自动控制原理简明教程2(修改)

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 控制系统的控制系统的数学模型数学模型是描述系统内部物理量是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式，它是在系统分（或变量）之间关系的数学表达式，它是在系统分析和设计中首先要做的工作。析和设计中首先要做的工作。 建立控制系统数学模型的方法有两种：建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分机理分析法析法和和实验辨识法实验辨识法。 依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法得到数学模型的方法 。 机理分析法机理分析法 实验辨识法实验辨识法 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适

2、当给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为。 数学模型有多种形式，常用的有：微分方程（连续系数学模型有多种形式，常用的有：微分方程（连续系统）、差分方程（离散系统）及状态方程等。统）、差分方程（离散系统）及状态方程等。 本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图。图。)()(.)()()()(.)()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn线性定

3、常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式 本节着重研究描述线性、定常、集中参数控制系统微分方程的建立和求解方法。)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc dttduCtic)()( )()()()(tutRidttdiLtucr )()()(22tudttduRCdttudLCccc 2 2. 1. . 1. 1 1 线性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程例：例：RLC 串连电路，试列写以串连电路，试列写以ur(t)为输入量，为输入量，uc(t)为输出量为输出量的网络微分方程。的网络微分方程。解：解：电磁力矩：电磁力矩： 安培定律安培

4、定律电枢反电势：电枢反电势： 楞次定律楞次定律电枢回路：电枢回路： 克希霍夫克希霍夫力矩平衡：力矩平衡： 牛顿定律牛顿定律brERiu mebcE icMmm mmmmmmmMfJ 电机时间常数电机时间常数 电机传递系数电机传递系数 )/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKTuKT 消去中间变量消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：可得：例：电枢控制的他励直流电动机如图，试列写其微分方程。例：电枢控制的他励直流电动机如图，试列写其微分方程。解：解：dttdyftF)()(1 )()(2tkytF )()()()(2122tFtFmgtFdttydm

5、)()()()(22tFmgtkydttdyfdttydm例：机械位移系统如图。试列写质量例：机械位移系统如图。试列写质量m在外力在外力F作用下位移作用下位移y(t)的运动方程。的运动方程。F y(t)k fm整理得整理得: :阻尼器的阻尼力：阻尼器的阻尼力： 弹簧弹性力：弹簧弹性力：解：解： 微分方程的列写步骤微分方程的列写步骤 1）全面分析系统的结构组成及工作原理，确定系统的输）全面分析系统的结构组成及工作原理，确定系统的输入、输出变量。入、输出变量。 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；遵循的物理

6、定理写出各微分方程； 3）将所有微分方程联立起来，消去中间变量，求得一个）将所有微分方程联立起来，消去中间变量，求得一个仅含系统的输入、输出变量的微分方程。仅含系统的输入、输出变量的微分方程。 4）整理方程，使得与输入有关的项在方程的右边，与输）整理方程，使得与输入有关的项在方程的右边，与输出有关的项在方程的左边，且各导数项按降幂排列。出有关的项在方程的左边，且各导数项按降幂排列。 l非线性系统：非线性系统：用非线性微分方程描述。用非线性微分方程描述。)(2tFykydtdyf )(tFkydtdyf )()(tFytkdtdyf l 线性线性定常定常系统：系统：用线性微分方程描述，微分方程的

7、系数是常用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。数。 l 线性系统：线性系统：用线性微分方程描述。用线性微分方程描述。l 线性线性时变时变系统：系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。随时间而变化的。2 2. 1. 2 . 1. 2 微分方程的类型微分方程的类型微分方程求解方法微分方程求解方法 2 2. 1. 3 . 1. 3 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 求解方法：经典法、拉氏变换法。求解方法：经典法、拉氏变换法。rccuudtduCR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1 . 0)

8、(sUsUssUrcc 11 . 0)1(1)( ssssUcttceetu 1 . 01)( R1 C1i 1(t)ur(t)uc(t)例：已知例：已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量换，得到变量s的代数方程；的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。达

9、式，即为所求微分方程的解。解：解：拉氏变换法求解步骤：拉氏变换法求解步骤：xdxxdfyxx 0)( 22200)()(!21)()(00 xdxxfdxdxxdfxfyyyxxxxxdx)x(df)x( fyyy0 xx00 小偏差线性化：小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 一、假设一、假设：x,y在平衡点（在平衡点（x0,y0)附近变化，即附近变化，即 x=x0+x, y=y0+y二、近似处理二、近似处理略去高阶无穷小项略去高阶无穷小项 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性

