数学建模介绍——

1、数学建模介绍数学建模介绍之换个角度看高数之换个角度看高数 初等数学与高等数学初等数学与高等数学 什么是建模？什么是建模？建模的目的？建模的目的？ 数学建模的地位？数学建模的地位？ 数学模型的存在方式？数学模型的存在方式？ 建模的基本原则及注意事项建模的基本原则及注意事项 建模建模的步骤的步骤 个人对建模工作需要做的准备工作？个人对建模工作需要做的准备工作？目录 许多研究领域相同：许多研究领域相同： 比如函数的定义，定义域，存在形式（表达式，比如函数的定义，定义域，存在形式（表达式，图像，表格等），性质，特殊函数及其性质，函数图像，表格等），性质，特殊函数及其性质，函数的应用等。的应用等。 比如

2、解析几何，图形与方程等。比如解析几何，图形与方程等。初等数学与高等数学初等数学与高等数学 宏观问题宏观问题微观和超宏观的问题（极限，微分，微观和超宏观的问题（极限，微分，积分）积分） 规则的问题规则的问题非规则的问题（扇形非规则的问题（扇形- 常量和匀变量常量和匀变量非匀变量（运动方程；水池的水非匀变量（运动方程；水池的水量）量） 低维低维高维（平面到空间；数字到向量）高维（平面到空间；数字到向量） 注：解决注：解决这些这些问题归功于新工具的出现。问题归功于新工具的出现。初等数学与高等数学初等数学与高等数学 与与微观微观相对，宏观不涉及分子、原子、电子等内部相对，宏观不涉及分子、原子、电子等内

3、部结构或机制。结构或机制。肉眼肉眼能见到的物体均为宏观物体能见到的物体均为宏观物体;宏观宏观现象一般指宏观物体和隐藏在宏观的空间范围内的现象一般指宏观物体和隐藏在宏观的空间范围内的各种现象各种现象;宏观物体和宏观现象总称宏观物体和宏观现象总称宏观世界宏观世界。 模型就是对实际问题的有效近似。而给出分析及近模型就是对实际问题的有效近似。而给出分析及近似结果的过程，就是在建模。似结果的过程，就是在建模。 模型包括：物理模型，半物理模型，数学模型；机模型包括：物理模型，半物理模型，数学模型；机理建模，数据建模。理建模，数据建模。 数学模型就是一种语言，是人与自然沟通的语言，数学模型就是一种语言，是人

4、与自然沟通的语言，是人与计算机沟通的语言。是人与计算机沟通的语言。 数学建模就是把实际问题数学建模就是把实际问题“翻译翻译”成数学语言，以成数学语言，以便于用数学工具分析实际问题，解决实际问题。便于用数学工具分析实际问题，解决实际问题。什么是建模？什么是建模？ 是工业信息化的基本要求。（优化的需要）是工业信息化的基本要求。（优化的需要） 现代工业设计、现代工业设计、施工的数字化基本施工的数字化基本要求。（高要求。（高水平的模型带来高水平的设计和工艺等）水平的模型带来高水平的设计和工艺等） 各行业提高效率的要求。（医生治病；工厂节省各行业提高效率的要求。（医生治病；工厂节省能源，获得高效益）能源

5、，获得高效益） 注：从数量上让各种要素之间达到精准的、恰当的注：从数量上让各种要素之间达到精准的、恰当的匹配，从而达到降低消耗，提高功能的效果。匹配，从而达到降低消耗，提高功能的效果。数学建模的地位？数学建模的地位？ 公式公式 表格表格 图形（管理机构；水利网络；雾霾的趋势等）图形（管理机构；水利网络；雾霾的趋势等）数学模型的存在方式？数学模型的存在方式？ 模型是实际问题的有效近似。（需要假设条件，以模型是实际问题的有效近似。（需要假设条件，以说明适用范围）说明适用范围） 定性与定量相结合。（好学生；左极限；函数的理定性与定量相结合。（好学生；左极限；函数的理解等）解等）说服力更强说服力更强

6、多角度多层次的描述、分析（不同空间的观察分析，多角度多层次的描述、分析（不同空间的观察分析，如多元函数的性质；感冒的历程；人体健康状况）如多元函数的性质；感冒的历程；人体健康状况） 理论理论与实践相结合。（理论分析：误差，敏感度；与实践相结合。（理论分析：误差，敏感度；模型检验：实测，仿真等）模型检验：实测，仿真等）建模的基本原则及注意事项建模的基本原则及注意事项 目标：达到层次感（不清晰的变成清晰的；不能解目标：达到层次感（不清晰的变成清晰的；不能解决的变成能解决的）决的变成能解决的） 基本基本的原则：（以函数为例）的原则：（以函数为例） 复杂问题简单化；（运动）复杂问题简单化；（运动） 抽

