《应用微积分》84无穷级数

1、主讲教师： 第 8 章 无穷级数 级数的概念与性质级数的概念与性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法幂级数幂级数123 级数的内涵级数的内涵 级数的敛散级数的敛散 级数的训练级数的训练给定一个数列给定一个数列,321nuuuu将各项依将各项依,1nnu称上式为称上式为无穷级数无穷级数.级数的前级数的前 n 项和项和nkknuS1nuuuu321次相加次相加, 简记为简记为1nnuS,lim不存在若nnS则称无穷则称无穷级数发散级数发散 .称为级数的称为级数的部分和部分和.,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称则称无穷级数无穷级数并称并称 S 为为级数的和级数的和, 记作记作定义定义8.1等比级数

2、(又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn参照级数：参照级数：1q时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;1q时时, 等比级数发散等比级数发散 . 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性;)98(0 nn（2）;)31(1000 nn（3）.)3(0 nne （1）需要记住！需要记住！讨论级数讨论级数 0)(nnex的敛散性的敛散性. 0)(nnex是公比为是公比为exq 的等比级数，则当的等比级数，则当1 ex即即ex 时，级数收敛，且时，级数收敛，且xeeexexnn 11)(0当当1 ex, 即即ex 时，级数发散。时，级数发散。解解例例 1级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每

3、一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .1 1收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. .2 2收敛级数加括弧后所成的级数收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和仍然收敛于原来的和. .3 3设收敛级数设收敛级数,1nnuS则必有则必有.0limnnu;)1()1(0 nn; 3)2(0 n;)11()3(1 nnn;1sin)4(1 nnn.)21(11)5(1 nn 观察下列级数的敛散性：观察下列级数的敛散性：由于一般项不趋于由于一般项不趋于0，因而都发散。，因而都发

4、散。 定理 8.1性质性质负项级数正项级数任意级数交错级数 级数敛散级数敛散数项判断数项判断8.4.2（1）若若,0nu1nnu则称则称为为正项级数正项级数 . nSSS21.有有界界正正项项级级数数收收敛敛nS即：部分和数列即：部分和数列 nS特征：特征：于是有：于是有：正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件定义定义8.3可否推广呢？如何推广可否推广呢？如何推广思考思考均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu 审敛法审敛法1比较法比较法大收大收 小收小收小发小发 大发大发), 2, 1( nvunn 定理 8.3均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu大收大

5、收 小收小收小发小发 大发大发), 0(Nnkkvunn推论8.28.2 级数级数 的敛散性，的敛散性，(其中其中 是实数是实数) 11npn pp p级数级数 发散发散收敛收敛, 1, 111ppnnp【注】【注】 （1）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；（2）调和、等比和）调和、等比和P-级数是最常用的参照级数。级数是最常用的参照级数。 请记住这个参照级数请记住这个参照级数 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 22211313121211nn 因为因为 , 1111lim2 nnnn而级数而级数 11nn级数发散级数发散发散，发散，解解例例2设设

6、 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果,limlvunnn 定理定理8.4 比较法比较法极限形式极限形式（更加方便）（更加方便）其中其中0 l ，则级数，则级数1nnv1nnu与与敛散性相同。敛散性相同。 定理 8.4 111)(lim1llllluunnn发发散散不不定定收收敛敛数数或或则则比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. 比较比较比较审敛法的缺点比较审敛法的缺点: 必须找参考级数必须找参考级数.定理定理8.5 审敛法审敛法2比值法比值法【注】【注】 级数中含有级数中含有“阶乘阶乘”时，通常使用比值法。时，通常使用比值法。 定理 8.

7、5)!2()!1()!1()!22( !lim lim 1nnnnnnuunnnn )!2()!1()!1()!2)(12)(22( !lim nnnnnnnnn )1)(1()12)(22(lim nnnnn14 根据比值法可知原级数发散根据比值法可知原级数发散 判别级数判别级数 1!)!2(nnnn 的收敛性的收敛性. 解解例例3 111)(limlllllunnn发发散散不不定定收收敛敛数数或或则则nnnnnnuuu1limlim 由数学分析知识有结论：由数学分析知识有结论：定理定理8.6 （审敛法（审敛法3 根值法）根值法）【备注】【备注】比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。比值

8、和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。 定理 8.6,1 nnu.为为任任意意实实数数其其中中nu分类：分类：,.);3 , 2 , 1(0)1( nun,.);3 , 2 , 1(0)2( nun;)3(中有限项为正中有限项为正nu;)4(中中有有限限项项为为负负nu.,)5(负项也无穷多负项也无穷多中正项无穷多中正项无穷多nu 任意项级数是指对级数任意项级数是指对级数 级数敛散级数敛散其余如何判断？其余如何判断？ 1nnu为正项级数。为正项级数。不难发现：不难发现： 考虑：考虑：可否利用级数可否利用级数 的敛散性，来考察的敛散性，来考察 的敛散性。的敛散性。 1nnu 1nnu需首先引入需