10、，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。的线性化。三、数学方法三、数学方法2 2. 1. 4 . 1. 4 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化)(cos)(0txExy )()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令取一次近似，且令 即有即有 200000)(! 21)()()(xxxyxxxyxyxy解：在工作点解：在工作点(x0, y0)处展开台劳级数处展开台劳级数)(s

11、in000 xxxE 例：例：已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。 传递函数传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典数为基础建立起来的。因此，传递函数是

12、经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。控制理论中最基本也是最重要的数学模型。 2 2. 2. 1 . 2. 1 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为量的拉氏变换之比，称为传递函数传递函数。线性定常系统的微分方程一般可写为线性定常系统的微分方程一般可写为 )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsC

13、SG 11101110)()()()()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 在零初始条件下对上式两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程在零初始条件下对上式两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程传递函数传递函数 1) 传递函数是复变量传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数的有理真分式函数，分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数；，所有系数均为实数； 2) 传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与输入信号无关；传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与输入信号无关； 3) 传递函数与微分方程有

14、相通性，可经简单置换而转换；传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应; 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。性；零初始条件含义要明确。 传递函数的性质传递函数的性质1)原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；2)适合于描述单输入适合于描述单输入/单输出系统；单输出系统；3)只能用于表示线性定常系统。只能用于表示线性定常系统。传递函数的局限性传递函数的局限

15、性传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式： njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()()()()()( n1jjm1ii)sT1(s)s1(K)s (G K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。0 j S平面平面零、极点分布图零、极点分布图 传递函数分子多项式的根传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项称为传递函数的零点；分母多项式的根式的根pj称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。称为传递

16、系数或根轨迹增益。2 2. 2. 2 . 2. 2 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点例：具有相同极点不同零点的两个系统例：具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为 极点极点决定系统响应形式（模态），决定系统响应形式（模态），零点零点影响各模态在响应影响各模态在响应中所占比重。中所占比重。 )2)(1(24)(1 ssssG)2)(1(25 . 1)(2 ssssGtteessssLtc211321)2)(1(24)( tteessssLtc2125 . 05 . 01)2)(1(25 . 1)( 2 2. 2. 3. 2

17、. 3 传递函数的零点和极点对输出的影响传递函数的零点和极点对输出的影响 2 2. 2. 4. 2. 4 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干典在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干典型环节；或是在系统设计中，在系统某处增加若干环节。型环节；或是在系统设计中，在系统某处增加若干环节。n环节：由一个或几个元件组成，表示系统的或系统中环节：由一个或几个元件组成，表示系统的或系统中局部的动态性能；局部的动态性能；n不同的元部件可以有相同的传递函数；不同的元部件可以有相同的传递函数；n若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传若输入输出变量选

18、择不同，同一部件可以有不同的传递函数递函数 ；n任一传递函数都可看作典型环节的组合。任一传递函数都可看作典型环节的组合。 输出量以一定比例不失真也无时间滞后地复现输入信号。输出量以一定比例不失真也无时间滞后地复现输入信号。 传递函数为传递函数为( )( )c tKr t( )( )( )C sG sKR s1. 比例环节（放大环节）比例环节（放大环节） 比例环节 比例放大器 惯性环节中因含有储能元件，故突变的输入信号不惯性环节中因含有储能元件，故突变的输入信号不能立即复现。其运动方程为能立即复现。其运动方程为 传递函数为传递函数为d ( )( )( )dc tTc tr tt( )1( )(

19、)1C sG sR sTs2. 惯性环节惯性环节 惯性环节由运算放大器构成的惯性环节积分环节积分电路3. 积分环节积分环节 输出量正比于输入量的积分，其动态特性方程为输出量正比于输入量的积分，其动态特性方程为 传递函数为传递函数为0i1( )( )dtc trTii( )1( )( )KC sG sR sTss 微分环节 RC电路4. 微分环节微分环节 理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例，即理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例，即 传递函数为传递函数为dd ( )( )dr tc tTtd( )( )( )C sG sT sR s1)( ssG 一阶微分环节一阶微分环节 输出在经

