数值分析课件第4章

1、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 内容提要4.1 引言4.2 牛顿-柯特斯公式4.3 复化求积公式4.4 龙贝格求积公式4.5 高斯求积公式4.6 数值微分机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4.1 引言引言一、数值求积的基本思想一、数值求积的基本思想 对定义在区间对定义在区间a,b上的定积分上的定积分)()()(afbfxxfibad 但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表示时，上述方法也

2、不能直接运用。因此算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。有必要研究积分的数值计算问题。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 ).)()(abfxxfibad 积分中值定理告诉我们：积分中值定理告诉我们：平均高度平均高度f() a b yxy=f(x)0机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 a f(a+b)/2) b yxy=f(x)0 a b yxy=f(x)0梯形公式梯形公式 d)(2)()()(abbfafxxftba平均高度平均高度中矩形公式中矩形公式平均高度平均高度 d)2()()(bafabxxfrba机动上页下页首页结

3、束工科研究生公共课程数学系列 。则则称称该该求求积积公公式式具具有有立立成成次次的的多多项项式式等等式式不不准准确确一一个个都都准准确确成成立立，而而对对于于某某的的多多项项式式对对于于所所有有次次数数不不超超过过若若某某个个求求积积公公式式次次代代数数精精度度定定义义1 1mmm , 1更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式求积节点求积节点求积系数求积系数 这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需莱布尼兹

4、公式需要寻求原函数的困难。要寻求原函数的困难。二、代数精度的概念二、代数精度的概念)()(0knkkbaxfaxxfd机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 代代数数精精确确度度。因因此此梯梯形形公公式式具具有有一一次次右右边边左左边边右右边边左左边边当当右右边边左左边边右右边边左左边边当当右右边边左左边边右右边边左左边边当当令令代代数数精精度度梯梯形形公公式式)(2)(3)(333,)(22)(2222,)()(2, 1)(,., 1)()(2)()()(223332222222ababaabbabxxxxxfabababxxxxxfabababxxfxxfabbfafxxftbab

5、ababababa22abdabd11d1d机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 110,( )(0)()(1 1)f x dxafbf xcf确定下面公式中的待定参数 使其代数精度尽量高 并指明所构造的求积公式所具有的代数精度例4-利用代数精度的概念构造求积公式利用代数精度的概念构造求积公式4131211, 1)(3121132cbxcbxcbxcbaxxxxf等等，得得代代入入公公式式两两端端并并令令其其相相令令解解, :机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 )( knkknknfxlxlnkfxfbxxxa010)()(,2, 1 ,0)(值值多多项项式式作作拉拉格格

6、朗朗日日插插在在这这些些节节点点上上的的值值且且已已知知设设给给定定一一组组节节点点次次代代数数精精度度。故故求求积积公公式式具具有有得得再再令令于于是是解解得得，351 24561)21(32,)()1 (61)21(32)0(61)(.61,32,61,2141044101dxxxxffffdxxfcbax三、插值型的求积公式三、插值型的求积公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 0(1), ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )(1)! banbbnnkkaaknbbnnaaif x dxil x dxl x dx ffr fiif xl x dxx dxnn 于是

7、得到积分的近似值这样构造的求积公式称为插值型的求积公式。它的余项为这时的求积公式至少具有次代数精度梯形公式余项344( )() =()()=( ) ,( , ) 212 =()( ) ,( , ) 1802bafb ar fx a x b dxfa bb a b ar ffa b（ ）： 同理，辛普森公式余项： 4.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式一、牛顿一、牛顿-柯特斯公式的导出柯特斯公式的导出机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 .c- c 系系数数c co ot te es s公公式式- -n ne ew wt to on n柯柯特特斯斯称称为为），柯柯特特斯斯公公式式（牛牛

8、顿顿称称为为式式构构造造出出的的插插值值型型求求积积公公在在等等距距节节点点等等分分，步步长长做做设设将将求求积积区区间间)(0)(, )()(,nknkknknkxfabikhaxnabhnba柯特斯系数柯特斯系数0 ( )( ) ( ),0,1, nbbnnkkaakbkkail x dxl x dx fal x dx knxath由插值型求积公式：知求积系数 引入变换 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 ()0000( 1) cd()d . !()!nknnnnnkjjjkjkhtjttjtbakjnknk则有公公式式不不稳稳定定出出现现负负值值时时柯柯特特斯斯系系数数表表其

