工业机器人运动学-1数学基础ppt课件

1、第三章第三章 工业机器人运动学工业机器人运动学引言引言 要实现对工业机器人在空间运动轨迹的控制，要实现对工业机器人在空间运动轨迹的控制，完成预定的作业义务，就必需知道机器人在空间完成预定的作业义务，就必需知道机器人在空间瞬时的位置与姿态。如何计算机器人手部在空间瞬时的位置与姿态。如何计算机器人手部在空间的位姿是实现对机器人的控制首先要处理的问题。的位姿是实现对机器人的控制首先要处理的问题。本章讨论机器人运动学的根本问题，将引入齐次本章讨论机器人运动学的根本问题，将引入齐次坐标变换。推导出坐标变换方程；利用坐标变换。推导出坐标变换方程；利用DHDH参数法，参数法，进展机器人的位姿分析；引见机器人

2、正向和逆运进展机器人的位姿分析；引见机器人正向和逆运动学的根底知识。动学的根底知识。主要内容主要内容 u 数学根底数学根底齐次坐标变换齐次坐标变换u 机器人运动学方程的建立正运动学机器人运动学方程的建立正运动学u 机器人逆运动学分析机器人逆运动学分析一、机器人数学根底一、机器人数学根底齐次坐标变换齐次坐标变换1.1 1.1 引言引言 1.2 1.2 点向量和平面的描画点向量和平面的描画1.3 1.3 变换变换 1.4 1.4 平移变换平移变换1.5 1.5 旋转变换旋转变换 1.6 1.6 坐标系坐标系1.7 1.7 相对变换相对变换 1.8 1.8 物体的描画物体的描画1.9 1.9 逆变换

3、逆变换 1.10 1.10 普通性旋转变换普通性旋转变换1.11 1.11 等价旋转角与旋转轴等价旋转角与旋转轴 1.12 1.12 扩展与减少扩展与减少1.13 1.13 透视变换透视变换 1.14 1.14 变换方程变换方程1.15 1.15 小结小结1.1 1.1 引言引言 (Introduction) (Introduction) 机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的关系。这一章将给出描画这些关系必需的表达方法。类似这种表示方法在计算机图形学中曾经处理。在计算机图形学和计算机视觉中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描画的。在本课程我们将采用齐次坐标变换来描画机械手各关

4、节坐标之间、各物体之间以及各物体与机械手之间的关系。 本章首先引见向量和平面的表示方法，然后引出向量和平面的坐标变换，这些变换根本上是由平移和旋转组成，因此可以用坐标系来描画各种物体和机械手的空间位置和姿态。稍后还要引见逆变换，逆变换是运动学求解的根底。a0vzyxzyxpcb0uEH图1.1 点向量的描画1.2 1.2 点向量和平面的描画点向量和平面的描画Notation of point vectors and Notation of point vectors and planesplanes 1.2.1 1.2.1 点向量点向量Point vectorsPoint vectors 点向

5、量描画空间的一个点在某个坐标系的空间位点向量描画空间的一个点在某个坐标系的空间位置。同一个点在不同坐标系的描画及位置向量的值也不同。如置。同一个点在不同坐标系的描画及位置向量的值也不同。如图图1.11.1中，点中，点p p在在E E坐标系上表示为坐标系上表示为 Ev Ev，在，在H H坐标系上表示为坐标系上表示为 HuHu，且，且v uv u。一个点向量可表示为。一个点向量可表示为 v = ai + bj + ck v = ai + bj + ck 通常用一个通常用一个n + 1n + 1维列矩阵表示，即除维列矩阵表示，即除 x x、y y、z z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子三个方向

6、上的分量外，再加一个比例因子 w w ，即，即 v = x y z w T v = x y z w T 其中其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w a = x/w, b = y/w, c = z/w。 改动比例因子 w，那么分量 a、b、c 的数值相应改动，但描画的还是同一个点向量。如 v = 3i + 4j + 5k 可表示为 v = 3 4 5 1 T = 6 8 10 2 T = -3 -4 -5 -1T 在向量中添加一个比例因子 w 是为了方便坐标变换中的矩阵运算。 知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k

