微积分8_3三重积分

1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(z

2、yxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后

3、一”) 方法方法3 . 三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:目录 上页 下页 返回 结束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz

4、微元线密度记作yxddO目录 上页 下页 返回 结束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以该物体的质量为vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作xyzO目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxz

5、Dzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf目录 上页 下页 返回 结束 小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(zDbay

6、xzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目录 上页 下页 返回 结束 xyz例例2. 计算三重积分,d

7、dd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO目录 上页 下页 返回 结束 , 0,)( xdxdydzzyx是是由由平平面面其其中中y = 0, z = 0 和和 x+y+z =1所围成的四面体所围成的四面体.解解: :. xdxdydz考考虑虑 在在xy面上的投影区域为面上的投影区域为Dxy : 0 y 1 x, 0 x 1.沿沿 z 轴方向轴方向,下方曲面下方曲面: z=0, 上方曲面上方曲面: z = 1

8、x y. y0zx111Dxyx+ y=1x+ y+z=1练习练习1目录 上页 下页 返回 结束 yxxxdzdydxxdxdydz101010 xdyyxxdx1010)1(dxyxxx 10210)1(21dxxx210)1(21 .241 类似类似, ,241 zdxdydzydxdydz81 原原式式目录 上页 下页 返回 结束 .1,22222所所围围成成的的区区域域与与锥锥面面是是由由球球面面其其中中计计算算zxyzyxydxdydz 解解: :若先对若先对 z 积分积分, 由于沿由于沿 z 轴方向的下轴方向的下方曲面和上方曲面均方曲面和上方曲面均由两片曲面组成由两片曲面组成, 且

9、且 在在xy面上投影区域面上投影区域相对复杂相对复杂. 积分较繁积分较繁. 改为先对改为先对 y 积分积分.y0zx122zxy1222zyx练习练习2目录 上页 下页 返回 结束 沿沿 y 轴方向轴方向,:,:22右边曲面右边曲面左方曲面左方曲面zxy .122zxy 求求 在在xz面上的投影区域面上的投影区域Dxz .,1:22222 zyxzxy交线交线2122 zxxz为为面上的投影曲线面上的投影曲线在在得得故故 Dxz :,22222 zxy0zx122zxy221zxy消去消去 y ,目录 上页 下页 返回 结束 22221zxzxDydydxdzydxdydzxz xzDdxdz

10、zx)(2122)sin,cos( rzrx 令令 22022021rdrrd .42122202 rdrr目录 上页 下页 返回 结束 1V2VxOyzRO2Rz zD ).(,:2122221RzRzzzRyxDz ).0(,2:212222RzzzzRzyxDz目录 上页 下页 返回 结束 21222VVdxdydzzdxdydzzdxdydzz RRRDDzzdxdyzdzdxdyzdz22022 dzzRzzdzzRzRRR22202222222 dzzRzzdzzRzRRR 202222222 .480595R 目录 上页 下页 返回 结束 1x+ y=1yozx1z=xy. 所所

11、围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyx)z , y,x(fIddd 计计算算目录 上页 下页 返回 结束 关于利用对称性积分关于利用对称性积分.设有界闭区域设有界闭区域 的形状关于的形状关于xoy面对称面对称,且且 f (x, y, z) = f (x, y, z),. 0),( dvzyxf则则若若 f (x, y, z) = f (x, y, z),),(2),(1 dvzyxfdvzyxf则则其中其中 1是是 中处于中处于xy面上方部分面上方部分.类似可得类似可得 关于关于xoz面对称面对称, 而而 f (x, y, z) 关关于于y 是奇是奇, 偶函数的结论偶函数的结论,

12、以及以及 关于关于 yz 面对称面对称, 而而 f (x, y, z) 关于关于x 是奇是奇, 偶函数的结论偶函数的结论.目录 上页 下页 返回 结束 xyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域

13、积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录 上页 下页 返回 结束 2axyzO其中 为例例3. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2围成半圆柱体.目录 上页 下页 返回 结束 OOxyz例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz

