第二节函数与极限

1、第二节第二节 函数与极限函数与极限 极限的概念是由与求某些实际问题的精确解答而抽象出来的数学概念。例如：我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆的内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用。123123nnaaaaaaaa -六 边 形 面 积-十 二 边 形 面 积-二 十 四 边 形 面 积 -圆 的 面 积， .， .a(n)列列数数 播放播放一一 数列的极限数列的极限 数列数列 按照某一法则依次排列的一串数，叫数列，简记为123:,.,.nnxx xxx例例1 111 1 11 :1,.,.20(3 4) nnn ( 1)3 2 5 4( 1):,.,.2 3 4

2、51()nnnnnnn 0,2 :2(nnn 2，4，8，16，.， ,. )( 1) :1,1, 1,.,( 1) ,.nn不定几何意义几何意义nx是数轴上的一串点列x01x2x3x4x5x特殊函数特殊函数xfn n= (n),nn= (n),nn?nn对于数列研究当n时，a（常数）xx ( 1)nnxn n考察数列=的变化情况 例2例2 ( 1)nxn n当n时（n无限增大），=1+1（无限接近1） 直观上看直观上看( 1)n当n时，(距离)|-1|=|nxn 10n=0,()n当n足够大时，|-1|0，当nn时，|-1|nx 10.01100比如（1）取 ，10.01,n要使|-1|=x

3、n100n 只要.n101, 102, 103,n即从第101项起，均满足|-1|n时，|-1|0， （正整数），当nn时，恒有 |-a|n时，|-a|a- n时，|( 1)lim1nnnn 即1( 1)1.nnn-+观察数列当时的变化趋势播放播放1limsin04nnn证明 例4 例4 111|sin0| |sin|44证: nnnnn1110,sin0|,4nnnn 要使|只要即111sin0|4nnn取n=，则当nn时，|1limsin04nnn即 lim0nnq设0|q|0(设 1) ,要使0lg只要 nlg|q|lg|q|lim0nnqnlg取n=max,1，则当nn时，|q -0|

4、 即 lg|q|12lim0lim023nnnnnn如： （ ）， （1）( 1)221.lim0,2.lim1 33(1) 证明 证明nnnnnnn：练习练习二二 收敛数列的性质收敛数列的性质 定理定理1 1 （极限的唯一性）如果数列 收敛，则极限值唯一。 nxlim,lim,nnnnxaxb（反证法） 假设且（an时|-a|0,=|,0.22nnaaxaxa故 0lim,0() 已知,如果 n0,当nn时，（或0） 且则0nnnnxxxxxaaa推论 推论 证：证：反证法xxxxknnnn 中任意取无限多项，并保持这些项在原数列中的次序， 由此得到的数列称为的子数列，记为.子数列 子数列 1234567:,.,.nnxxxxxxxxx:knx1,nx2,nx3,.,nx,.knxkxxkxnnkkkknnn是中第 项，是中第 项。显然注: 注: xxxknnn敛数数关 如果收敛于a,则 的任一子数列也收敛，且极限值为a.定理4 定理4 （收列与子列的系）lim0,|，当时，nnnxannxa 证: 证: .knknknnnk取，则当k 时，n