整式乘除与因式分解导学案

1、第十四章 整式的乘法与因式分解同底数幕的乘法班级： 姓名： 一、学习目标1 理解同底数幕的乘法法则。2. 运用同底数幕的乘法法则解决一些实际问题.3. 通过“同底数幕的乘法法则”的推导和应用，？使学生理解特殊到般再到特殊的认知规律。二、重点难点重点：正确理解同底数幕的乘法法则以及适用范围难点：正确理解和应用同底数幕的乘法法则.。三、导学过程问题：1 . an表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么？2.25表示什么？ 10 X10 X10 X10 X10可以写成 式3 .思考：式子103X102的意义是什么？?这个式子中的两个因式有何特点？?请同学们先根据自己的理解，解答下列各题.103

2、 X102 =（10X10 X10 ）X（10X10）=0（）23 X22 = =2（）oC（）a3 Xa2= =a思考：请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？103 X102 = 10（） 23 X22 = 2（ ）a3X a2 = a（）猜想：am -an = （m、n都是正整数）4 .分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确同底数幕的乘法性质:am an = am+n（m、n都是正整数）同底数幕相乘, 底数,指数。运算形式：（同底、乘法） 运算方法：（底不变、指加法） 一想：怎样用公式表示？当三个或三个以上同底数幕相乘时，是否也具有这一性质呢？am an ap =（m、n、p都

3、是正整数）四、学以致用1D、计算：(1 ) X7 X3(2) a a82D、计算(3) 2X22X24(4) xm+2v3m3D、计算：（1）（ a）3|（ a）2(2) (a b)2|(a b)5(3) ( b)3b54D、计算：(1) (a b)2|(b a)335(2) 10 10 1035(3) 3 105 105D、下面的计算对不对？如果不对，怎样改正?(1) b5 b5= 2b 5()(2) b5+ b 5=b 10()(3) x5 x5 = x 25()(4) y5-y 5 =2y 10()(5) c -c3 = c3()(6) m +m 3 :=m 4()6D、填空：(1) x

4、5 () = x 8(2) a )=a6(3) x -x3 () = x 7(4) xm()=x 3m7D、填空：(1) 8 = 2x,贝U x =;(2) 8 X 4 = 2 x,贝q x =;(3) 3X27 X9 = 3 x，贝U x =.8D、计算(1) 35(-3)3( 3)2( 2) -a(- a)4(-a)3(3 ) xp(-x)2p(-x)2p+1 (p 为正整数)(4) 32 X(-2) 2n( 2) (n 为正整数)9C、amanam+n（m、n 都是正整数） 反过来得10C、若 am 3，an 5，求 am n 的值11B、已知2a 3 , 2b 5 , 2c 30，求a

5、,b,c之间的关系幕的乘方班级：姓名：一、学习目标1 经历探索幕的乘方与积的乘方的运算性质的过程；2 进一步体会幕的意义，培养推理能力和有条理的表达能力；3 了解幕的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.二、重点难点重点：会进行幕的乘方的运算，幕的乘方法则的总结及运用。难点：幕的乘方的运算的法则。三、导学过程1 回顾同底数幕的乘法am an=a m+n (m、n都是正整数)2 自主探索，感知新知64表示个相乘.(62)4表示个相乘.a3 表示个相乘.(a2)3 表示个相乘.3 推广形式，得到结论(am) n表示个相乘= X即 (am) n=其中m、n都是正整数)4 通过上面的探索活动

6、，发现了什么？幕的乘方，底数指数四、学以致用1 D、计算：(1 )、(102) 72(2)、( 3 )34(4)、(x2) 52D、计算：(5 )、-( a2) 7(7)、(x3) 4x2(6)、-( as) 3(8)、2 (x2) n-(xn) 23D、判断题，错误的予以改正(1) a5+a 5=2a 10(2) (s3) 3=x6(3)(-3) 2 ( 3) 4= (-3) 6= - 36(4) x3+y 3= (x+y ) 34D、填空：若(x2) m=x8，贝U m=( )( )( )(3)、 (-6) 345D、填空：若(x3) m2=x 12，则 m=6B、计算5 (P3) 4 (