20、过一段时间的输出在经过一段时间的延时后才复现输入信号，即延时后才复现输入信号，即 传递函数为传递函数为 ( )()c tr t( )( )e( )sC sG sR s5. 延时环节（时滞环节、延迟环节）延时环节（时滞环节、延迟环节） 延时环节有一对共轭复极点有一对共轭复极点其传递函数为其传递函数为 或或21,2nnj1p 22nn2212nn( )( )( )()()2C sG sR sspspss221( )21G sT sT s6. 振荡环节振荡环节振荡环节 控制系统的动态结构图（方框图）控制系统的动态结构图（方框图）z 是控制系统数学模型的图解形式；是控制系统数学模型的图解形式；z 可以

21、形象地描述自动控制系统中各单元之间和各可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系；作用量之间的相互联系；z 具有简明直观、运算方便的优点；具有简明直观、运算方便的优点；z 方框图在自动控制系统的分析中获得了广泛应用。方框图在自动控制系统的分析中获得了广泛应用。1. 1. 信号线信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。数或象函数。2. 2. 引出点（分支点）引出点（分支点）/ /测量点测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，表示信号引出或测量的位

22、置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。其性质、大小完全一样。2 2. 3. 1. 3. 1 结构图的组成和绘制结构图的组成和绘制l结构图是系统中各环节函数功能和信号流向的图形表示结构图是系统中各环节函数功能和信号流向的图形表示l结构图由信号线、结构图由信号线、 引出点、比较点和方框组成引出点、比较点和方框组成表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。箭头指向方框的信号线表示该方框的输入信号，传递函数。箭头指向方框的信号线表示该方框的输入信号，箭头离开方框的信号线表示该方框的输出信号。箭头离开方框的信号线表

23、示该方框的输出信号。表示对两个以上的信号进行加减运算。表示对两个以上的信号进行加减运算。“+”+”表示相加，表示相加，“-”-”表示相减。表示相减。 l根据信号传递过程，将系统划分为若干个环节根据信号传递过程，将系统划分为若干个环节或部件；或部件；l确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数；传递函数； l绘出各环节的动态结构图；绘出各环节的动态结构图； l将各环节相同的量依次连接，得到系统结构图。将各环节相同的量依次连接，得到系统结构图。 结构图的绘制步骤结构图的绘制步骤例例: 试绘制图所示试绘制图所示RC电路的动态结构图。电路的动态结构图。ui

24、i1R1R2C1i2C2uou1解解: (1) 根据信号传递过程，将系统划分为四个部件根据信号传递过程，将系统划分为四个部件 R1、 C1、 R2、 C2 (2) 确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数 R1： 输入量为输入量为ui-u1 ，输出量为，输出量为 i1RsUsUsIi1)()()(11111( )( )( )iU sUsI sR 传递函数为：传递函数为：C1：输入量为i1-i2，输出量为u1； 传递函数为sCsIsIsU12111)()()(R2： 输入量为u1-uo， 输出量为i2； 传递函数为 2121)()()(Rs

25、UsUsIoC2： 输入量为i2， 输出量为uo； 传递函数为 sCsIsUo221)()(uii1R1R2C1i2C2uou1R1Ui(s)I1(s)U1(s)(a)sC11I1(s)U1(s)I2(s)(b)21RU1(s)Uo(s)(c)sC21I2(s)Uo(s)(d)I2(s)(3) 绘出各环节的动态结构图绘出各环节的动态结构图11RUiI1sC1121RsC21UoU1I2 (4) 将各环节相同的量依次连接，将各环节相同的量依次连接， 得到系统结构图得到系统结构图R1Ui(s)I1(s)U1(s)(a)sC11I1(s)U1(s)I2(s)(b)21RU1(s)Uo(s)(c)sC

26、21I2(s)Uo(s)(d)I2(s)R1Ui(s)I1(s)U1(s)(a)sC11I1(s)U1(s)I2(s)(b)21RU1(s)Uo(s)(c)sC21I2(s)Uo(s)(d)I2(s)R1Ui(s)I1(s)U1(s)(a)sC11I1(s)U1(s)I2(s)(b)21RU1(s)Uo(s)(c)sC21I2(s)Uo(s)(d)I2(s)RsUsUsIi1)()()(11sCsIsIsU12111)()()(2121)()()(RsUsUsIosCsIsUo221)()( 结构图的基本连接方式有三种：结构图的基本连接方式有三种：串联、并联、反馈串联、并联、反馈 复杂系统的结