14、 h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中 由抛物面42zvdddd原式 =目录 上页 下页 返回 结束 其中其中 由由x2+y2=2z及及z=2所围成所围成. 求求 .)(22dxdydzyx解：解：一般一般,若若 的表达式的表达式中含有中含有x2+y2,则可考虑则可考虑用柱面坐标积分用柱面坐标积分.令令x=rcos , y=rsin , z=z, ,212rz 且且221r z 2, 0 r 2, 0 2., 2)(21, 222 zyxzz的的柱柱面面坐坐标标方方程程分分别别为为则则xzyx2+y2=2zx2+y2=4 或 r=2

15、o2221rz 或练习练习4目录 上页 下页 返回 结束 20202212222)(rrdzrdrddxdydzyxdrrr)212(22203 316)1212122064 drrr注：注：常用的二次曲面有常用的二次曲面有, 球面球面, 椭球面椭球面, 柱面柱面. a(x2+y2)=z(旋转抛物面旋转抛物面), ax2+by2=z(椭圆抛物面椭圆抛物面), a2(x2+y2)=z2(圆锥面圆锥面).目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),(r则020

16、0rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目录 上页 下页 返回 结束 r =常数常数: =常数常数:球面球面S半平面半平面P动点动点M(r, , ) yz x0 M =常数常数:锥面锥面C.目录 上页 下页 返回 结束 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由元素区域由六个坐标面围成：六个坐标面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及

17、及 +d 目录 上页 下页 返回 结束 r drd xz y0 Vd d rd rsin d .r 2sin drd d 目录 上页 下页 返回 结束 ,sin2 dddrrdv Vdxdydzzyxf),( Vddrdrrrrf.sin)cos,sinsin,cossin(2 目录 上页 下页 返回 结束 rddrdd如图所示, 在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量

18、互相分离变量互相分离.dddsin2rrxyzO目录 上页 下页 返回 结束 xyzO例例5. 计算三重积分,ddd)(222zyxzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目录 上页 下页 返回 结束 求由半径求由半径R的球面的球面x2+y2+z2 2Rz=0和半顶角为和半顶角为 的圆锥面的圆锥面ctg2 (x2+y2)=z2围成的立体围成的立体 的体积的体积V,其其中中 位于圆锥面上方位于圆锥面上方,球面下方球面下方.解解: :

19、,用球面坐标求这个三重积分用球面坐标求这个三重积分.Vdv 令令x=rsin cos , y=rsin sin , z= rcos . 则由公式知：则由公式知：0yzx练习练习1目录 上页 下页 返回 结束 x2+y2+z2 2Rz=0的球面坐标方程为的球面坐标方程为r2 2Rrcos =0,即即: r=2Rcos ,ctg2 (x2+y2)=z2的球面方程为的球面方程为ctg2 (r2sin2 cos2 + r2sin2 sin2 ) =r2cos2 ,即即: = .由前面的由前面的(2)及及 的形状知的形状知, 0 r 2Rcos , 0 ,因因 在在xy面投影区域为圆面投影区域为圆, 故

20、故0 2 .0yzx目录 上页 下页 返回 结束 的体积的体积 cos202020sinRdrrdddvV drR 0cos20331sin2 dR 033cossin316 033coscos316dR)cos1(3443 R一般一般,若若 的表达式中含的表达式中含x2+y2+z2,则可考虑用则可考虑用球面坐标球面坐标.目录 上页 下页 返回 结束 用两种方法计算用两种方法计算 dxdydzzyx)1(85 1 ; 1 ; 2:22222 zyxzyx其中其中 解：解：利用函数与域的对称性，利用函数与域的对称性， dVzI185 练习练习2用柱坐标：用柱坐标： 2211020185rdzzr

21、drdI 104121)2(245drrr2)2(4510102412 rdrdrr49245 xyzo目录 上页 下页 返回 结束 解：解：用球坐标：用球坐标：用两种方法计算用两种方法计算 dxdydzzyx)1(85 1 ; 1 ; 2:22222 zyxzyx其中其中 练习练习3 2cos124020cossin85 drrrddI 2cos12340cossin45 drrd4504252cos245 403cossin5245 d49241224545 xyzo目录 上页 下页 返回 结束 思考思考.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位

22、于xOy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz dddsind2rrv yzxaOr目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;目录 上页 下页 返回 结束 2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中