7、 P2) 3+2 (- P) 24 -P5)7B、计算 (-1) m2n+1 m-1 +0 2002 _( 19908C、若 xm x2m=2，求 x9m 的值9C、若 a2n=3，求（a3n） 4 的值10B、已知 am=2,an=3,求 a2m+3n 的值.11A、已知 a=2 55, b=3 44, c=5 33, d=6 22，那么 a,b,c,d 从小到大的顺序是（）A.abcdB.abdcC.bacdD.adbc积的乘方班级：姓名：、学习目标1 经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力;2 学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力；3 进一步体会幕的意义理解积的乘方运算

8、法则，能解决一些实际问题.二、重点难点重点：积的乘方运算法则及其应用.难点：幕的运算法则的灵活运用、导学过程1 同底数幕的乘法：。2 . 幕的乘方：。创设情境，弓I入新课1 问题：已知一个正方体的棱长为 2xi03cm , ?尔能计算出它的体积是多少吗？ 提问：体积应是 V(2 X103) 3cm3，结果是幕的乘方形式吗？底数是 2和103的乘积，虽然103是幕, 但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？ ？有前两节课的探究经验， 请同学们自己探索，发现其中的奥秒.【课堂探究】1 填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1) (ab) 2=

9、 (ab) ab) = (a a) b b) =a()b()(2) (ab) 3=a )b()(3) (ab ) n=a)b( ) (n 是正整数)2 .分析过程：(1) (ab) 2 = (ab) (ab ) =(a ) ( b ) = a 2b2，(2) (ab) 3= (ab ) (ab) ab ) = (a a) - (b b) =a3b3；(3) (ab) n= (ab)|(ab)(ab) = 刚|如(b|b|J|b) =a nbnn个abn个an个b3 .得到结论：积的乘方：(ab) n= (n是正整数)把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，也就是说积的乘方等于幕的乘积4 .

10、积的乘方法则可以进行逆运算.即：an bn= (ab) n (n 为正整数)an bn= (alaa) (bibb)幕的意义n个an个b(afcj(ab)io)n 个(a b)b)乘法交换律、结合律=(ab) n乘方的意义同指数幕相乘，底数 ，指数.四、学以致用1D、计算下列各题：(1) (ab)6(_)6(2) (2m)3(_)3 (_)32D、计算下列各题：(1) (ab)33 2(3) (3ab)24(5) (2 102)23D、计算下列各题：(1) ( y3z2)22(4) ( x2y)5(_)5 (_)5(3) ( nm、3(2) ( -a b )pq)2(_)2 (_)2 ()25

11、(2) ( xy)53 23(4) ( -a b) (6) ( 2 102)3 _(3) (4a2b3)n(4) 2a2 b4 3(ab2)24C、计算下列各题:(1) (2a2b)3 3(a3)2b3(2) (2x)2( 3x)2( 2x)2(3) 9m4(n2)3( 3m2n3)2(4) (3a2)3 b4 3(ab2)2 a45B、计算：2100计(1)2003 16B、已知2m 3 , 2n 4求23m 2n的值整式乘法一单项式乘以单项式班级：姓名：一、学习目标1 探索并了解单项式与单项式相乘的法则，并运用它们进行运算.2 .让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习

12、惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力、重点难点 重点：单项式与单项式相乘的法则和计算。难点：灵活运用单项式与单项式相乘的法则解决一些简单的实际问题 三、导学过程(一) 知识回顾：1 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？如果是单项式，请说出它的系数；如果是多项式，请说 出它的各项。x2 xy y2 ,-x2y , x by3, a ,2 r ,2x 1,-63 5(二) 创设情境，弓I入新课1 问题：光的速度约为3 X105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5X102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？2 .问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5 b

13、c2，如何计算？ 试一试。3.类似地，请你试着计算：(1)5x2”x3;(2) (4a2x5)|( 3abx2)(三) 交流与讨论，得到新知怎样计算单项式与单项式相乘？四、学以致用1D、计算：(1) 3x2y|( 2xy3) ；(2) (-5a2b3)|( 4b2c)；2D、计算:(1 ) (6 108)(8 103)； 2xy( 2x2y2)|( 3x3y)3D、计算:(1) (-1ab2c)2|( 3abc2)3|(12a3b)23(8xy2)|( 1x)3(2 )、4C、判断正误（如果不对应如何改正）(1)4a32a2=8a6() 2x4 3x4=5x 8 ()-6x23xy=18x 3