27、构图由这三种基本的连接方式组合而成的复杂系统的结构图由这三种基本的连接方式组合而成的1. 串联串联方框的简化（等效）方框的简化（等效） 串联连接串联连接: n个环节首尾相连，前一个环节的输出作为后一个环节首尾相连，前一个环节的输出作为后一个环节的输入。个环节的输入。 n个环节串联后的个环节串联后的总传递函数等于各环节的传递函数的乘积总传递函数等于各环节的传递函数的乘积 )()()()()(121sGsGsGsGsGinin2 2. 3. 2 . 3. 2 结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化 ) s (V) s (G) s (C2 ) s (R) s (G) s (V1 ) s (R)

28、 s (G) s (G) s (C12 C(s)G2(s)G1(s)V(s)R(s) (a)C(s) G2(s)G1(s)R(s)(b) s (C) s (C) s (C) s (C321 ) s (R)s (G) s (G) s (G321 (a) 变换前变换前 R(s) C1(s)C3(s) C2(s) (- -) G1(s) G2(s) G3(s) C(s) G1(s)+G2(s)- -G3(s)(b) 变换后变换后 R(s) C(s)1( )( )niiG sG s n个环节并联后的总传递函数等于各环节的传递函数之代数和：个环节并联后的总传递函数等于各环节的传递函数之代数和： 并联连接

29、：并联连接：n个环节的输入相同，而总输出为各环节输个环节的输入相同，而总输出为各环节输出的代数和。出的代数和。 2. 并联方框的简化（等效）并联方框的简化（等效） 将系统的输出信号将系统的输出信号C(s)在经过某个环节在经过某个环节H(s)后，后， 反向反向送回到输入端。送回到输入端。 图示为反馈连接方式的一般形式图示为反馈连接方式的一般形式3. 反馈连接方框的简化（等效）反馈连接方框的简化（等效）R(s)C(s)E(s)G(s)H(s) ) s (R) s (H) s (G1) s (G) s (C C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s) H(s) C(s) C(s)=G(s)R(s

30、) H(s)C(s) 632236G)GG(G 4554GGG 154236236GGG1GG G4(s)(- -)G2(s)G6(s)(- -)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)例：例： 等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。)()()(1)(sRsGsGsR G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)C(s)C(s)R(s) G(s)R(s)C(s)R(s)(1sG G(s)C(s)R(s)R(s)l 引出点前移引出点前移 C(s)=G(s)R(s)l 引出点后移引出点后移4. 引出点和比较点的移动引出点和比较点的移动（1

31、） 引出点移动引出点移动 相加点前移相加点前移)()(1)()(sBsGsRsG G(s)(- -)B(s)C(s)R(s)(1sGG(s)B(s)C(s)R(s)(- -)C(s)R(s)G(s)(- -)B(s)C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(- -)R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(- -)V2(s)V1(s)(- -)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(- -)或或l 交换或合并相加点交换或合并相加点C(s)=G(s)R(s)-B(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)C(s)=E1(s)+V2(s)

32、= R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s)（2） 相加点移动相加点移动l 相加点后移相加点后移 结构图简化的关键是解除环路与环路的交叉，应设法使结构图简化的关键是解除环路与环路的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式。对于多回路的结构它们分开，或形成大环套小环的形式。对于多回路的结构图，先求内回路的等效变换方框图，再求外回路的等效变图，先求内回路的等效变换方框图，再求外回路的等效变换方框图。换方框图。 解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。a) 一般，结构图上相邻的分支点可以彼此交换；一般，结构图上相邻的

33、分支点可以彼此交换；b) 相邻的相加点也可以彼此交换。相邻的相加点也可以彼此交换。注意：分支点和相加点注意：分支点和相加点相邻，相邻，不可不可互换位置互换位置- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo例：试简化如图所示的系统方框图，并求系统传递函数例：试简化如图所示的系统方框图，并求系统传递函数 。 。)()(sRsC- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo sG41- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo sG41- sG1 sG5 sG2 sG7 sXi sXo sGsGsGsGsG6434

34、31- sG1 sG7 sXi sXo sGsGsGsGsGsGsGsGsG6435324321 sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsG7432164353243211 sXi sXo- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo sXi- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXo sG21- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo sG2 信号流图是信号流图是表示控制系统各变量间相互关系及表示控制系统各变量间相互关系