7、象问题直观化；（对数函数）抽象问题直观化；（对数函数） 一般问题具体化。（函数与特殊函数）一般问题具体化。（函数与特殊函数）建模的分析建模的分析建模分析的具体方法：建模分析的具体方法： 横向切割，纵向分离横向切割，纵向分离肢解肢解 （浴缸设计为例）（浴缸设计为例） 层层拨皮，露出核心层层拨皮，露出核心。 注：静态分析与动态分析结合注：静态分析与动态分析结合建模分析的结果：解决问题的步骤建模分析的结果：解决问题的步骤人体结构；浴缸形状；人鱼浴缸的匹配，包括形状，水流量，热量的传播等） 模型分析 ：模型的性质，模型的性能等建模的分析建模的分析 一个人用热水通过一个水龙头来注满一个浴缸，然后坐在在浴

8、一个人用热水通过一个水龙头来注满一个浴缸，然后坐在在浴缸中，清洗和放松。不幸的是，浴缸不是一个带有二次加热系缸中，清洗和放松。不幸的是，浴缸不是一个带有二次加热系统和循环喷流的温泉式浴缸，而是一个简单的水容器。过一会统和循环喷流的温泉式浴缸，而是一个简单的水容器。过一会儿，洗澡水就会明显地变凉，所以洗澡的人需要不停地将热水儿，洗澡水就会明显地变凉，所以洗澡的人需要不停地将热水从水龙头注入，以加热洗浴水。该浴缸的设计是以这样一种方从水龙头注入，以加热洗浴水。该浴缸的设计是以这样一种方式，当浴缸里的水达到容量极限，多余的水通过溢流口泄流。式，当浴缸里的水达到容量极限，多余的水通过溢流口泄流。 考虑

9、空间和时间等因素，建立一个浴缸的水温模型，以确定最考虑空间和时间等因素，建立一个浴缸的水温模型，以确定最佳的策略，使浴缸里的人可以用这个模型来让整个浴缸保持或佳的策略，使浴缸里的人可以用这个模型来让整个浴缸保持或尽可能接近初始的温度，而不浪费太多的水。尽可能接近初始的温度，而不浪费太多的水。 使用你的模型来确定你的策略对浴缸的形状和体积，浴缸里的使用你的模型来确定你的策略对浴缸的形状和体积，浴缸里的人的形状、体积、温度，以及浴缸中的人的运动等因素的依赖人的形状、体积、温度，以及浴缸中的人的运动等因素的依赖程度。如果这个人一开始用了一种泡泡浴剂加入浴缸，以协助程度。如果这个人一开始用了一种泡泡浴

10、剂加入浴缸，以协助清洗，这会怎样影响你的模型的结果？清洗，这会怎样影响你的模型的结果？ 除了要求的一页除了要求的一页MCM摘要提交之外，你的报告必须包括一页摘要提交之外，你的报告必须包括一页的为浴缸用户准备的非技术性的说明书来阐释你的策略，同时的为浴缸用户准备的非技术性的说明书来阐释你的策略，同时解释为什么洗澡水的温度得到均衡地保持是如此之解释为什么洗澡水的温度得到均衡地保持是如此之难难A题题 一个热水澡一个热水澡A person fills a bathtub with hot water from a single faucet and settles into the bathtub t

11、o cleanse and relax. Unfortunately, the bathtub is not a spa-style tub with a secondary heating system and circulating jets, but rather a simple water containment vessel. After a while, the bath gets noticeably cooler, so the person adds a constant trickle of hot water from the faucet to reheat the

12、bathing water. The bathtub is designed in such a way that when the tub reaches its capacity, excess water escapes through an overflow drain.Develop a model of the temperature of the bathtub water in space and time to determine the best strategy the person in the bathtub can adopt to keep the tempera

13、ture even throughout the bathtub and as close as possible to the initial temperature without wasting too much water.Use your model to determine the extent to which your strategy depends upon the shape and volume of the tub, the shape/volume/temperature of the person in the bathtub, and the motions m

14、ade by the person in the bathtub. If the person used a bubble bath additive while initially filling the bathtub to assist in cleansing, how would this affect your models results?In addition to the required one-page summary for your MCM submission, your report must include a one-page non-technical explanation for users of the bathtub that describes your strategy while explaining why it is so difficult to get an evenly maintained temperature throughout the bath water.PROBLEM A:A Hot Bath 提出问题提出问题 建立建立模型模型 模型模型求解求解 模型模型检验检验 模型分析模型分析 实施决策实施决策建模