2021届高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和教师文档教案文北师大版

1、第二节第二节等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和授课提示：对应学生用书第 92 页基础梳理1等差数列的有关概念(1)定义：文字语言：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数符号语言：an1and(nnn，d 为常数)(2)等差中项：数列 a，a，b 成等差数列的充要条件是 aab2，其中 a 叫作 a，b 的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d(2)前 n 项和公式：snna1n（n1）2dn（a1an）23等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mnn)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nnn)，则 akala

2、man(3)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mnn)是公差为 md 的等差数列(4)若 sn为等差数列an的前 n 项和，则数列 sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列1两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 ad，a，ad.(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元2三个必备结论(1)若等差数列an的项数为偶数 2n，则s2nn(a1a2n)n(anan1)；s偶s奇nd，s奇s偶anan1.(2)若等差数列an的项数为奇数 2n1，则s2n1(2n1)an1；s奇s偶n1n.(3)在

3、等差数列an中，若 a10，d0，则满足am0，am10的项数 m 使得 sn取得最大值 sm；若a10，d0，则满足am0，am10的项数 m 使得 sn取得最小值 sm.3两个函数等差数列an，当 d0 时，andn(a1d)，是关于 n 的一次函数；snd2n2(a1d2)n 是无常数项的二次函数四基自测1(基础点：求项数)已知数列an中，an3n4，若 an13，则 n 等于()a3b4c5d6答案：a2(基础点：求公差)已知等差数列an满足：a313，a1333，则数列an的公差为()a1b2c3d4答案：b3(基础点：求通项)已知数列an中，a11，an1an1，则 an等于_答案

4、：n24(基础点：求等差数列的前 n 项和)已知等差数列 5，427，347，则前 n 项和 sn_答案：514(15nn2)授课提示：对应学生用书第 92 页考点一等差数列的基本运算及性质挖掘 1用等差数列的基本量 a1和 d 进行计算/自主练透例 1(1)(2018高考全国卷)记 sn为等差数列an的前 n 项和，若 3s3s2s4，a12，则a5()a12b10c10d12解析设等差数列an的公差为 d，由 3s3s2s4，得 33a13（31）2d2a12（21）2d4a14（41）2d，将 a12 代入上式，解得 d3，故 a5a1(51)d24(3)10.故选 b.答案b(2)(2

5、019高考全国卷)记 sn为等差数列an的前 n 项和已知 s40，a55，则()aan2n5ban3n10csn2n28ndsn12n22n解析设首项为 a1，公差为 d.由 s40，a55 可得a14d5，4a16d0，解得a13，d2.所以 an32(n1)2n5，snn(3)n（n1）22n24n.故选 a.答案a(3)已知等差数列an的各项都为整数，且 a15，a3a41，则|a1|a2|a10|()a70b58c51d40解析设等差数列an的公差为 d，由各项都为整数得 dz z，因为 a15，所以 a3a4(52d)(53d)1，化简得 6d225d260，解得 d2 或d136

6、(舍去)，所以 an2n7，所以|a1|a2|a10|531131397（113）258.故选 b.答案b挖掘 2用等差数列性质进行计算/互动探究例 2(1)记 sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，s648，则an的公差为()a1b2c4d8解析设等差数列an的公差为 d，a13da14d24，6a1652d48，d4，故选 c.答案c(2)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则 a20等于 ()a7b3c1d1解析由an是等差数列及 a1a3a5105，得 3a3105，即 a335，由an是等差数列及 a2a4a699，得 3a499，即 a433，则公

7、差 da4a32，则 a20a3(203)d35341，故选 d.答案d(3)(2020广东第一次模拟)等差数列 log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)，的第四项等于()a3b4clog318dlog324解析log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)成等差数列，log3(2x)log3(4x2)2log3(3x)，log32x(4x2)log3(3x)2，2x（4x2）（3x）2，2x0，4x20，3x0，解得 x4.等差数列的前三项为 log38，log312，log318，公差 dlog312log38log332，数列的第四项为 log318log332lo

8、g3273.答案a破题技法等差数列的计算技巧方法解读适合题型基本量法用 a1和 d 表示条件和所求，用方程思想求出 a1和 d五个基本量，a1，d，sn，n，an中知三求二性质法用等差数列的性质将已知和所求联系起来，用性质表示 an和 sn当已知中有“anam”式的表达式(2020河北石家庄一模)已知函数 f(x)在(1，)上单调，且函数 yf(x2)的图像关于直线x1 对称，若数列an是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50)f(a51)，则an的前 100 项的和为()a200b100c0d50解析：由 yf(x2)的图像关于直线 x1 对称，可得yf(x)的图像关于直线x1对称， 由数

9、列an是公差不为0的等差数列， 且f(a50)f(a51)，函数 f(x)在(1，)上单调，可得 a50a512，又由等差数列的性质得 a1a100a50a512，则an的前 100 项的和为100（a1a100）2100，故选 b.答案：b考点二等差数列的判定与证明挖掘 1用等差数列定义证明/自主练透例 1(2020南京模拟)已知数列an的前 n 项和为 sn且满足 an2snsn10(n2)，a112.(1)求证：1sn是等差数列；(2)求 an的表达式解析(1)证明：因为 ansnsn1(n2)，又 an2snsn1，所以 sn1sn2snsn1，sn0.因此1sn1sn12(n2)故由

10、等差数列的定义知1sn是以1s11a12 为首项，2 为公差的等差数列(2)由(1)知1sn1s1(n1)d2(n1)22n，即 sn12n.由于当 n2 时，有 an2snsn112n（n1），又因为 a112，不适合上式所以 an12（n1） ，12n（n1）（n2）.挖掘 2用等差中项法证明/互动探究例 2已知等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 sn.(1)若 s3，s9，s6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列；(2)若 am2是 am1和 am的等差中项，则 sm，sm2，sm1成等差数列吗？解析(1)证明：由 s3，s9，s6成等差数列，得 s3s62s9.若 q1，