7、 1.1 向量的点积是标量。用“ 来定义向量点积，即 a b = ax bx + ay by + az bz 1.2 向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“表示叉积，即 a b = ( ay bz az by ) i + ( az bx ax bz ) j + ( ax by ay by ) k 1.3 可用行列式表示为 i j k a b = ax ay az 1.4 bx by bz1.2.2 1.2.2 平面平面PlanesPlanes 平面可用一个行矩阵表示，即 p = a b c d 1.5它表示了平面p的法线方向，且距坐标原点的间隔为d / m，其中 m =

8、1.6 如图1.2所示，假设将 xy 平面沿z 轴正方向平移一个单位间隔，构成平面 p，那么 p = 0 0 1 -1即 a = 0, b = 0, c = 1, d = -1, m = = 1 平面p上任一点v为 v = x y 1 1 T，它与平面p的点乘为零，即 p v = 0 平面p上方任一点v，如 v = 0 0 2 1 T，它与平面p的点乘为一个正数，即 p v = 1 平面p下方任一点v，如 v = 0 0 0 1 T，它与平面p的点乘为一个负数，即 p v = -1留意：平面 0 0 0 0 无定义。a2 + b2 + c2a2 + b2 + c2 图1.2 平面的描画0vpz

9、yx1yx H空间的变换是由44矩阵来完成的，它可以表示平移、旋转、扩展和透视等各种变换。如知点u在平面p上,它的变换v在平面q上用矩阵积表示为 v = H u 1.7 其中H为44 变换矩阵，u和v为41的点列向量，相应的平面p到q的变换是 q = p H-1 1.8 其中H-1为H的逆阵，p和q为14 的平面行向量。 经变换后的平面向量q与点向量v的点乘为 q v = p H - 1 H u p u 1.9 与变换前平面p与点u的点乘相等，证明了变换的等效性。1.3 1.3 变换变换(Transformation)(Transformation)1.4 1.4 平移变换平移变换Transl

10、ation transformationTranslation transformation 用向量 h a i + b j + c k 进展平移，其相应的H变换矩阵是 1 0 0 a 0 1 0 b H = Trans ( a b c ) = 0 0 1 c (1.10) 0 0 0 1 因此对向量 u = x y z w T，经H变换为向量v可表示为 x + aw x / w + a y + bw y / w + b v = z + cw = z / w + c (1.11) w 1 可见，平移实践上是对知向量 u = x y z w T 与平移向量 h = a b c 1 T 相加。【例

11、1.1】对点向量 u = 2 3 2 1 T 进展平移，平移向量为 h = 4 -3 7 1 T，那么平移后的向量为 v = 6 0 9 1 T，或 1 0 0 4 2 6 0 1 0 3 3 0 v = H u = 0 0 1 7 2 = 9 0 0 0 1 1 1 点向量的平移过程如图1.3所示。 对平面的平移那么用 H1 进展变换，如对平面 p = 1 0 0 -2 进展 H 变换为平面q，那么根据变 换原理有 1 0 0 -4 0 1 0 3 q p H1 1 0 0 -2 0 0 1 -7 0 0 0 1 1 0 0 -6 平面 p 1 0 0 -2 是 yz 平面沿 x 正方向挪动

12、2个单位构成的平面图1.3，点u = 2 3 2 1 T 是平面 p上的一个点，它们的点乘 p u = 0。经 H 变换后的平面 q 1 0 0 -6 是 yz 平面沿 x 正方向挪动6个单位构成的平面，点v = 6 0 9 1T 是平面 q上一个点，平面 q 与点 v 的点乘也应是零，即 q v 0，阐明变换前后的结果不变，证明 H 变换是正确的。 u0zyx3P22图1.3 点向量的平移v69qp1.5 1.5 旋转变换旋转变换Rotation transformationRotation transformation 如图1.4所示，绕 x, y, z 轴旋转一个角的相应变换是 1 0

13、0 0 0 c o s - sin 0Rot ( x, ) = 0 sin cos 0 1.12 0 0 0 1 cos 0 sin 0 0 1 0 0Rot ( y, ) = - sin 0 cos 0 (1.13) 0 0 0 1 cos - sin 0 0 sin cos 0 0Rot ( z, ) = 0 0 1 0 (1.14) 0 0 0 1留意：角旋转的正方向遵照右手螺旋法那么如图1.4所示图1.4 旋转变换0zyx【例1.2】点 u = 7i + 3j + 2k，它绕z轴旋转90为v， 经式1.14变换得到 sin=1，cos=0 0 -1 0 0 7 -3 1 0 0 0 3