9、其中中得得到到时时当当也也称称为为得得到到抛抛物物线线公公式式时时当当得得到到梯梯形形公公式式时时当当cnnabhkhaxxfxfxfxfxfabcnbfbafafabsxxfbfafabtxxfnkkbaba,84,),(7)(32)(12)(32)(7904)()2(4)(6)(,2)()(2)()(43210c ,d ,n d ,1n . .公公式式柯柯特特斯斯( (c co ot te es s) )n n) )公公式式辛辛普普森森( (s si im mp ps so o机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 .1,次次代代数数精精度度公公式式至至少少有有阶阶则则为为偶偶数数

10、若若ncnnn 定定理理3 310101031101201 1.859140921( )(1 0)0.2265235, (0,1)1212 14e + 1.7188612611 0( )(18024 2xxxe dxe dxeeer fee dxeer fe 运用梯形公式、辛普森公式分别计算积分，并估计误差。解： 运用梯形公式 其误差为 运用辛普森公式 其误差为例 41) =0.00094385, (0,1)28802880ee牛顿牛顿-柯特斯公式的代数精度柯特斯公式的代数精度机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4.3 复合求积公式复合求积公式 一、问题与基本思想 在使用牛顿-柯特

11、斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 11111001 , , , (,0,1,1), , ( )d( )d ()()( )2 t ()()2kkkkknnbxkknaxkknkkka bnx xbaxakhhknnhif

12、x xf x xf xf xrfhf xf x将区间等分为个小区间其中并在每个小区间上应用梯形公式 则得复合梯形公式记11013-1102 ( )2()( )2 ( )(), (,)12- ( ), ( , )12nnkknnnkkkkkhf af xf bhrfitfx xb ah fa b 称为复合梯形公式，余项为 二、复合梯形公式二、复合梯形公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 1211212110110110 , , ( )d( )d = ()4 ()()( ),6 s = ()4 ()()6 kkkkknbxaxknkknkknnkkkkxxxif xxf xxhf x

13、f xf xrfhf xf xf x记的中点为，在每个小区间上应用辛普森公式 则得复合辛普森公式记121101 = ( )4()2()( )6nnkkkkhf af xf xf b称为复合辛普森公式三、复合辛普森公式三、复合辛普森公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4-1(4)104(4) ( )s(), (,)180 2 ( ), ( , )1802nnnkkkkkhhrfifxxbahfa b 余项为：10sin ( ),8sind xf xnxxixx对于函数给出时的函数表，试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分。例例4 4- -3 3 xi0 1/8 1/4 3/8

14、1/2 f (xi)1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 xi5/8 3/4 7/8 1 f (xi)0.9361556 0.9088516 0.8414709 0.8414709 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 841(0)1131537(1)( )( )( )( )( )( )( )8284828482 0.9456909.11357(0)4 ( )( )( )( )4 68888113 2 ( )( )( )(1)0.9460832424fftfffffffsfffffffff10-5(4)22 0,111020,1( ),(

15、 )( ),1,-1 11 ( )(41224 )2xxxtie dxf xefxfxe b ab ar fh fen 计算积分， 若用复合梯形公式，问区间应分多少等份才能使误差不超过，若改用复合辛普森公式，要达到同样精度，区例间应分多少等份？解： 由于,故复合梯形公式 要求（ ）-510 ,(0,1)机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 -54(4)4-5425440,12131102-111 ( )( )10 ,(0,1)1802180 22010 ,212.85213610 ,3.7066,181444sb a hr ffenennnennn 将区间分为等份时，用复即。取,合梯

16、形公式计算，截断误差不超过。用复合辛普森公式，要求（ ）将区间分为 等份时，用复合辛普森公式计即即。取即算，截断-51102误差不超过。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 1211110011 , , , ()() ( )2()( ).22 , 2, ,2kknnnkkkkkkkkkkbaa bnnxxhnhhtf xf xf af xf bxxa bnxxx把区间作等分得个小区间则复合梯形公式把区间作等分 记的中点，则复合梯形公式4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 一、梯形法的递推化一、梯形法的递推化 (变步长求积法变步长求积法) 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列

17、 121212121011100101 ()2 ()()2 2 ()()()421 ().22nnkkkknnkkkkknnkkhtf xf xf xhhf xf xf xhtf x 于是可以逐次对分形成一个序列于是可以逐次对分形成一个序列t1,t2,t4,t8,此序列此序列收敛于积分真值收敛于积分真值 i。当。当 |t2n-tn|时，取时，取t2n为为 i 的近似值。的近似值。以上算法称为以上算法称为变步长求积法变步长求积法。 但由于此序列收敛太慢但由于此序列收敛太慢 。下。下节我们将其改造成为收敛快的序列。节我们将其改造成为收敛快的序列。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 10

