51无简并定态微扰论

1、 前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：论解决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题；）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题；）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题；）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，然而，对于大量的实际物理问题，schrdinger 方程方程能有精确解的情况很少。通常体系的能有精确解的情况很少。通常体系的 hamilton 量是量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复

2、杂比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。近似方法）就显得特别重要。第五章第五章 定态微扰论定态微扰论 原子的能级原子的能级2 近似方法的出发点近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。微扰论来求较复杂问题的近似（解析）解。微扰论, 变分法变分法, 绝热近似绝热近似, 准经典近似等准经典近似等3 近似解问题分为两类近似解问题分为两类 1）体系）体系 hamilton 量不

3、是时间的显函数量不是时间的显函数定态问题定态问题（2）体系）体系 hamilton 量显含时间量显含时间状态之间的跃迁状态之间的跃迁问题问题 与时间与时间 t 有关的微扰理论有关的微扰理论 定态微扰论定态微扰论; 变分法变分法.h称为微扰算符称为微扰算符.(2) 很小，其具体要求是很小，其具体要求是h1nkknh其中，其中，nknkhhd0hhh（1） 可以分解成两部分可以分解成两部分h于是本征方程可变为于是本征方程可变为0()hhe其中，其中， 的本征方程的本征方程0h0h必须能精确求解必须能精确求解.可用可用 作为粗略判断作为粗略判断0hh5.1 无简并定态微扰论无简并定态微扰论无简并是指

4、无简并是指 的本征值谱中，一个本征值只对应一个的本征值谱中，一个本征值只对应一个波函数，即波函数，即0h0kkkh 定态微扰论相当于研究下述情况：定态微扰论相当于研究下述情况：无微扰时，无微扰时，1. 建立级数修正项方程建立级数修正项方程由于由于0hh所以，体系受微扰后，其状态变化较小，所以，体系受微扰后，其状态变化较小，;keee k把上面的把上面的e和和 代入代入 的本征方程中，的本征方程中， h0()hhe再把同级小量分别集中加在一起，得再把同级小量分别集中加在一起，得000()()()()kkkkkkkkhhhhheee 要使上面等式成立，等式两边同级小量之和必须对应相要使上面等式成立

5、，等式两边同级小量之和必须对应相等，于是得到一系列求各级修正项的方程等，于是得到一系列求各级修正项的方程0kkkh 0kkkhhe 0kkhhee (1)(2)(3)于是可以得到于是可以得到,kkeee类似可以得到类似可以得到 等等等等.,e 2. 一级修正的表达式一级修正的表达式按按 本征函数本征函数 展开展开 0h12,n 1( )nnnc （4）110( )( )nnkknnknnchhce把上式代入方程把上式代入方程 中可得，中可得，0kkkhhe 11( )( )nnnkknnknnchce 11( )( )nnnkknnknnchce 用用 左乘上式两边，再对整个空间积分，利用本征

6、函数的左乘上式两边，再对整个空间积分，利用本征函数的正交归一性化简，得正交归一性化简，得m 11( )( )nnmnmknknmnmkncdhdcded 11( )( )nnmnmkknmnmknnchce mkmkhhd称为微扰矩阵元称为微扰矩阵元11( )( )mmmkkmmkchce（5）11( )( )mmmkkmmkchce当当m=k时，即取时，即取 时，时， ，于是从，于是从(5)式可式可得到得到e的一级修正的一级修正mk1mkkkkkkkehhdh为求为求 ，现在求，现在求(4)式中各叠加系数。式中各叠加系数。 （5）当当mk时，由时，由(5)式可得叠加系数式可得叠加系数1( )

7、()mkmkmhcmk1( )()nknknhcnk或或还有还有 没有求出，可由归一化条件没有求出，可由归一化条件 求得求得.1( )kc1d 此时，此时，k于是归一化条件为于是归一化条件为1() ()kkd1()kkkkddd 必须必须0()kkd 把把 代入上式，得代入上式，得1( )nnnc 110( )( )kkcc110( )( )nncc 或为纯虚数为纯虚数如果如果 为纯虚数，则设为纯虚数，则设1( )kc1( )kci 1( )knnnc11( )( )kkknnn kcc1( )kknnn kic11( )()knnn kic 1( )iknnn kec 1( )()iknnn

8、 kec 因此，可以选因此，可以选10( )kc于是于是 的一级修正为的一级修正为 ()nknnknhnk （6）2( )nnnc （7）21210( )( )( )( )nnnnknnnnknnnnc hc hcece 把把(4)式式 和上面和上面(7)式代入方程式代入方程(3)式中，式中，1( )nnnc 0kkhhee (3)，得，得2121( )( )( )( )nnnknnnnknn nnnncc hcece 2121( )( )()nmnkmkmmnmmche ccce 当当m=k时，即取时，即取 ，上式可变为，上式可变为mk用用 左乘上式两边，再对整个空间积分，并利用正交左乘上式

9、两边，再对整个空间积分，并利用正交归一性化简可得归一性化简可得m 2121( )( )( )( )nnnknnnnknn nnnncc hcece 2121( )( )( )( )nnm nnmnnnknm nnm nm knncdchdcdecded 2121( )( )( )( )nnmnnmnkmmmknncchce ce 2121( )( )( )kkkknknknche ccec1( )nknnechnkknnknhhnknknknhh2()nknknhnk通常情况下，用微扰法对通常情况下，用微扰法对e最多计算到二级近似，最多计算到二级近似，对对 则只计算到一级近似则只计算到一级近似

10、. =0至此，至此，2nkkkknknhehdnkknnknhnk具体要求具体要求1nkknh此条件可保证此条件可保证 很小，很小， 也很小。也很小。e keee k级数级数收敛很快，求到收敛很快，求到 和和已足够精确。已足够精确。e 例：例：一维无限深势阱一维无限深势阱(0 xa)中的粒子，受到微扰中的粒子，受到微扰 的的作用，求基态能量的一级修正作用，求基态能量的一级修正.h202212/ ,/ ,( )(/ ),/.x axah xx aaxa 解：一维无限深势阱中，粒子能量的本征函数解：一维无限深势阱中，粒子能量的本征函数(无简并无简并)为为2000sin,( ),.kk xxaxaa

11、xxa 对于基态，对于基态，k=1，12000sin,( ),.xxaxaaxxa 基态能量的一级修正值为基态能量的一级修正值为11( )( )ex hx dx110( )( )ax hx dx2022222221/sinsinsin()sinaaaxxxdxaaaaaxxxdxaaaaa 2122 例：例：设一体系的哈密顿量为设一体系的哈密顿量为 ，其中，其中0hhh10200eheabhba 1, a b的实数的实数.求在二级近似下的能量本征值求在二级近似下的能量本征值.微扰微扰 作用后，两个能级能量的一级修正值分别为作用后，两个能级能量的一级修正值分别为h11111( )eeha12222( )eeha解：解：二级修正值：二级修正值：212111( )nnnheeee22112hee212bee22221222222121( )nnnhhbeeeeeeee 因此，在二级近似下，两个能级的能量分别为因此，在二级近似下，两个能级的能量分别为2121