14、 7 v = Rot ( z, 90) = 0 0 1 0 2 2 0 0 0 1 1 1 起始点u和终点v如图1.5所示。如将v点再绕y轴旋转90得到w。用式1.13变换得到 0 0 1 0 -3 2 0 1 0 0 7 7w = Rot ( y, 90) = -1 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1 1 结果如图1.6所示。假设将上述两次旋转结合起来，写成一个表达式得到 w = Rot ( y, 90) v Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) u 用两个变换矩阵 Rot ( y, 90) 、 Rot ( z, 90) 和起始点u代入上式计算的结果与前面分两次计算的结果一

15、样。2uzyxv0图1.5 Rot ( z, 90) yuv0zxw图1.6 Rot ( y, 90) Rot ( z, 90)27为此，先将点u绕z轴旋转90，然后再绕y轴旋转90，我们得到 0 0 1 0 0 -1 0 0 7 2 0 1 0 0 1 0 0 0 3 7w Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) u = -1 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1假设按着逆序旋转，首先绕y轴旋转90，然后再绕z轴旋转90，其结果为 0 -1 0 0 0 0 1 0 7 -3 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2w = Rot ( z, 90

16、) Rot ( y, 90) u = 0 1 0 0 -1 0 0 0 2 = -7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 逆序旋转的结果如图1.7所示。显然，变换的顺序不同，其结果也不同 。这从矩阵相乘是不可交换的ABBA也可以得到证明。 如对经过两次旋转变换得到的点向量w再进展一次平移平移向量为 h 4 -3 7 1T ，那么可得到如图1.8所示的点向量n。变换过程如下 1 0 0 4 2 6 0 1 0 -3 7 4 n = Trans (4, 3, 7) w = 0 0 1 7 3 = 10 0 0 0 1 1 1 zuv0yxw 图1.8 Trans(4, -3, 7)Rot(y,

17、 90) Rot(z, 90)n72w0zyxu图1.7 Rot ( z, 90) Rot ( y, 90)2-7v1.6 1.6 坐标系坐标系 (Coordinate frames) (Coordinate frames) 齐次变换矩阵H由四个列向量组成，它的前三个列向量称为方向向量，由式1.12到式1.14的旋转变换分别绕 x、y、z 轴旋转角确定，第四个列向量称为平移向量，它的平移分量沿 x、y、z 轴的平移 量 由 式 1 . 1 0 第 四 列 的 前三个元素确定。如 0 0 1 4 1 0 0 -3 HTrans ( 4, -3, 7 ) Rot ( y, 90) Rot ( z,

18、 90) = 0 1 0 7 1 . 1 5 0 0 0 1 坐标系的原点，即零向量 0 0 0 1 T 的 H 变换是 4 -3 7 1 T，相当于将原点按平移向量的各个分量进展平移的结果 如图 1.9 所示。假设对 x、y、z 轴的单位向量进展 H变换，分别得到 4 -2 7 1 T 、 4 -3 8 1 T 和 5 -3 7 1 T。这四个向量在图1.9中标出，并构成了一个新坐标系。0zyxzyx0Trans ( 4, -3, 7 )Rot ( z, 90)Rot ( y, 90)图1.9 坐标原点与单位向量的H 变换 这个新坐标系的 x、y、z 轴的方向分别是 0，1，0，0 T、 0

19、，0，1，0 T 和 1，0，0，0 T，它是由单位向量的H变换减去这个坐标原点的向量得到的。这些方向向量相应于变换矩阵的前三列见式1.15。可见，H变换矩阵描画了一个坐标系绕原参考坐标系旋转和对参考坐标系平移的三个轴的方向和原点的位置见图1.9。如图1.10所示，当对一个向量 n 进展式1.15给出的 H 变换时，原向量 n 可以被以为是在新坐标系描画的那个向量 u ，即被变换了的向量 u 就是相对于参考坐标系描画的同一个向量 n 。00zzyyxxu ( 7, 3, 2, 1 )n ( 6, 4, 10, 1 )图1.10 向量的 H 变换1.7 1.7 相对变换相对变换Relative

