高等数学第一章函数与极限

1、1实用精品课件PPT1.1.1 常量与变量常量与变量 常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的 量叫做常量。量叫做常量。 变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的 量叫做变量。量叫做变量。 常量与变量的划分是相对的。常量与变量的划分是相对的。2rA2实用精品课件PPT定义定义1：设：设x 和和 y 为同一过程两个变量为同一过程两个变量 ，若对非空数集，若对非空数集D 中任一中任一x （记为（记为 ） ，在数集，在数集M中存在中存在 y （记为（记为 ）按一定的法则）按一定的法则 f 有有 唯

2、一确定的唯一确定的 值与之对应，则称值与之对应，则称 f 是定义在是定义在D上的上的函数函数。 记作记作 y = f y = f ( ( x x ) ) 数集数集D称为该函数称为该函数 的的定义域定义域， x 叫做叫做自变量，自变量， y 叫做叫做因变量。因变量。自变量取自变量取 时的函数值时的函数值 记成记成 、 或或 0 x)(0 xf0 x xyxD yM 0()y x1.1.2 函数的概念函数的概念3实用精品课件PPT全体函数值的集合全体函数值的集合 称为函数的值域。称为函数的值域。DxxfyyM),(4实用精品课件PPT 函数的两个要素函数的两个要素 函数的函数的和和称为函数的两个要

3、素称为函数的两个要素. . （）对应法则）对应法则 例例 1 1 )(xf=2 =2 x2 2+3+3 1x 就是一个特定的函数，就是一个特定的函数，f确定的对应规律为：确定的对应规律为： f（ ）=2( )2+3( )1 . 5实用精品课件PPT解解 (1) y= = 2ln x与与y= = 2 2ln x不不 是是 相相 同同 的的 函函 数数 ,因因 为为 定定义义 域域 不不 同同 . (2) = =u与与y= =x是是 相相 同同 的的 函函 数数 ,因因 为为 对对 应应 规规律律 与与 定定 义义 域域 均均 相相 同同 . 6实用精品课件PPT分段函数：在定义域的不同部分内用不

4、同的解析式分段函数：在定义域的不同部分内用不同的解析式 表示的函数，称为分段函数。表示的函数，称为分段函数。 分段函数分段函数200 xxyxxxx7实用精品课件PPT10sgn0010 xyxxx符号函数符号函数8实用精品课件PPT,3, 0)(2xxxf. 21, 10, 01xxx 解解 该分段函数的图形如上图所示该分段函数的图形如上图所示 -1 1 2 1 2 f(x) x O 9实用精品课件PPT52550)10()()5(tettttCtk10实用精品课件PPT1.1.3 函数的表示方法函数的表示方法 （1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。）解析法：用数学公式或方程

5、来表示变量间的函数关系。 （2）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数 值列成一个表格来表示函数关系。值列成一个表格来表示函数关系。 （3）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示 变量间的函数关系。变量间的函数关系。板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间的关系板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间的关系11实用精品课件PPT1.1.4 几种特殊的函数性质几种特殊的函数性质（1）奇偶性）奇偶性 设函数设函数 f ( x ) 的定义域为的定义域为对称区间对称区间（-L , L）（也可以）（也可以 是是-L

6、, L , （，），如果对于定义域的任），如果对于定义域的任 一一 x 都满足都满足f ( x ) = f ( x )（f ( x ) = f ( x ) ），）， 则称函数则称函数 f ( x ) 为奇函数（或偶函数）。为奇函数（或偶函数）。 12实用精品课件PPT（2）单调性）单调性 若函数若函数 f ( x ) 在区间在区间 I 上有定义，如果对于区间上有定义，如果对于区间 I 上上 任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，有时，有 ，则称函数，则称函数 f ( x ) 在区间在区间 I 上单调增加（单调递减）。上单调增加（单调递减）。 单调递增或单调递减函数统称为单调函数。单调递增或单调

