电磁感应习题课

1、harbin engineering university孙秋华孙秋华 教学要求教学要求1.掌握电流密度矢量和电动势的概念掌握电流密度矢量和电动势的概念2.熟练掌握法拉第电磁感应定律，能根据定律解决实际问熟练掌握法拉第电磁感应定律，能根据定律解决实际问 题。题。3.能熟练掌握动生电动势的计算。能熟练掌握动生电动势的计算。4.正确理解自感和互感现象，会计算自感和互感及自感电正确理解自感和互感现象，会计算自感和互感及自感电 动势和互感电动势。动势和互感电动势。5.掌握磁场的能量和场能密度的计算。掌握磁场的能量和场能密度的计算。6.理解涡旋电场和位移电流的概念。理解变化磁场引起电理解涡旋电场和位移电

2、流的概念。理解变化磁场引起电 场和变化电场引起磁场的两个基本规律，是电磁感应定场和变化电场引起磁场的两个基本规律，是电磁感应定 律和安培环路定律相应的推广。掌握麦克斯韦方程组的律和安培环路定律相应的推广。掌握麦克斯韦方程组的 积分形式。掌握电磁波的性质及波印廷矢量积分形式。掌握电磁波的性质及波印廷矢量harbin engineering university孙秋华孙秋华一、基本概念一、基本概念1.电流密度矢量电流密度矢量 ：2.电源电动势：电源电动势：ndsdijldek3.涡旋电场：由变化磁场而激发的电场。涡旋电场：由变化磁场而激发的电场。4磁场的能量及能量密度磁场的能量及能量密度 a.能量

3、密度能量密度: b.磁场能量：磁场能量：bhwm21dvbhdvwwvvmm21harbin engineering university孙秋华孙秋华5.位移电流：位移电流：ssdddtdi06.麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组：sdbtldeqsddsls0sddtil dhsdbsls007.位移电流密度：位移电流密度：tdjd8. 玻印廷矢量：玻印廷矢量：hesharbin engineering university孙秋华孙秋华二、基本定律二、基本定律1.1.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律： 负号表明方向负号表明方向2 2楞次定律：（略）楞次定律：（略）dtdm三三.基本运算：基

4、本运算：1）动生电动势：）动生电动势： 即导体在磁场中切割磁力线时，才能产生动生电动势。该导即导体在磁场中切割磁力线时，才能产生动生电动势。该导体相当于一个电源，在其内部它由低电势指向高电势，此时体相当于一个电源，在其内部它由低电势指向高电势，此时的非静电力为：的非静电力为：bvek则：则：baabldbv)(harbin engineering university孙秋华孙秋华2）感生电动势：闭合回路不动，由于穿过回路的磁通量发）感生电动势：闭合回路不动，由于穿过回路的磁通量发 生变化而产生的电动势。生变化而产生的电动势。 非静电力为非静电力为：涡涡旋旋eeksdtbldei涡所以：所以：3

5、) 自感与互感自感与互感a.自感电动势：自感电动势：b.互感电动势：互感电动势：ildtdill112212imdtdimharbin engineering university孙秋华孙秋华电电磁磁感感应应定律定律dtdmi 楞次定律楞次定律麦氏方程组麦氏方程组 slslssiisdtdil dhsdbsdtbl deqsdd000电动势电动势dtdmi baabldbv)( dtdill dtdim121 其它计算其它计算il 121212iim 22121liwdvwbhmvmmm tdjhesd harbin engineering university孙秋华孙秋华四、典型例题四、典型

6、例题：动生电动势的计算动生电动势的计算bal db)(vbakabl de1.规定导线的正方向规定导线的正方向ab2.选坐标选坐标3.找微元找微元dl4.确定微元处确定微元处v 和和b cos)sin()(dlvbl dbvd 5.积分求解积分求解若若 0 0表示其方向与表示其方向与a b方向相同，反之相反。方向相同，反之相反。harbin engineering university孙秋华孙秋华 1. 求长度为求长度为l的金属杆在均匀磁场的金属杆在均匀磁场b中绕平行于磁场方向的定中绕平行于磁场方向的定 轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场b的方

7、位的方位 角为角为 ，杆的角速度为，杆的角速度为 ，转向如图所示。，转向如图所示。b l harbin engineering university孙秋华孙秋华22000sin21sinsinsin)(bldllvbdlldbvllbab解：解： 电动势的方向从电动势的方向从a b vb)(bvab harbin engineering university孙秋华孙秋华2.如图所示，一长直导线中通有电流如图所示，一长直导线中通有电流i，有一垂直于导线、，有一垂直于导线、长度为长度为l 的金属棒的金属棒ab在包含导线的平面内，以恒定的速度在包含导线的平面内，以恒定的速度沿与棒成沿与棒成 角的方向

8、移动开始时，棒的角的方向移动开始时，棒的a端到导线的距端到导线的距离为离为a，求：任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒，求：任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高哪端的电势高 ia lvabharbin engineering university孙秋华孙秋华coscoslnsin2sin2sin)(0coscos0coscosvtavtlaivdxxivvbdxl dbvvtlavtavtlavtabaab解：解：a点电位高点电位高a+vtcos ox lvabharbin engineering university孙秋华孙秋华3.一无限长竖直导线上通有稳定电流一无限长竖直导