20、transformationRelative transformation 我 们 刚 刚 描 画 的 旋 转 和 平 移 都 是 相 对 于 一 个 固 定 的 坐 标 系 而 进 展 的 。 这 样 ， 在已给的例子里 0 0 1 4 1 0 0 -3 T r a n s ( 4 , - 3 , 7 ) R o t ( y , 9 0 ) R o t ( z , 9 0 ) = 0 1 0 7 1 . 1 6 0 0 0 1 坐 标 系 首 先 绕 参 考 坐 标 系 z 轴 旋 转 9 0 ， 然 后 绕 y 轴 旋 转 9 0 ， 最 后 平 移 4 i 3 j + 7 k ，如 图

21、2 . 9 所 示 。 假 设 以 相 反 次 序 从 左 到 右 来 进 展 这 些 操 作 ： 首 先 对 坐 标 平 移 4 i 3 j + 7 k ， 然后 将 它 绕 当 前 坐 标 系 的 y 轴 旋 转 9 0 ， 此 时 当 前 坐 标 系 的 y 轴 与 参 考 坐 标 系 的 y 轴 是 一 样的 。 然 后 再 绕 着 新 坐 标 系 当 前 的 坐 标 系 的 z 轴 旋 转 9 0 ， 所 得 结 果 与 前 面 的 方 法 一 样见图1.11。 00zzzzyyyyxxxxRot ( y, 90)Rot ( z, 90)Trans ( 4, -3, 7 )坐标原点图

22、1.11 相对变换 普通的情况下，假设我们用一个旋转和/或平移变换矩阵右乘一个坐标系的变换，那么产生的平移和/或旋转是相对于前一个变换的坐标系当前坐标系的轴来说的。假设我们用一个描画平移和/或旋转的变换矩阵左乘一个坐标系的变换，那么产生的平移和/或旋转是相对于基坐标系来说的。【例1.3】给一个坐标系C和一个变换T，T为绕 z 轴旋转90，并在 x 轴方向上平移10个单位，当变换是相对于基坐标系产生时，我们用 T 左乘 C 得到新的位置 x 为 0 -1 0 10 1 0 0 20 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 -1 10 1 0 0 20 x = T C = 0 0 1 0 0 1

23、0 0 0 1 0 0 1.17 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 当变换是相对于当前坐标系 C 轴产生时，我们用 T 右乘 C 得到新的位置 y 为 1 0 0 20 0 -1 0 10 0 -1 0 30 0 0 -1 10 1 0 0 0 0 0 -1 10 y = C T = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1.18 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 结果如图1.12所示。 YXTrans (10, 0, 0 )Rot ( z, 90)0zyxxxxxyyyyzzzzRot ( z, 90)Trans (10, 0, 0 )图1.12 相对于

24、基坐标系和当前坐标系的变换1.8 1.8 物体的描画物体的描画Object representationObject representation 变换可用来描画物体的位置与方向方位。如图1.13所示的楔形物体用六个角点来描画，这六个角点是相对于物体所在的参考坐标系的。假设把物体绕 z 轴旋转 90，然后绕 y 轴旋转 90，接着沿 x 方向平移4个单位，我们可以描画这个变换为 0 0 1 4 1 0 0 0 Trans ( 4, 0, 0 ) Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) = 0 1 0 0 0 0 0 1 这个变换表示了对参考坐标系的旋转和平移操作，变换后物体的六个角

25、点为 4 4 6 6 4 4 0 0 1 4 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 4 4 = 0 1 0 0 0 0 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 变换后该物体在坐标上的方位如图1.13所示。 从图1.13可以看出，由于楔形物体的角点与它所在的坐标系有固定的关系，因此没有必要对一切的角点进展变换，只需对物体所在的坐标系进展变换，就可得到变换后的各个角点在基坐标中的位置，将这些角点用直线衔接起来就可得到楔形物体的边缘，它与逐点变换的结果完全一样见图1.14。( -1,

26、 0, 0 )( -1, 0, 2 )( 1, 0, 2 )( 1, 4, 0 )( -1, 4, 0 )( 1, 0, 0 )zyx0图1.13 楔形物体图1.14 被变换的楔形物体( 4, 1, 0 )( 4, -1, 4 )( 4, 1, 4 )( 6, 1, 0 )( 6, -1, 0 )( 4, -1, 0 )yx0yxzz1.9 1.9 逆变换逆变换Inverse transformation)Inverse transformation) 所谓逆变换就是将被变换的坐标系前往到原来的坐标系，在数学上就是求变换矩阵的逆。 下面我们写出变换矩阵的普通表达方式 nx ox ax px n