11、则 3a16a118a1，解得 a10，这与an是等比数列矛盾，所以 q1，于是有a1（1q3）1qa1（1q6）1q2a1（1q9）1q，整理得 q3q62q9.因为 q0 且 q1，所以 q312，a8a2q614a2，a5a2q312a2，所以 2a8a2a5，即 a8a2a5a8，故 a2，a8，a5成等差数列(2)依题意，得 2am2am1am，则 2a1qm1a1qma1qm1.在等比数列an中，a10，q0，所以 2q2q1，解得 q1 或 q12.当 q1 时，smsm1ma1(m1)a1(2m1)a1，sm2(m2)a1.因为 a10，所以 2sm2smsm1，此时 sm，s

12、m2，sm1不成等差数列当 q12时，sm2a1112m21122a131(12)m22a13114(12)m，smsm1a1112m1（12）a1112m11（12）2a131(12)m1(12)m12a13212(12)m，所以 2sm2smsm1.故当 q1 时，sm，sm2，sm1不成等差数列；当 q12时，sm，sm2，sm1成等差数列破题技法判定数列an是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意 nn，an1an是同一个常数(证明用)(2)等差中项法：对任意 n2，nn，满足 2anan1an1.(证明用)(3)通项公式法：数列的通项公式 an是 n 的一次函数(4)前 n 项和公式

13、法：数列的前 n 项和公式 sn是 n 的二次函数，且常数项为 0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断拓展判断数列为等差数列，也可以利用图像特点：如果数列的图像(孤立的点)分布在一条直线上，则该数列为等差数列，否则不是等差数列如果 a，b，c 成等差数列且不全相等，1a，1b，1c能构成等差数列吗？用函数图像解释一下解析：a，b，c 成等差数列，通项公式为 ypnq 的形式，且 a，b，c 位于同一直线上，而1a，1b，1c的通项公式为 y1pnq的形式其图像不是直线，故1a，1b，1c不是等差数列考点三等差数列前 n 项和及综合问题挖掘 1等差数列的求和及最值/ 互动探究

14、例 1(1)(2018高考全国卷)记 sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，s315.求an的通项公式；求 sn，并求 sn的最小值解析设an的公差为 d，由题意得 3a13d15.由 a17 得 d2.所以an的通项公式为 ana1(n1)d2n9.由得 sna1an2nn28n(n4)216.所以当 n4 时，sn取得最小值，最小值为16.(2)已知数列an满足 a12，n(an1n1)(n1)(ann)(nn)求证数列ann 是等差数列，并求其通项公式；设 bn 2an15，求数列|bn|的前 n 项和 tn.解析证明：n(an1n1)(n1)(ann)(nn)，nan1(n1

15、)an2n(n1)，an1n1ann2，数列ann 是等差数列，其公差为 2，首项为 2，ann22(n1)2n.由知 an2n2，bn 2an152n15，则数列bn的前 n 项和 snn（132n15）2n214n.令 bn2n150，解得 n7.n7 时，数列|bn|的前 n 项和tnb1b2bnsnn214n.n8 时，数列|bn|的前 n 项和 tnb1b2b7b8bn2s7sn2(72147)n214nn214n98.tn14nn2，n7，n214n98，n8.破题技法等差数列an的前 n 项和 sn存在最值的情况：如果 a10，d0 时，数列的项先正(或 0)后负，将所有正项(或

16、 0)相加，则 sn最大，或者 snd2n2(a1d2)n 表示开口向下的抛物线，sn存在最大如果 a10，d0，数列的项先负(或 0)后正，将所有的负项(或 0)相加，则 sn最小，或者 snd2n2(a1d2)n 表示开口向上的抛物线，sn存在最小挖掘 2等差数列求和的综合应用/ 互动探究例 2(1)(2019高考全国卷)记 sn为等差数列an的前 n 项和已知 s9a5.若 a34，求an的通项公式；若 a10，求使得 snan的 n 的取值范围解析设an的公差为 d.由 s9a5得 a14d0.由 a34 得 a12d4.于是 a18，d2.因此an的通项公式为 an102n.由得 a

17、14d，故 an(n5)d，snn（n9）d2.由 a10 知 d0，d0，满足am0am10，sn取得最大值 sm；a10，满足am0am10，sn取得最小值 sm.挖掘 3等差数列和的性质及创新问题/ 互动探究例 3(1)(2020河北唐山第二次模拟)设an是任意等差数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前4n 项和分别为 x，y，z，则下列等式中恒成立的是()a2xz3yb4xz4yc2x3z7yd8xz6y解析设数列an的前 3n 项的和为 r，则由等差数列的性质得 x，yx，ry，zr 成等差数列，所以 2(yx)xry，解之得 r3y3x，又因为 2(ry)yxzr，把 r3y3

18、x 代入得 8xz6y，故选 d.答案d(2)(2020湖北黄冈一模)设等差数列an的前 n 项和为 sn，等差数列bn的前 n 项和为 tn，若sntn2 018n13n4，则a3b3()a528b529c530d531解析根据等差数列的性质：anbns2n1t2n1得a3b3s5t52 01851354531.故选 d.答案d(3)(2020江西红色七校第一次联考)已知数列an为等差数列，若 a2a6a102，则 tan(a3a9)的值为()a0b.33c1d. 3解析数列an为等差数列，a2a6a102，3a62，解得 a66，a3a92a63，tan(a3a9)tan3 3.故选 d.答案d(4)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵， 年龄小的比年龄大的多 17 斤绵， 那么第 8 个儿子分到的绵是()a174