35、及信号流程的另一种图示方法信号流程的另一种图示方法，它比动态结构图更简，它比动态结构图更简洁。洁。 信号流图方法是信号流图方法是S.J.S.J.梅森梅森(Mason)1953(Mason)1953年首先年首先提出的，故又称梅森图。提出的，故又称梅森图。 利用梅逊公式可以避免复杂的动态结构图的等利用梅逊公式可以避免复杂的动态结构图的等效变换，直接写出信号流图或动态结构图所描述的效变换，直接写出信号流图或动态结构图所描述的控制系统的传递函数。控制系统的传递函数。 信号流图的信号流图的1) 1) 节点节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号

36、的代数和，用信号的代数和，用“O”表示；表示；2) 2) 信号信号在支路上沿箭头单向传递；在支路上沿箭头单向传递；3) 3) 支路支路是连接是连接两个节点的线段，两个节点的线段，相当于乘法器，信号流经支相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路路时，被乘以支路增益增益而变成另一信号；而变成另一信号； 4) 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。对一个给定系统，信号流图不是唯一的。1+R1C1s x2x5x4 x6 -1 x3 x7I(s) R2 1/R1 x1 信号流图信号流图是由是由节点节点和和支路支路组成的一种信号传递网络。组成的一种信号传递网络。2 2. 4. 1 . 4. 1 信号流

37、图的组成和性信号流图的组成和性质质 l 源节点源节点（输入节点）：在源（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。代表系统的输入变量。 1+R1C1s x2x5x4 x6 -1 x3 x7I(s) R2 1/R1 x1 阱节点阱节点（输出节点输出节点）：）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。l 混合节点混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号：在混合节点上，既有信号

38、输出的支路而又有信号输入的支路。输入的支路。l 前向通路前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称称前向通路总增益前向通路总增益，一般用，一般用PkPk表示。表示。 回路回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益回路增益，一般用一般用LaLa表示。表示。不接触回路不接触回路

39、：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。q 信号流图中常用的名词术语信号流图中常用的名词术语 输入节点（源点）输出节点（阱点）混合节点 1. 由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 1）将微分方程通过拉氏变换，得到）将微分方程通过拉氏变换，得到s的代数方程；的代数方程； 2）每个变量指定一个节点；）每个变量指定一个节点； 3）将方程按照变量的因果关系排列；）将方程按照变量的因果关系排列； 4）连接各节点，并标明支路增益。）连接各节点，并标明支路增益。2 2. 4. 2 . 4. 2 信号流图的绘制信号流图的绘制 上式拉氏变换上式

40、拉氏变换 C1 ui R1 R2 uo i1i) t (u) t (uR) t (iio11 2oR) t ( i) t (u dt)ii (C1R) t (i111 ) s (U) s (UR) s (Iio11 2oR) s ( I) s (U s)0(u)s () s (sC1R) s (c1111 ) s (U) s ( I) s (I) s (U) s (U) s (Uo1oii 信号传递流程：信号传递流程：)0()()1 ()()0()()(111111111ccuCssCRsuCsCRssUi(s)Ui(s)- -Uo(s)Uo(s)Uo(s) uC(0)-1I1(s)I(s)R

41、21+R1C1s1/R1-C1例：例： 1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点；用小圆圈标出传递的信号，得到节点； 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 注意注意：信号流图的节点只表示变量的相加。：信号流图的节点只表示变量的相加。 G(s) C(s) R(s)G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (- -)(a) 结构图结构图(节点节点)C(s)R(s) G(s)(节点节点) (支路支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s) G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信号流

42、图信号流图2. 由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图 例：试绘制图示结构图对应的信号流图。例：试绘制图示结构图对应的信号流图。 11RUiI1sC1121RsC21I2UoE1U1E3E2解：解：在动态结构图中的信号线上流动的信号对应于信号流在动态结构图中的信号线上流动的信号对应于信号流图中的节点。图中的节点。 图中有图中有8个不同的信号：个不同的信号： Ui、 E1、 I1、 E2、 U1、 E3、 I2、 Uo。(1) 按从左到右的顺序，按从左到右的顺序， 画出上面的画出上面的8个信号对应的节点。个信号对应的节点。 (2) 按结构图中信号的传递关系用支路将这些节点连接起来，按结