9、首先引入绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛的概念。的概念。 对任意项级数对任意项级数,1nnu若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原级则称原级111) 1(nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛收敛 ,1nnu数数1nnu为条件收敛为条件收敛 .绝对收敛绝对收敛.【如】【如】 绝对收敛绝对收敛 ；则称则称原级数原级数条件收敛条件收敛 .定义定义8.4思思 考考?,)1(11是是否否收收敛敛收收敛敛 nnnnuu?,)2(11是是否否发发散散发发散散 nnnnuu?)3(1的的敛敛散散性性如如何何判判别别 nnu！ 结论：结论：绝对收敛绝

10、对收敛 收敛。收敛。.,11可可能能发发散散可可能能收收敛敛发发散散说说明明 nnnnuu 定理 8.7?1的的敛敛散散性性如如何何判判别别试试问问： nnu由于由于1nnu是正项级数，故把正项级数的审敛法是正项级数，故把正项级数的审敛法稍作修改，得到它的比值法和根值法。稍作修改，得到它的比值法和根值法。 修正的比值法（根值法）修正的比值法（根值法） nnnnnnuuulimlim1或若则有则有 定理 8.8绝对收敛。时，级数）当（111nnu发散。时，级数）当（112nnu可能收敛，可能发散。时，级数）当（113nnu的的敛敛散散性性。判判断断级级数数 1nnnxxnnxxuunnnnnn

11、1limlim11讨论如下：讨论如下：时时，1 x绝绝对对收收敛敛；级级数数 1nnnx时时，1 x发发散散；级级数数 1nnnx时时，1 x，级级数数 111nnnnnx级级数数发发散散；时，时，1 x，级级数数 112ln)1(nnnnnnx级级数数条条件件收收敛敛。解解例例4 交错级数：各项符号正负相间如交错级数：各项符号正负相间如nnuuuu1321) 1(的级数的级数 .其中其中 (Leibnitz 判别法判别法) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件则级数则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛收敛 , 且其和且其和 ,1uS 其其.1

12、nnur.,2,1,0 nun 级级数数发发散散级级数数条条件件收收敛敛级级数数绝绝对对收收敛敛综综上上可可得得010, 1)1(1pppnnpn定义定义8.5 定理 8.9).0(-1)1n2n knnk的的敛敛散散性性判判别别级级数数 1n1n2n2n1n2n(-1)(-1)(-1)nnnknnk绝对绝对收敛收敛条件条件收敛收敛条条件件收收敛敛级级数数 1n2n(-1)nnk得得敛敛散散性性。判判断断级级数数 1100111)1(nnnnn解解例例5 1nnu0lim nnu?否否发发是是0 nu?是是0lim nnnu?否否发发是是 nnnuu1lim nnnu lim失失效效比较法比较

13、法SSnn lim?交交错错级级数数 否否莱布尼兹莱布尼兹判别法判别法nnnuu1lim nnnu lim失效失效失失效效请记住请记住 0nnaq 11nn 11npn 一般一般级数级数数项敛散数项敛散全方略全方略 1nnu0lim nnu?否否发发数项敛散数项敛散全方略全方略 13)32)(12)(12(52) 1(nnnnnnnnu lim0818lim33 nnn 1)1(3)2(nnnnnnnnnnnnnn)1(1lim)1(lim 01 e0)1ln(lim nnn 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。结论：结论：发散发散.结论：结论：发散发散. 1)1ln(1)3(nn结论

14、：结论：发散发散.例例6 1nnu0lim nnu?否否发发是是0 nu?是是0lim nnnu?否否发发数项敛散数项敛散全方略全方略 1)1(1)1(nnn01)1(1lim nnnnnnn11sinlim 01 nnn1sinlim 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。 11sin)2(nn结论：结论：发散发散.结论：结论：发散发散.例例 7 1nnu0lim nnu?否否发发是是0 nu?是是0lim nnnu?否否发发是是 nnnuu1lim 数项敛散数项敛散全方略全方略)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n),( n)2(!1010)!1(11nnuunnn

15、n 101 n结论：结论：收敛收敛.结论：结论：发散发散. 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。解解例例 8 1nnu0lim nnu?否否发发是是0 nu?是是0lim nnnu?否否发发是是 nnnuu1lim nnnu lim数项敛散数项敛散全方略全方略 11)1(nnn 112)13()2(nnnn 12)11()3(nnn101lim1lim)1( nnnnnn1)31()13(limlim)2(212 nnnnnnnnu11)11(limlim)3(2 enunnnnnn结论：结论：三个都收敛三个都收敛. 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。例例 9解解 1nnu0