14、y ()(4) (-2ab 2)(-3abc)=-6a 2b3()5D、计算：(1) 6x2(3xy ;(2) 2ab2|( 3ab);6A、先化简，求值：-10( a3b2c)2|(bc)3 (2abc)3|( a2b2c)2，其中 a 5,b 0.2,c 2整式乘法一单项式乘以多项式班级：姓名：一、学习目标1 探索并了解单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算.2 .让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力二、重点难点重点：单项式与多项式相乘的法则和计算。难点：灵活运用单项式与多项式相乘的法则解决一些简单的实际问

15、题。三、导学过程（一）知识回顾：单项式乘以单项式的运算法则（二）创设情境，弓I入新课1 .问题：三家连锁店以相同的价格 m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶），分别是a,b,c。你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗?3.分析：得到结果：一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，即总收入为：另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和即总收入为：所以：m(a+b+c)= ma+mb+mc3 提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？(三) 交流与讨论，得到新知怎样计算单项式与单项式相乘？单项式与多项式相乘：就是用去乘 的每一项，

16、再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=。四、学以致用1D、计算：(2)(-4x2) (3x+1);2 2 1(1) (ab 2ab) ? ab3 22C、若(-5am+1 b2n-1)(2anbm)=-10a 4b4，贝U m-n 的值为。3C、计算：、(a3b)2(a2b)3(2)、(3a2b)3+(-2ab)(-4a 3b)4B、计算：5224(1) 、(-xy)?(3xy 2xy y)22722(2) 、(-3xy)(5x y) 6x ( xy 2y )整式乘法一多项式乘以多项式班级：姓名：、学习目标1 探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算.2 .让学生主动参与到探索

17、过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力。二、重点难点重点：多项式与多项式相乘的法则和计算。难点：灵活运用多项式与多项式相乘的法则解决一些简单的实际问题三、导学过程(一)知识回顾：单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则(二)创设情境，弓I入新课1 .问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？1hlr h rJmj312. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积 ？不同的表示方法之间有什么关系？3 .学生分析4 .得出结果：方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n

18、)米，因而面积为 .方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为： 米2、米2、米 2、米 2，故这块绿地的面积为 米 2.(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn三)交流与讨论，得到新知1. 引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做.2 .学生动手:3.过程分析：（a+b）（m+n）=a(m+n)+b(m+n)-单x多=a

19、m+a n+bm+b n-单x多4.得到结论:多项式与多项式相乘【课堂探究】1D、计算：2 2(1) (X 2y)(x 2xy 3y )2(2) (2x 5)(x 5x 6)2C、化简求值:(x 2)( x 3)3(x1)(x 1)(2x 1)(2x3），其中x=-53D、一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？4C、已知x2-2x=2，将下式化简，再求值.(x-1) 2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)5B、计算：(x+2y-1) 26A、求证：对于任意自然数n , n(n 5) (n 3)(n2)的值都能被6整除

20、同底数幕的除法班级：姓名:一、学习目标1、理解并掌握同底数幕除法的运算性质2、能熟练运用这一性质进行计算或解决一些实际问题。3、培养学生观察解决问题的能力二、重点难点重点：公式的实际应用。难点：a0 = 1中a0的规定。三、导学过程1、计算：a22、由 103 105108知108 10310()3、由 a6 a3知a9a6 a(【课堂探究】1、思考：一种数码照片的文件大小是28K, 个存储量为 26M( 1M= 210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？列式为这是一个什么运算？如何计算呢?2、根据除法的意义填空，看下列计算结果有什么规律。(1 ) 55 535()(2) 107 10

21、5 10()从上述运算中我发现:(a 0m、n都是正整数，并且m n)3、先根据除法的意义计算，再利用am an amn计算，你发现了什么规律?33 33()103 103 ()从上述运算中我们发现:mmm m (n m)a a 1,而 a a aa0，所以1,(a0)归纳：同底数幕的除法法则：一般的，我们有:an am n(a 0,m n且m、n都是正整)同底数幂相除，底数，指数根据同底数幕的除法法则，上述思考题的计算结果为四、学以致用1D、计算:(1)(2)6 2(ab) (ab)2D、计算：11(1)、4645(2)、(m n) (n m)3C、计算:n 1(1 )、X/ n、2(x )

