2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数学案理含解析

1、第一节第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情分析核心素养1.了解任意角的概念.2.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、 余弦、正切)的定义.任意角三角函数的定义及应用是2021 年高考考查的热点，题型将是选择题或填空题，分值为 5 分.1.数学运算2.数学建模知识梳理1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着1端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类按旋转方向正角按2逆时针方向旋转而成的角负角按3顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴

2、重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 s4|k360，kz2弧度制(1)定义：长度等于5半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角弧度记作 rad.(2)公式角的弧度数公式|6lr角度与弧度的换算17180rad0.017 45 rad，1 rad1805718弧长公式l8|r扇形面积公式s912lr12|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 p(x，y)，那么10y 叫做的正弦， 记作sin 11x 叫做的余弦， 记作cos 12yx叫做的

3、正切， 记作tan 各象限符号13正14正15正16正17负18负19负20负21正22负23正24负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段25mp 为正弦线，有向线段26om 为余弦线，有向线段27at 为正切线常用结论(1)若0，2 ，则 tan sin .(2)角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点 p 的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的

4、角的同一三角函数值相等()(5)若0，2 ，则 tan sin .()(6)若为第一象限角，则 sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修 4p12例 2 改编)已知角的终边过点 p(8m，3)，且 cos 45，则 m 的值为()a12b12c32d32答案：a3(必修 4p4例 1 改编)在7200范围内，所有与角45终边相同的角构成的集合为_答案：675，315三、易错自纠4下列说法正确的是()a三角形的内角必是第一、二象限角b第一象限角必是锐角c不相等的角终边一定不相同d若2k(kz)，则和终边相同答案：d5若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角

5、形的边长，则其圆心角(00 时，r5a，sin 35，cos 45；当 a0 时，r5a，sin 35，cos 45.故 sin cos 15或15.答案：15考点一象限角与终边相同的角|题组突破|1若角是第二象限角，则2是()a第一象限角b第二象限角c第一或第三象限角d第二或第四象限角解析：选 c是第二象限角，22k2k，kz，4k22k，kz.当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角2是第一或第三象限角故选 c2集合 |k4k2，kz中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选 c当 k2n(nz)时，2n42n2(nz)，此时的终边和42的终边一样；当 k2n1

6、(nz)时，2n42n2(nz)，此时的终边和42的终边一样，结合选项知选 c3与2 010终边相同的最小正角是_解析：因为2 010(6)360150，所以 150与2 010终边相同，又终边相同的两个角相差 360的整数倍，所以在 0360中只有 150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是 150.答案：150名师点津1判断象限角的 2 种方法图象法在平面直角坐标系中， 作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为 k360(00)，弧长为 l，则由扇形面积公式可得，212|r2124r2，解得 r1，所以 l|r4，所以所求扇形的周长为

7、2rl6.名师点津有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形考点三角函数的定义多维探究三角函数的定义是考查热点，常见的命题角度有：(1)利用三角函数的定义求值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线比较大小或解不等式命题角度一利用三角函数的定义求值【例 1】(1)(2019 届南昌二中模拟)已知角终边上一点 p 的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则 sin 等于()asin 2b

8、sin 2ccos 2dcos 2(2)(2019 届许昌调研)设是第二象限角，p(x，4)为其终边上的一点，且 cos 15x，则 tan_解析(1)因为 r （2sin 2）2（2cos 2）22，由任意角的三角函数的定义，得 sinyrcos 2.(2)因为是第二象限角，所以 cos 15x0，即 x0.又 cos 15xxx216，解得 x3，所以 tan 4x43.答案(1)d(2)43名师点津定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角终边上一点 p 的坐标，可求角的三角函数值先求 p 到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点 p 的坐标中的参数

9、值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小， 根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标命题角度二判断三角函数值的符号【例 2】(1)sin 2cos 3tan 4 的值()a小于 0b大于 0c等于 0d不存在(2)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析(1)因为22340，cos 30.所以 sin 2cos 3tan 40，故选 a(2)由 sin tan 0，可知 sin ，tan 异号，则为第二象限角或第三象限角由cos tan 0，可知 cos ，tan 异号，则为第三象限

10、角或第四象限角综上可知，为第三象限角.答案(1)a(2)c名师点津三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况命题角度三利用三角函数线比较大小或解不等式【例 3】sin 1，cos 1，tan 1 的大小关系是()asin 1cos 1tan 1btan 1sin 1cos 1ccos 1tan 1sin 1dcos 1sin 14rad，因为 om22mpat，所以 cos 1sin 1tan 1.故选 d答案d名师点津利用单位圆解三角不等式(组

11、)或比较大小的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置(2)根据不等式(组)定出角的范围(3)求交集，找单位圆中公共的部分(4)写出角的表达式|跟踪训练|1已知角的始边与 x 轴的非负半轴重合，顶点在坐标原点，角终边上的一点 p 到原点的距离为 2，若4，则点 p 的坐标为()a(1， 2)b( 2，1)c( 2， 2)d(1，1)解析： 选d设点p的坐标为(x， y)， 则由三角函数的定义得sin4y2，cos4x2，即x 2cos41，y 2sin41.故点 p 的坐标为(1，1)2满足 cos 12的角的集合为_解析：作直线 x12交单位圆于 c，d 两点，连接 oc，od，则 oc 与

12、od 围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为2k232k43，kz.答案： |2k232k43，kz考点以三角函数定义为背景的创新题【例】如图所示，质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 p0( 2， 2)，角速度为 1，那么点 p 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为()解析因为 p0( 2， 2)，所以p0ox4.因为角速度为 1，所以按逆时针旋转时间 t 后，得pop0t，所以poxt4.由三角函数定义，知点 p 的纵坐标为 2sint4 ，因此 d2|sint4|.令 t0，则 d2|sin4| 2.当 t4时，d0，故选 c答案c名师点津紧扣三角函数定义，利用时间 t 的特殊值判断结果|跟踪训练|已知 a(xa，ya