16、lim nnu?否否发发是是0 nu?是是0lim nnnu?否否发发是是 nnnuu1lim nnnu lim失失效效比较法比较法请记住请记住 0nnaq 11nn 11npn数项敛散数项敛散全方略全方略)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn. 12)12(1nnn 判断级数判断级数 的敛散性。的敛散性。例例10 1nnu0lim nnu?否否发发是是0 nu?是是0lim nnnu?否否发发是是 nnnu

17、u1lim nnnu lim失失效效比较法比较法SSnn lim?交交错错级级数数否否莱布尼兹莱布尼兹判别法判别法失效失效请记住请记住 0nnaq 11nn 11npn 一般一般级数级数数项敛散数项敛散全方略全方略显然有显然有; 01lim)1( pnn由由莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法知原知原级数收敛级数收敛。)0()1(11 pnnpn 判断级数判断级数 的敛散性。的敛散性。.)1(11)1()2(ppppnnnn 解解例例11 1nnu0lim nnu?否否发发是是0 nu?是是0lim nnnu?否否发发是是 nnnuu1lim nnnu lim失失效效比较法比较法SSnn lim?交交

18、错错级级数数 否否莱布尼兹莱布尼兹判别法判别法nnnuu1lim nnnu lim失效失效请记住请记住 0nnaq 11nn 11npn 一般一般级数级数数项敛散数项敛散全方略全方略)1(lim!)!1(limlim11 nxxnnxuunnnnnnn所以原所以原级数收敛级数收敛. 1!nnnx 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性 .xnxn 101lim解解例例12)1(2lim2!)!1(2limlim12)1(122 nnnuunnnnnnnn 11!2)1(2nnnn 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性.114*2lim nnn所以原所以原级数发散级数发散.解解例例13 1nnu0li

19、m nnu?否否发发是是0 nu?是是0lim nnnu?否否发发是是 nnnuu1lim nnnu lim失失效效比较法比较法SSnn lim?交交错错级级数数 否否莱布尼兹莱布尼兹判别法判别法nnnuu1lim nnnu lim失效失效失失效效请记住请记住 0nnaq 11nn 11npn 一般一般级数级数数项敛散数项敛散全方略全方略 级数敛散级数敛散函数项判断函数项判断8.4.2（2）性质性质定理Abel相关概念敛散判断设设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数 .对对, I0 x若常数项级数若常数项级数10)(nnxu敛点

20、敛点, 所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数若常数项级数10)(nnxu为定义在区间为定义在区间 I 上的上的收敛收敛,发散发散 ,所有所有0 x称为其为其收收 0 x称称为其为其发散点发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 .函数函数, 称称定义定义8.6形如形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210为幂级数的为幂级数的系数系数 .的情形的

21、情形, 即即nnxxa)(0称称 函数项级数函数项级数相关概念相关概念定义定义8.7ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散若幂级数若幂级数0nnnxa,0点点收收敛敛在在xx 则对满足不等式则对满足不等式0 xx 的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,则对满足不等式则对满足不等式 定理 8.10收收敛敛域域的的结结构构：由由阿阿贝贝尔尔定定理理知知 0nnnxa;0)1(收收I幂幂级级数数在在其其中中绝绝对对收收敛敛收收),()2( I（3

22、）存在）存在 幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;,0 R(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .Rx外发散外发散; 在在(R , R ) 称为称为收敛区间收敛区间.ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散若0nnnxa的系数满足的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R即即1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 时时,则则 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为1limnnnaaRnnxnn202) !(! )2( 求求幂幂级级数数的

23、收敛半径的收敛半径 . 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由故直接由解解例例14 若幂级数若幂级数nnnxa0的收敛半径的收敛半径,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna)

24、,(RRx则其和函则其和函在收敛域上在收敛域上连续连续, 且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 【注】【注】逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.性 质,)1()(11 nnnnxxS, 0)0( S显显然然两边积分得两边积分得)1ln()( 0 xdttSx 21111)1()( xxxxSnnn,11x )11( x解解例例15,1时时又又 x.1)1(11收收敛敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxS )1ln()0()(xSx

25、S 即即求级数求级数01nnnx的和函数的和函数. )(xS例例16无穷级数无穷级数 无穷级数无穷级数 1级数的内涵级数的内涵级数的敛散级数的敛散23级数的训练级数的训练（A） 收敛，其和为零收敛，其和为零 （B） 收敛但和不一定为零收敛但和不一定为零（C） 发散发散 （D） 可能收敛，可能发散可能收敛，可能发散)(,0lim)1(则则级级数数设设 nna 12sin)2(nn 的敛散情况是（的敛散情况是（ ）（A）收敛）收敛 （B） 收敛且和为收敛且和为 （C） 发散发散 （D） 敛散性不定敛散性不定2 0)1(1 nnnnuu(3) 设设 则该级数（则该级数（ ）（A）收敛）收敛 （B）发