22、=(2)、(a b)7 (b a) (a b)4C、填空：若(x 1)01,则x的取值范围是若 32x 31，则 x2 (3) ( 489 3)5B、已知：xm a,xn b,求 x2m3n6D、计算(1) 65 64 ；( x6) ( x)3 ( J ( ；)2； (ab)5 ( ab)333整式除法班级：姓名：一、学习目标1、理解单项式除以单项式的意义和法则，会进行单项式与单项式的除法与运算；2、理解多项式除以单项式的意义和法则，会进行多项式除以单项式的除法运算；3、进一步体会运算中的转化、互逆和整体的思想。二、重点难点重点：运用法则计算单项式除法。难点：法则的探索。三、导学过程2 21、

23、计算：（1） 2xv X y; 2m（a b c）32、一个长方形面积为（am+bm ），宽为m，则长为【课堂探究】（1）、因为 4a2bx3 3ab 12a3b2x3，所以 12a3b2x3 3ab （2 ）、你能利用（1）中的方法计算下列各式吗？8a3 2a6x3y 3xy12a3b2x3 3ab2（3）、观察（2）中几个式子的运算，它们有哪些共同特征？你能用语言描述单项式除以单项式的运 算法则吗?单项式相除，把与 别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的为商的一个因式。(4) 、计算，说说你是怎样算的：(am bm) m (a2 ab) a 2 2(4x y 2xy

24、) 2xy 总结：多项式除以单项式：先把这个多项式的 以这个单项式，再把所得的商 四、学以致用1D、计算(1) 32x4y2 8x3 (2) 4ab3 12a4b 2C、计算(1 )、(21x5y2 28x2y2 7x4y5) ( 7xy)(2)、(0.4x3y2)2 (0.2x2y)23A、已知：3n 11m能被10整除，求证：3n 4 11m 2也能被10整除4D、计算：(1 )、32a68a3(2)、5x3y4z2 20xy5C、计算：32(1 )、(24 x 16x48x) 4x35 4(2)、(严12 2 1 2 孑b)(存b)6B、计算:(1 )、(x y)2 (x y)(x y)

25、 2x(2) 、( 2x)3 (6x312x4) 3x21421乘法公式一平方差公式班级：姓名：一、学习目标1. 经历探索平方差公式的过程.2 .会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力.3 .在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美.二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用.难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。三、导学过程1.计算下列多项式的积.(1) (x+1 ) (x-1 ) = (2) (m+2 ) (m-2 ) =(3) (2x+1 ) (2x-1 ) = (4) (x+5y ) (x-5y ) =2 .提出问题：

26、(1)观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？(2) 猜想：(a b)(a b) 。（3）你能验证你的猜想是正确的么?四、学以致用1D、计算：运用平方差公式计算:（2）（b+2a）（2a-b）（1）（ 5x+3）（ 5x-3）（3）（-x+y）（-x-y）2D、计算:(1) 103 X97(2) (y+2 ) (y-2 ) - (y-1 ) (y+1 )3D、下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？能用的请写出结果(2a3b)(2a 3b)(2a 3b)(2a3b)(2a 3b)( 2a 3b) (2a 3b)(2a 3b) (a b c)(a b c) (a b c)(a

27、b c)4D、计算:（1）（ a+b）（-b+a）；（2）（ -a-b） （ a-b）（3）（3a+2b）（3a-2b）(4) ( a5-b 2)( a5+b 2)5C、计算:(1) (a+2b+2c ) (a+2b-2c )(2) (a-b ) ( a+b ) (a2+b 2)6A、如果(2a 2b 1)(2a 2b 1) 63，求 a b 的值。422乘法公式一完全平方公式班级：姓名：一、学习目标1 完全平方公式的推导及其应用。2. 完全平方公式的几何解释，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.3. 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.4 添括号法则，利用添括号法则灵

28、活应用完全平方公式.二、重点难点重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，理解添括号法则.难点：完全平方公式的灵活应用。三、导学过程1、计算下列各式，你能发现什么规律?(1) (P 1)2 (P 1)(P 1) _； (3) (p-1)2 (p-1)(p-1) (2) (m 2)2 ；(4) (m-2)2 =；【自主梳理】1、完全平方公式(a+b)2二a2+2ab+b2(a-b)2二a2-2ab+b22、用语言表述完全平方公式: 3、你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公式吗?反过来，添括号得：a b c a (4、总结添括号法则：四、学以致用1D、运用完全平方公式计算:(2

