= Gjg可求得8A1-（12A）2=0.2解得：A1=12.72,A2=0.503即：系统将产生自振，震荡角频率为g=1rads，振幅为A=12.72。8.7. (中国海洋大学2003年 本题18分)已知非线性系统的结构图如图8-31所示。C(t)r = 0-N(A)2图8-31非线性系统的结构图其中描述函数,试用描述函数法确定:(1) a为何值时系统会产生自激振荡？(2) 当产生自激振荡时,计算周期运动的振幅和频率。分析：本试题的特点是所给描述函数不是常见的典型非线性特性，应通过分析N(A),绘出-1N曲线。解：（1）分析a为何值时系统会产生自振

6、绘出-1N曲线。由NA是实数 -1N分布在负实轴上。由NA-1N=-A+aaA+1 A0时 -1N-aA时 -1N-1a即， -1N曲线分布在负实轴上由-a-1a段。当A从0变化时：若a=1，则-1N=-1，为一个点，-1N不随A的变化而变化，见下图a；若0a1，-1N曲线见图c。A=0 Ay（c）0-a-1axLm（b）0-a-1aReA A=0Lm（-1N）（a）0Re-1 绘出G（j）曲线 由图可见，线性部分的传递函数 Gs=12ss+1(s+2)令2a12因此，当0a0.5时，系统会产生自振。（2）求自振参数当产生自振时Gjg=-1NNA=-1Gjg 将N(A)的表达式及Gjg的值代入

7、可得A+aaA+1=0.5A=1-2a2-a因此，产生自振时，角频率为2，周期运动的振幅为1-2a2-a，其中0a0-1 e+Tde0-1 e+Tde0）：e=-1，ede=-de积分可得12e2=-e+C1 （抛物线）其中C1为常数，由初始条件和开关线确定。同理可得：在区（e+Tde0）；12e2=e+C2 （抛物线）其中C2为常数，由初始条件和开关线确定。仿真（略）。8.16非线性系统结构图如图8-35所示，已知：hMC(t)r = 0-K图8-35非线性系统结构图（1）自振时,调整使 。求此时的值和自振参数以及输出振幅。(2)定性分析K增大后自振参数的变化规律。（1）由NA=8A2-j8

8、A2-1NA=-8A2-1-j8GS=2Ks(s+1)系统在Q点产生自振，此时0.50, -0.55e0.5-M, 5e0.1 区0, -0.1e01 区M, e0.1和e-0.1处。所以，最大稳态误差emax=0.1。 8.20分段线性的角度随动系统，如图8-37(a)所示的是某角度随动系统的方块图；其中执行电机近似为一阶惯性环节，增益K1(e)是随信号大小变化的，大信号时的增益为1，小信号时的增益为k(k1)，其特性如图8-37(b)所示。分析输入为阶跃信号和斜坡信号时的系统运动情况。图8-37分段线性的角度随动系统1) 阶跃输入r(t)1(t) 的情形。由于, 故有 Te+e+Ke=0

9、(区域或区域)Te+e+kKe=0 （区域）奇点为e=0, e=0, 即原点。所以对区域, 它是实奇点; 对区域和, 它是虚奇点。 通过选K和T值, 使14kKT0, 且使14KT0。不妨设T1, K4, k0.062, e00.2。输入较大时, 如|e|e0, 运动方程为式(8.12), 14KT0, 为欠阻尼, 所以原点是稳定焦点; 输入较小时, 如|e|e0, 运动方程为式(8.13), 14kKT0, 为过阻尼, 故原点是稳定节点。 其相轨迹如图。系统在阶跃输入下的相轨迹由A点出发的运动以原点为稳定焦点, 但到达边界的B点后, 原点又变成了稳定节点。CD段的运动方程又变为式。 如此每经

10、过边界时, 都改变运动的性质, 只有最后进入区域, 沿DO段渐近收敛到原点。在这种情况下,调节过程可以加快。 因为误差信号较大时, 系统为欠阻尼, 运动速度较快, 所以使误差很快变小; 而误差变小后, 系统为过阻尼, 可以避免振荡。(2) 斜坡输入r(t)RVt的情形。由于r=V, r =0, 故有 Te+e+Ke=V (区域或区域)Te+e+kKe=V （区域）在区域, 奇点为e=V/(kK), e=0, 记P2V/(kK)。在区域和, 奇点为e=V/(K), e=0, 记P1V/(K)。显然, P2 P1。参数设置同上, 则14kKT0, 且14KT0。则e轴上的P2点是稳定节点, P1点

11、是稳定焦点。但它们的位置将与参数设定有关。下面分3种情况讨论： VkKe0。这时P2V/(kK)e0 , 所以是实奇点; P1V/(K)ke0e0, 所以是虚奇点。设r(t)0.30.04t, 则又V0.04, 所以P2V/(kK)0.16, P1V/(K)0.01。其相轨迹如图8-14所示。运动在到达边界进入区域后改变性质, P2代表稳定的实节点, 所以运动收敛到P2, 因此稳态误差ess= P2 。 系统在斜坡输入下的相轨迹系统在斜坡输入下的相轨迹 VKe0 。这时P2V/(kK)V/Ke0 是虚奇点; P1V/(K)e0是实奇点。设r(t)1.2t,则e(0)=r(0)-c(0)=0, e(0)=r(0)-c(0)=1.2又V