27、y oy ay py T = nz oz az pz 1.19 0 0 0 1 式中 n, o, a 是旋转变换列向量，p 是平移向量，其逆是 nx ny nz - p.n ox oy oz - p.o T-1 = ax ay az - p.a 1.20 0 0 0 1 式中的 “ . 表示向量的点积。这个结果很容易用式1.19右乘式1.20是单位矩阵来证明。1.10 1.10 普通性旋转变换普通性旋转变换General rotation transformationGeneral rotation transformation 前面我们引见的旋转变换都是绕 x，y，z 轴旋转的旋转变换，这些

28、变换都有一个简单的几何解释。例如：在绕 z 轴旋转的情况下，表示 z 轴坚持恒定，x 轴和 y 轴将如图1.15所示那样变化。 图1.15 绕 z 轴的旋转z0zyyxxCos Sin Sin Cos 如图1.16所示，给出一个变换矩阵 C，它绕恣意向量 k 旋转，我们把 k当作 C坐标系的 z 轴单位向量。 nx ox ax 0 ny oy ay 0 C = n z o z a z 0 1.21 0 0 0 1 k = a x i + a y j + a z k 1.22绕 k 旋转就相等于绕 C 坐标系的 z 轴旋转。 Rot k，= RotCz， 1.23 假设我们给一个坐标系T，它在参

29、考坐标系里被描画，它在C坐标系里用X描画，这样 T = C X 1.24其中X描画T相对C的位姿，求X，我们得到 X = C-1 T 1.25kTzzyyxxx00图1.16 普通性旋转变换CT 绕 k 旋转就等于绕坐标系的 z 轴旋转 Rot k, C Rot z, X 1.26 Rot k, C Ro t z, C-1 T 1.27这样 Rot k, C Rot z, C-1 1.28展开式1.28，我们发现 C Rot z, C-1 仅是 k 的函数。用C-1右乘 Rot z, ，我们得到 cos -sin 0 0nx ny nz 0 sin cos 0 0ox oy oz 0 Rot

30、z, C-1 0 0 1 0ax ay az 0 0 0 0 1 0 0 0 1 nx cosox sin ny cosoy sin nz cosoz sin 0 nx cos + ox sin ny cos + oy sin nz cos+ oz sin 0 = ax ay az 0 1.29 0 0 0 1再用C左乘 nx ox ax 0 ny oy ay 0 C = nz oz az 0 1.30 0 0 0 1得到 C Rot z, C-1 = nxnx cos nxox sin+ nxox sin+ oxox cos+ ax ax nynx cos nyox sin+ nxoy si

31、n+ oyox cos+ ay ax nznx cos nzox sin+ nxoz sin+ oz ox cos+ az ax 0 nxny cos nxoy sin+ nyox sin+ oyox cos+ ax ay nyny cos nyoy sin+ nyoy sin+ oyoy cos+ ay ay nzny cos nzoy sin+ nyoz sin+ oyoz cos+ az ay 0 nxnz cos nxoz sin+ nzox sin+ ozox cos+ ax az 0 nynz cos nyoz sin+ nzoy sin+ ozoy cos+ ay az 0 nz

32、nz cos nzoz sin+ nzoz sin+ ozoz cos+ az az 0 1.31 0 1运用以下关系进展简化： C 坐标系恣意的行或列与其他行或列的点积为零，由于这些向量是正交的； C 坐标系恣意的行或列与其本身的点积为I ，由于它们是单位量； z 向量是 x 和 y 向量的叉积：a = n o，它有以下分量 ax = ny oz nz oy ay = nz ox nx o z az = nx oy ny ox 正矢 Vers=1cos，简写成 Vers，且 kx = ax ，ky = ay ，kz = az 。由此可得到简化式为 Rot ( k, ) = kx kx Ver

33、s+ cos ky kx Verskz sin kz kx Vers + kysin 0 kx kyVers+ kz sin ky ky Vers+ cos kz kyVers kzxsin 0 kx kzVerskysin ky kz Vers + kxsin kz kzVers+ cos 0 1.32 0 0 0 1上式是普通性的旋转变换的重要结论。从这个结论可以得出每一个根本旋转变换。例如：Rot ( x, )就是Rot ( k, )当 kx= 1，ky= 0, kz= 0 的情况，将这些值代入式1.32得到 1 0 0 0 0 cos -sin 0 Rot ( x, ) = 0 sin