43、构图中信号的传递关系用支路将这些节点连接起来， 并并标出支路的信号传递方向。标出支路的信号传递方向。 (3) 将结构图中的传递函数标在对应的信号流图中的支路旁。将结构图中的传递函数标在对应的信号流图中的支路旁。 如如果动态结构图的输出信号为负，果动态结构图的输出信号为负， 则信号流图中对应的增益也则信号流图中对应的增益也应该加一个负号。应该加一个负号。 11RUiI1sC1121RsC21I2UoE1U1E3E2UiE21RI1 1E2sC11U1 1E3 1sC2121RI2UoE1用梅森公式可以由信号流图直接得到系统的传递函数。用梅森公式可以由信号流图直接得到系统的传递函数。 梅森公式为：

44、梅森公式为：kknkPsRsCsG11)()()(Pk从输入节点到输出节点的第从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益条前向通路总增益 。称为系统特征式称为系统特征式=1- La+ LbLc-LdLeLf+La所有单独所有单独之和之和LbLc所有两两互不接触回路增益乘积之和所有两两互不接触回路增益乘积之和LdLeLf所有三个互不接触回路增益乘积之和所有三个互不接触回路增益乘积之和k称为第称为第 k 条前向通路的余子式，即对于特征式条前向通路的余子式，即对于特征式，将与第，将与第 k条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为k 。其中其

45、中:2 2. 4. 3 . 4. 3 梅森梅森(S.J.Mason)(S.J.Mason)公式公式 n从输入节点到输出节点之前向通路总数。从输入节点到输出节点之前向通路总数。 前向通路有两条：前向通路有两条： ，没有与之不接触的回路：，没有与之不接触的回路： ，与所有回路不接触：，与所有回路不接触： 解：解：三个回路：三个回路： R G1 G2 G3 H2 -H2 -H1 C G4221HGL 2212HGGL 1323HGGL 22113222aHGGHGGHG1L1 3211GGGP 42GP 11 2422113222321n1kkkGHGGHGGHG1GGGP1) s (G 例：已知系

46、统信号流图，求传递函数。例：已知系统信号流图，求传递函数。 回路相互均接触，则：回路相互均接触，则：fbcgegdLa degcbLL1,1,. 1212141 dabcfpaefpXXdeg1)1()(1221114 bcgegdabcfdaefppXXdapXX 1,. 21121deg1)1(11112 bcgegddapXX例：已知系统信号流图，求传递函数例：已知系统信号流图，求传递函数 X4/X1X4/X1及及 X2/X1X2/X1。deg1 bcgegd则则解：三个回路解：三个回路有两个互不接触回路有两个互不接触回路 1. 输入信号作用下的闭环输入信号作用下的闭环传递函数传递函数

47、(N(s)=0) ) s (H) s (G) s (G1) s (G) s (G) s (R) s (C) s (2121 ) s (H) s (G) s (G1) s (G) s (N) s (C) s (212n ) s (N) s () s (R) s () s (Cn ) s (N) s (H) s (G) s (G1) s (G) s (R) s (H) s (G) s (G1) s (G) s (G2122121 0) s (N,) s (H) s (G) s (G11) s (R) s (E) s (21e 0) s (R,) s (H) s (G) s (G1) s (H) s

48、 (G) s (N) s (E) s (212en ) s (N) s () s (R) s () s (Eene R(s)E(s)N(s)C(s)H(s)G2(s)G1(s)B(s)(- -) 2. 扰动作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数 (R(s)=0) 3. 输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出 4. 闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 定义误差定义误差 E(s)=R(s)-B(s) 2 2. 4. 4 . 4. 4 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数2.5用用MATLAB求解线性微分方程和化简系统方框图求解线性微分方程和

49、化简系统方框图1、传递函数（1）多项表达式：P(s)=s3 +2s+4 调用格式：P=1 0 2 455（2）多项式乘法处理函数： A（s）=s+3，B（s）=10s2 +20s+3，求C（s）=A(s)B(s)（实例L0201） 调用格式： C=conv(A,B) 即得出的C(s)多项式为：C(s)=A(s)B(s)=(s+3)(10s2 +20s+3)=10s3 +50s2 +63s+9562.5用用MATLAB求解线性微分方程和化简系统方框图求解线性微分方程和化简系统方框图Conv()函数的多级嵌套W(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可以用下列语句来输入W=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4)运行结果：