2021版高考数学一轮复习核心考点精准研析10.1直线的倾斜角与斜率直线的方程文含解析北师大版

1、直线的倾斜角与斜率、直线的方程核心考点精准研析考点一直线的倾斜角与斜率1.直线x+3y+1=0的倾斜角是()a.6b.3c.23d.562.(2020石家庄模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()a.0,4b.34,c.0,42,d.4,234,3.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()a.k1k2k3b.k3k1k2c.k1k3k2d.k3k2k14.若点a(4,3),b(5,a),c(6,5)三点共线,则a的值为_.【解析】1.选d.由直线的方程得直线的斜率为k=-33,设倾斜角为,则tan =-33,又0,所以=56.2.选b.由直线方程可

2、得该直线的斜率为-1a2+1,又-1-1a2+10,所以倾斜角的取值范围是34,.3.选c.由图可知k1k30,所以k2k3k1,故选c.4.因为kac=5-36-4=1,kab=a-35-4=a-3.由于a,b,c三点共线,所以a-3=1,即a=4.答案:41.倾斜角与斜率k的关系:(1)当0,2时,k0,+),且倾斜角越大,斜率越大.(2)当=2时,斜率k不存在.(3)当2,时,k(-,0),且倾斜角越大,斜率越大.2.斜率的两种求法:(1)定义法:若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值,一般根据k=tan 求斜率.(2)公式法:若已知直线上两点a(x1,y1),b(x2,y2),一般根据斜

3、率公式k=y2-y1x2-x1(x1x2)求斜率.【秒杀绝招】第2题可以用检验答案的方法求解,假设倾斜角=4,则斜率k=-1a2+1=1不成立,故a、c、d都不对,所以选b.考点二求直线的方程【典例】1.求过点a(1,3),倾斜角是直线y=-3x的倾斜角的12的直线方程.2.经过圆c:(x+5)2+(y-2)2=1的圆心,且在x轴上截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.3.求过a(2,1),b(m,3)两点的直线l的方程.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1看到点与斜率想到直线方程的点斜式2看到截距想到直线方程的截距式3看到字母想到对斜率是否存在的讨论【解析】1.因为y=-3x的斜率为k=

4、-3,其倾斜角为120,所以所求直线的倾斜角为60,其斜率为3,所以直线方程为y-3=3(x-1),即直线方程为3x-y+3-3=0.2.因为圆c的圆心为(-5,2),当直线不过原点时,设所求直线方程为x2a+ya=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-12,所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设直线方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-25,所以直线方程为y=-25x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.3.当m=2时,直线l的方程为x=2;当m2时,直线l的方程为y-13-1=x-2m-2,即2x-(m-2)y+m-6=0.因为m=2时,代

5、入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即为x=2,所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.3.截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.(2020邯郸模拟)经过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小4的直

6、线方程是()a.x=2b.y=1c.x=1d.y=2【解析】选a.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为34.由已知,所求直线的倾斜角为34-4=2,斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.考点三直线方程的综合应用命题精解读1.考什么:(1)与直线方程有关的最值问题.(2)数形结合思想.(3)基本不等式.(4)函数的单调性.2.怎么考:以选择题或填空题形式出现3.新趋势:数学建模核心素养的应用学霸好方法1.求解与直线方程有关的最值问题基本不等式或函数法求最值.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程,分离参数法求出定点.3.交汇问题: (1)三角形和四边形的面积.(2)基本不等式

7、.(3)函数的单调性.与不等式相结合的最值问题【典例】当k0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为_.【解析】直线2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0).由kx-y=0,2x+ky-2=0,解得y=2kk2+2,所以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形的面积为1212kk2+2=1k+2k,又k+2k2k2k=22,当且仅当k=2时取等号,故三角形面积的最大值为24.答案:24如何用直线方程求出三角形的边长?提示:根据直线方程求出交点坐标进而求得三角形的边长.与函数结合的最值问题【典例】已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于a,b两

8、点,若动点p(a,b)在线段ab上,则ab的最大值为_.世纪金榜导学号【解析】由题得a(2,0),b(0,1),由动点p(a,b)在线段ab上,可知0b1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2b-122+12.由于0b1,故当b=12时,ab取得最大值12.答案:12如何找到a,b的关系进行消元?提示:p(a,b)在直线x+2y=2上,将a,b代入直线方程,得到a与b的关系.由直线方程求参数的范围【典例】已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=

9、_.世纪金榜导学号【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点p(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积s=122(2-a)+122(a2+2)=a2-a+4=a-122+154.又0a0,b0),则2a+1b=1.又因为2a+1b22ab12ab4,当且仅当2a=1b=12,即a=4,b=2时,aob面积s=12ab有最小值为4.此时,直线l的方程是x4+y2=1,即x+2y-4=0.(2)由题意知直线l的斜率存在,设为k(k0),则直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k),则a2k-1k,0,b(0,1-2k).所以|pa|pb|=2

10、k-1k-22+(0-1)222+(2k)2=1k2+12k2+1=21k2+1(k2+1)=22+1k2+k222+21k2k2=4.当且仅当1k2=k2,即k=-1时,等号成立,所以|pa|pb|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.已知直线l过点m(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于a,b两点,o为坐标原点.求:(1)当|oa|+|ob|取得最小值时,直线l的方程.(2)当|ma|2+|mb|2取得最小值时,直线l的方程.【解析】(1)设直线l的方程为xa+yb=1,则1a+1b=1,所以|oa|+|ob|=a+b=(a+b)1a+1b=2+ab+ba2+2abba=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.(2)设直