34、 cos 0 1.33 0 0 0 1这个结果与以前一样。1.11 等价旋转角与旋转轴等价旋转角与旋转轴Equivalent angle and axis of rotation 任给一个旋转变换，从1.32方程得到一个轴，绕这个轴旋转的等价旋转角可由如下方法得到。知一个旋转变换 R nx ox ax 0 ny oy ay 0 R = nz oz az 0 1.34 0 0 0 1令 R 和式 1.32的 Rot ( k, ) 相等，并将对角线各项相加得到nx + oy + az +1 = k2x Vers+ cos+ k2yVers+ cos + k2z Vers+ cos+1 1.35 n

35、x + oy + az = ( k2x + k2y + k2z ) Vers+ 3cos = 1 + 2cos 1.36由此可得到旋转角的余弦是 cos = 1/2nx + oy + az1 1.37对非对角线项相减，我们得到 oz ay = 2 kx sin 1.38 ax nz = 2 ky sin 1.39 ny ox = 2 kz sin 1.40把式1.38到式1.40两边平方并相加有 oz ay2 + ax nz2 + ny ox 2 = 4 sin2 1.41我们得到了sin的表达式 sin = 1/2oz ay2 + ax nz2 + ny ox 2 1.42规定这个旋转是绕

36、k 正方向旋转，当 0180时，在上式中取十号是合理的。这个旋转角被独一定义为 tan =oz ay2 + ax nz2 + ny ox 2 /nx + oy + az1 1.43 k的各分量为 kx =ozay/ 2 sin 1.44 ky =axnz/ 2 sin 1.45 kz =nyox/ 2 sin 1.46留意：当旋转角较小或接近 180时，上述三个式子的分子和分母都很小，所计算的k值是不准确的。为此可继续根据式1.32和式1.33对应元素以及它们的代数和相等的关系来求出k的各个分量。1.12 1.12 扩展与减少扩展与减少Stretching and scalingStretch

37、ing and scaling 一个变换T a 0 0 0 0 b 0 0 T = 0 0 c 0 1.47 0 0 0 1 将沿着 x 轴以 a 因子，沿着 y 轴以 b 因子，沿着 z 轴 c 因子均匀扩展着各种物体。假定在一个物体上恣意一个点 x i + y j + z k ，它的变换是 a x a 0 0 0 x b y 0 b 0 0 y c z = 0 0 c 0 z 1.48 1 0 0 0 1 1这个正好表示出所说的扩展。这样，一个正方体可以由这个变换变生长方体。变换s s 0 0 0 0 s 0 0 s = 0 0 s 0 1.49 0 0 0 1将以s为比例因子来扩展或减少

38、任一物体。1.13 透视变换透视变换Perspective transformation 假设由一个简单透镜把一个物体构成的像如图1.17所示。透镜的轴沿着 y 的方向，焦距为f ，物体上的一个点 x, y, z 成象为 x/, y/, z/。y/ 表示象距，它随着物距 y 而变化。假设在通过 y/ 而垂直于 y 的平面照相机的底片上画出各个点，那么就构成了一个透视像。射线穿过透镜中心不偏转，那么 z / y = z/ / y/ 1.50 x / y = x/ / y/ 1.51 根据平行透镜的轴的射线经过焦点，我们可以写出 z / f = z/ / ( y/ + f ) 1.52 x / f

39、 = x/ / ( y/ + f ) 1.53x/ y/ 和 z/ 是负数，而 f 是正数。用式1.50和式1.52消去 y/ ，得 z / f = z/ ( z/ y / z + f ) 1.54 zyx0( x, y, z )( x, y, z )f图1.17 透视变换求出 x/ = x ( 1y/f ) 1.55 y/ = y ( 1y/f ) 1.56 z/ = z ( 1y/f ) 1.57齐次变换 p 能导出同样结果，变换 p 是 1 0 0 0 0 1 0 0 p = 0 0 1 0 1.58 0 -1/f 0 1任何一点 x i + y j + z k 变换为 x 1 0 0 0 x y 0 1 0 0 y z = 0 0 1 0 z 1.59 1y/f 0 -1