9、线上通有稳定电流i，电流方向向上。导，电流方向向上。导线旁有一与导线共面、长为线旁有一与导线共面、长为l的金属棒，绕其一端的金属棒，绕其一端o在该平在该平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为，面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为，o点到导线点到导线的垂直距离为的垂直距离为r0 (r0l)。试求金属棒转到与水平面成。试求金属棒转到与水平面成 角时，角时，棒内感应电动势的大小和方向。棒内感应电动势的大小和方向。r0lo ibharbin engineering university孙秋华孙秋华coscos:0dldxlrx其中dlxilldbvlrraocos0002)(解：解：020000c

10、os0coslncos2cos2cos)cos(200rlrrilidxrxxiolrrr0dlo ibxharbin engineering university孙秋华孙秋华4.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流i的无限长直的无限长直导线，其旁另有一边长为导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈的等边三角形线圈acd该线圈的该线圈的ac边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈acd在纸面在纸面内以匀速内以匀速 远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求当远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求当线圈线圈ac边与长直导

11、线相距边与长直导线相距a时，线圈时，线圈acd内的动生电动势内的动生电动势 vaiacdvharbin engineering university孙秋华孙秋华acdal dbv)(cal dbv)(1dcl dbv)(2adl dbv)(3321解：解：aivlvlb201aiacdv方向：方向：a指向指向charbin engineering university孙秋华孙秋华lvblbvd60cosd)(d260sind60cos2d02xxiv30cos0260sind60cos2laaxxiv23022/3ln63同理alaiv23ln33222021alaaliv其方向为顺时针其方向

12、为顺时针harbin engineering university孙秋华孙秋华解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向2.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上 b的分布的分布b. 选坐标选坐标c. 选微元选微元d.计算微元中的磁通量计算微元中的磁通量 感生电动势的计算感生电动势的计算利用法拉第电磁感应定律利用法拉第电磁感应定律f. . 求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量dtdni 3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势harbin engineering university孙秋华孙秋华5.均匀磁场均

13、匀磁场b被限制在半径被限制在半径r=10cm的无限长圆柱空间内，方的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场以以db/dt=1t/s的匀速率增加，已知的匀速率增加，已知 = /3，oa=ob=6cm. 求求: 等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。abcdr bo harbin engineering university孙秋华孙秋华dtd解：选解：选 abcd 回路的绕行方

14、向顺时针为正，则有回路的绕行方向顺时针为正，则有abmnbssdbmvdtdbsabmn68. 3方向：逆时针方向：逆时针abndr bo omabcharbin engineering university孙秋华孙秋华6.两根平行无限长直导线相距为两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的，载有大小相等方向相反的电流电流 i，电流变化率，电流变化率 di /dt = 0一个边长为一个边长为d 的正方形线圈的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示求线圈中的感，如图所示求线圈中的感应电动势应电动势 ，并说明线圈中的感应电流的方向，并说明线圈中的感

15、应电流的方向 ddiiharbin engineering university孙秋华孙秋华解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向2.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量)(dxixib2200bddxdsbddddddxdxixi3200)(22oxdxddiiharbin engineering university孙秋华孙秋华4320lnid3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势34234200lndd)(lndddtidt方向：顺时针方向：顺时针harbin engineering university孙秋华孙秋华解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向

16、2.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上 b的分布的分布b. 选坐标选坐标c. 选微元选微元d.计算微元中的磁通量计算微元中的磁通量 动生、感生并存电动势的计算动生、感生并存电动势的计算利用法拉第电磁感应定律利用法拉第电磁感应定律f. . 求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量dtdni 3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势harbin engineering university孙秋华孙秋华7 .如图所示，长直导线中电流为如图所示，长直导线中电流为i，矩形线圈，矩形线圈abcd与长直导与长直导线共面，且线共面

17、，且ab/dc，dc边固定，边固定，ab边沿边沿da及及cb以速度以速度v无摩无摩擦地匀速平动。擦地匀速平动。t=0时，时，ab边与边与cd边重合。设线圈自感忽略边重合。设线圈自感忽略不计。（不计。（1）如）如i=i0，求，求ab中的感应电动势。（中的感应电动势。（2）如）如i=i0cos t，求，求ab边运动到图示位置线圈中的总感应电动势。边运动到图示位置线圈中的总感应电动势。iabcdl0lvl2iabcdl0lvl2harbin engineering university孙秋华孙秋华000000ln22)(100lllvidxxivl dbvlllbaab ）（解：解：iabcdl0l

18、vl2iabcdl0lvl2xo(2)a、规定正方向规定正方向abcdab、计算计算 t 时刻的磁通量时刻的磁通量0000ln2)(2)()00lllvttivtdxxtitlll（0000ln2cos)lllvttit（harbin engineering university孙秋华孙秋华dtdni 3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势00000000ln2cosln2sin)llltvilllvttit（harbin engineering university孙秋华孙秋华8 .半径为半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为的金属圆环，置于磁感应强度为b的均匀磁场的均匀磁场中，圆平面

19、与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属直线放在金属环上，当直导线以直线放在金属环上，当直导线以v 在圆环上向右运动到离在圆环上向右运动到离环心环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强度。（设金属单位长度的电阻为度。（设金属单位长度的电阻为r0） vbcao 综合性习题综合性习题harbin engineering university孙秋华孙秋华解：由解：由 得得baldbv)(vbaldbvcbbc3)(方向：方向：c b vbcaoii1i2r1r2利用几何关系利用几何关系0201032343arrarrarrharbin engineering university孙秋华孙秋华02121)943(arrrrrrr0)943(3rvbribc2:1:212211iiririairibairib623132321010210101二者大小相等，