26、散）发散 （C）敛散性不定）敛散性不定 （D）若）若 必收敛必收敛0lim nna(4) 下列级数收敛的是（下列级数收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D） 151nn 1511nn 15 . 01nn 151nn（5）级数）级数 的敛散情况是（的敛散情况是（ ）)0()1(11 pnnpn（A） 绝对收敛绝对收敛 （B） 条件收敛条件收敛（C） 绝对收敛绝对收敛 （D） 条件收敛条件收敛 1 p1 p1 p1 p（6）设有级数）设有级数 ，以下命题正确的是（，以下命题正确的是（ ） 1nnu（A） 收敛收敛 收敛（收敛（B） 收敛收敛 收敛收敛（C） 发散发散 发散发散 （D）以上结论均

27、不对）以上结论均不对 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu（7）下列级数条件收敛的是（）下列级数条件收敛的是（ ）（A） （B）（C） （D） 1102)1(nnnn 131)1(nnn 11)21()1(nnn 113)1(nnn（8）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 112)12(21nnn 19 . 01nn 1cosnn 1)12(1nn（9）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 131nn 121nnn 11)87()1(nnn 1)78(nn（10）下列级数收敛的是（）下列级数收敛

28、的是（ ） （A） （B） （C） （D） 11lnnnn 13lnnn 1121)1(nnn)1(1nnn （11）下列级数发散的是（）下列级数发散的是（ ） （A） （B） （C） （D） 122)12(sinnnn 111nn 12)1(2nnn 1223cosnnnn (A) 绝对收敛绝对收敛 （B）条件收敛）条件收敛 （C）发散）发散 （D）收敛性与）收敛性与a的取值无关的取值无关（12）设）设a为常数，则级数为常数，则级数 （ ） 12)1)sin(nnnna(A) 绝对收敛绝对收敛 （B）条件收敛）条件收敛 （C）发散）发散 （D）收敛性与）收敛性与a的取值无关的取值无关（13）

29、设）设a为常数，则级数为常数，则级数 （ ） 1)cos1()1(nnn （14）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） 1!2nnnnn （A） （B） （C） （D） 1!nnnnne 1!2nnnnn 1!nnnn（15）级数）级数 的敛散情况是（的敛散情况是（ ） 1ln)1(nnnn(A) 绝对收敛绝对收敛 （B）条件收敛）条件收敛 （C）发散）发散 （D）不能判定其敛散性）不能判定其敛散性（16）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 12tannn 11!2)1(2nnnn 111nnn 1)21(11nn(A) 绝对收敛绝对收敛 （B）条

30、件收敛）条件收敛 （C）发散）发散 （D）收敛性与）收敛性与K的取值无关的取值无关（17）设常数）设常数 ，则级数，则级数 （ ）0 K 121)1(nnnnK（A）R=1 （B）R=2 （C）R=3 （D）R=4（18）设幂级数）设幂级数 在在 时发散，时发散，在在 时收敛，则该级数的收敛半径时收敛，则该级数的收敛半径R为（为（ ） 0)1(nnnxa31 x12 x1x31 R提示提示（A）R=1 （B）R=2 （C）R=3 （D）R=4（19）设幂级数）设幂级数 在在 时条件收敛，时条件收敛，则该级数的收敛半径则该级数的收敛半径R为（为（ ）31 x 0)1(nnnxa1 xR305 提

31、示提示（A）R=0 （B）R=1 （C）R=2 （D） R（20）设）设 为一等差数列，为一等差数列，其公差其公差 ,则级数则级数 的收敛半径的收敛半径R为为( ),.,.,210naaaa0 d 0nnnxa1lim nnnaaRndadnan 00)1(lim1 提示提示(21) 级数级数 的收敛域及和函数的收敛域及和函数 为（为（ ） 0)12(nnxn)(xS（A） （B）（C） （D）)11()1(12 xxx)11()1(12 xxx)11()1(12 xxx)11()1(12 xxx1lim1 nnnaaR故此幂级数的收敛域为故此幂级数的收敛域为又当又当1 x时，幂级数时，幂级数 012nnxn发散发散 .1 , 1 提示提示 000212nnnnnnxnxxnxS nnxn 012设幂级数设幂级数的和函数是的和函数是)(xS ,111112112220 xxxxxxxxnn )11( x(22) 设设 ，则级数，则级数 的收敛半径的收敛半径R为（为（ ）2lim1 nnnaa 112nnnxa（A）