18、sin d xixx利用变步长的梯形法求的例如近似值。 956909. 0)87()85()83()81(81219445135. 0)43()41(41219397933. 0)21(21219207355. 0)1 ()0(214824121ffffttffttfttfft解解：二、龙贝格算法二、龙贝格算法如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中心问题。心问题。 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 21122221222222( ) ( , )12 ()( , )122( )()1 4 344 144 1nnnnnnn

19、nnnnbaith fa bba hitfa bffititttitttitt 假定，则有整理，移项得（）于是记这样我们从收敛较慢的tn序列推出了收敛较快的sn序列。 可以证明sn序列实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 14463163641441511516.1513232222222nnnnnnnnnnnnnccccrsssscsssi 龙贝格求积公式复复化化柯柯特特斯斯公公式式）（同同理理， 这样我们从cn序列又推出了收敛更快的rn序列. rn序列也称为龙贝格序列。我们从收敛较慢的tn序列只用了一些四则运算，便推出了收敛更快的sn序列,

20、 cn序列和rn序列。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 t1t2t4t8t16s1s2s4s8c1c2c4r1r2运算顺序表运算顺序表机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 10sin d xixx利用龙贝格求积算法求的近似值例例4 -54 -5kt2ks2k-1c2k-2r2k-300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831这里利用二分3次的数据（它们的精度都很差，只有两三位有效数字）通过三次加速求得r1=0.9460831,这

21、个结果的每一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 0 ( )() 22,(0,1, ) (0,1, )21 ( )nbkkakkkkf x dxa f xnxa knnx knngaussix机械求积公式含有个待定参数。插值型求积公式的代数精度至少次。如果适当选取有可能使求积公式具有次代数精度，这类求积公式称为高斯（）求积公式。一般地，我们研究带权积分0( )d() , nbkkakf xxa f x4.5 高斯求积公式高斯求积公式 一、一般理论一、一般理论 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 100111 ( )d( 6)(

22、) .x f xxa f xa f x试构造高斯求积例4-公式010 , 21, , ( )d , 0,1,21. nnbmmiiaiaxxxbnxxxaxmn构造高斯若一组节点使插值型求积公式具有次代数精度则称此组节点为并称此求积公求积公式方法（式为。利用代数精度的定义，只要求解方一程组）定定义义4 4高高斯斯点点高高斯斯求求积积公公式式 准准确确成成立立，得得解解：令令公公式式对对于于32, 1)(xxxxf机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 111100131030121020110010)()()(,92725232 0.2899490.2775560.8211620.38

23、9111d 0.2775560.289949 0.3891110.821162 ffxxfxaxaxaxaxaxaxaxaxaa高斯公式为高斯公式为于是于是，解得解得机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 kkxa先确定了节点 ，后利用方程组求构造高斯求积公式方法（二）解系数 。 0.d 5bannnnxxpxxxxpnxxxxxxxbxxxa)()()(,)()()()()(110110即即正正交交带带权权的的多多项项式式与与任任何何次次数数不不超超过过是是高高斯斯点点插插值值型型求求积积公公式式的的节节点点 定定理理k01 , 1xn ana bnaaa定理表明在上带权的次正交多项

24、式的零点就是求积公式的高斯点，有了求积节点 （0,1， ， ） ，再利用代数求积公式概念得到一组关于求积系数 ， ， ， 的线性方程组。解此方程组得系数 。也可直接由插值多项式求出求积系数。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 （中点公式）（中点公式）.2)()()(,)()()(,)()()(hhafhafafhhafafafhafhafaf4.6 数值微分数值微分一、中点方法与误差分析一、中点方法与误差分析 数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分公式。分公式。 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 234(4)5(5)24(5)2()( )( )( )( )( )2!3!4! ( ), 5!()()( )( )( )( ). 23!5! ( )( ), 6hhhf a hf ahf afafafahfaf a hf a hhhg hf afafahhg hf am误差估计max( ). ( ),x222 ( ), 42x a hmfxhhf xxhhg hh 其中表面上看 越小越好，但从舍入误差角度考虑， 不能太小。例如 在处的一阶导数设取 位数字计算。机动上页下页首页结束工科研究生公共