29、)(3a2b 4ab2c)2(1) (4x y)22D、运用完全平方公式计算:1 2(4) (x )2x3C、若9x2 kxy + 4y2是一个完全平方式，则k的值是。14B、化简求值：(2a 3b)2 (3b + 2a)2，其中 a = 一，b = 345D、在等号右边的括号内填上适当的项：(1) a+b-c=a+ ()(2) a-b+c=a- ()(3) a-b-c=a- ()(4) a+b+c=a- (6C、计算:(1) (a b 2c)2 2(2) (a b c) (a b c)因式分解(第一课时)班级：姓名：一、学习目标1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法的相互联系；2、会

30、确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式，会利用因式分解进行简便计算3、培养学生运算中运算规律相互转化以及运算处理问题能力二、重点难点重点：用提公因式法分解因式。难点：公因式的确定。三、导学过程1、请同学们完成下列计算，看谁算的又快准。(1) 20 ( 3)2 60 ( 3)(2) 1012 9922 2(3) 572 57 43 43(4) (x 1)(x 1)【课堂探究】1、把下列各式改写成因式乘积的形式(1)x2 x(2) x21 =2、想一想什么叫因式分解3、因式分解与整式乘除有什么区别和联系？探究2 : (1 )、把多项式ma mb me分解因式(说出你的想法)(2 )、什

31、么是多项式各项的公因式？什么叫提公因式法？(3) 、练习：找出下列各组多项式的公因式 4ab2与 12a3be 25(x y)2z2与 15(x+y)z 3(m-n)2与 9( n-m)3四、学以致用1D、下列代数式变形中，哪些是因式分解，哪些不是？为什么？ x23x 1 x(x 3)1 2m(mn)2m22mn (mn)(a b) (m n)(xy) (m n)(abx y) 4x2 4x 1 (2x 1)2 3a2 6a 3a(a 2)2B、求证：32011 4 32010 10 32009 能被 7 整除3C、已知 x y 6, xy=-3 则 x2y xy24D、因式分解：(x y)2

32、 3(x y)5C、简便运算：(1) 2009 20092201025220086 2200720106B、因式分解:(1) (a 1)2 (a2 a)22n 1n 1n(2) 2a 18a 8a因式分解(第二课时)班级：姓名：一、学习目标1、理解应用平方差公式进行因式分解的意义，能正确应用平方差公式进行因式分解2、能正确运用提公因式法和平方差公式进行较复杂的因式分解3、培养学生综合运用知识的能力二、重点难点重点：把符合公式形式的多项式写成平方差的形式，并分解因式。难点：(1 )确定多项式中的a、b;(2)分解彻底；三、导学过程1、计算：(x y)(x y)( b a)( a b)=(x y

33、z)(x y z)=2、 因式分解：27ax3y2 18bcx2 y33(x y)2 27(x y)3、用符号表示整式乘法中的平方差公式:【课堂探究】1、试着将多项式x2 4与多项式y2 25因式分解2、上述两个多项式有什么特点，向同伴交流2 23、把乘法的平方差公式（a b）（a b） a b反过来，你得到了什么?4、分解因式的基本步骤以及注意的事项：四、学以致用1D、分解因式：（2） 4m3n 16n3m（1）a3 ab22D、分解因式:2 2(1) (a b) (a b)2 2 2(2) x (x y) 4(y x)3C、计算：18128122 24、已知 a b 20 , a b 15

34、，则 a b5、分解因式:(1) (a b)3 a b(2) (x 2)(x 4) x2 46、分解因式：2(1) ac bc a ab(2) x3 x2y xy2 y3因式分解（第三课时）班级：姓名：、学习目标1、理解应用完全平方公式进行因式分解的意义，能正确运用完全平方公式进行因式分解：2、能正解运用平方差公式和完全平方公式进行较复杂的因式分解，培养学生综合运用知识的能力 、重点难点重点：把多项式写成符合完全平方公式的形式，并分解因式。难点：(1)辨认多项式中的“ a”与“ b”；(2)分解到底。三、导学过程1、 计算：(2x y) 试着将多项式a2 2ab b2与a2 2ab b2分解因式，这两个多项式有什么特点? 归纳：什么样的式子叫完全平方式，因式分解中的完全平方公式是什么？4、请任意写出两个完全平方式，并因式分解( m n)22、用符号表示整式乘法中完全平方式反过来，你得到