7、递减函数统称为单调函数。 1x2x21xx )()()()(2121xfxfxfxf13实用精品课件PPT （3）有界性）有界性 设函数设函数 y = f ( x ) 定义在区间定义在区间 (a，b) 上，若存在上，若存在 一个常一个常 数数 k ， 使得当使得当 x (a，b) 时，恒有时，恒有 成立，则称成立，则称f ( x )在在 (a，b)有上界（下界）。有上界（下界）。 若若 f ( x )在在 (a，b)既有上界又有下界，既有上界又有下界， 则称则称f (x )在在 (a，b)上有界。上有界。 如果函数如果函数 f ( x ) 在其定义域内有界，则称在其定义域内有界，则称f ( x

8、 ) 为有界函数。为有界函数。 ( )f xk( ( )f xk14实用精品课件PPT（4）函数的周期性）函数的周期性 设有函数设有函数 f ( x ) ，如果存在一个不为零的数，如果存在一个不为零的数 T， 使得对于定义域的任一实数使得对于定义域的任一实数 x ，都有，都有 f ( x+T ) = f ( x ) 则称则称 f ( x ) 周期函数，周期函数， T 为函数的周期。为函数的周期。15实用精品课件PPT1.1.5 反函数反函数 设函数设函数 y = f ( x ) 的定义域为的定义域为 D ，值域为，值域为 M。 如对于任意的如对于任意的 y M，有，有x D，使得，使得f (

9、x ) = y， 则变量则变量 x 是变量是变量 y 的函数，其对应规则记作的函数，其对应规则记作 。 这个定义在这个定义在 M 上的函数上的函数 ，称它为函数，称它为函数 y = f ( x )的反函数，而的反函数，而 y = f ( x ) 称为直接函数。称为直接函数。1f)(1yfx16实用精品课件PPTy=C ( (C为为常常数数) ) xy ( (为为实实数数) ) xay ( (a0 0, ,a1 1, ,a为为常常数数) ) y= =xalog ( (a0 0, ,a1 1, ,a为为常常数数) ) y=xsin, y=cos x, y=tan x, y=cot x y=secx

10、, y=cscx y=arcsin x , xyarccos, xyarctan xyarccot 17实用精品课件PPT 这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、图形必须熟悉图形必须熟悉 设设)(ufy , ,其其中中 )(xu, ,且且 )(x的的值值全全部部或或部部分分落落在在)(uf的的定定义义域域内内， 则则称称)(xfy为为 x的的复复合合函函数数， 而而 u称称为为中中间间变变量量 例例 1 1 （1 1）函数）函数xy2sin是由是由2uy , , xusin 复合而复合而成的复合函数，其定义域为成的复合函数，其定义域为),(

11、，它也是，它也是 xusin的定的定义域义域. . （2 2） 函函数数21 xy, ,是是由由uy ，21xu复复合合而而成成的的，其其定定义义域域为为- -1 1，1 1 ，它它是是 21xu的的定定义义域域的的一一部部分分. . （3 3）y= =uarcsin, ,u=2+=2+x2 2是不能复合成一个函数的是不能复合成一个函数的 两个函数两个函数 f 与与 g 构成复合函数的关键在于内函构成复合函数的关键在于内函数的值域要包含在外函数的定义域中。数的值域要包含在外函数的定义域中。 18实用精品课件PPT 例例2 2 分析下列复合函数的结构：分析下列复合函数的结构： y=2cotx ;

12、 .e1sin2xy 解解 y= =u, , vucot, , 2xv . . y= ue, vusin, tv , 12 xt. 例例 3 3 设设2)(xxf , , xxg2)(, , 求求,)(xgf )(xfg. . 由由基基本本初初等等函函数数经经过过有有限限次次四四则则运运算算及及有有限限次次复复合合步步骤骤所所构构成成， 且且用用一一个个解解析析式式表表示示的的函函数数， 叫叫做做初初等等函函数数，否否则则就就是是非非初初等等函函数数 19实用精品课件PPT若数列若数列nx及常数及常数 a 有下列关系有下列关系 :,0,N正数当当 n N 时时, 总有总有记作记作此时也称数列收

13、敛此时也称数列收敛 , 否则称数列发散否则称数列发散 .几何解释几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即即),(axn)(Nn axnnlim或或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列则称该数列nx的极限为的极限为 a ,1.3.1 数列的极限数列的极限20实用精品课件PPT邻域邻域。且且是是两两个个实实数数与与设设0, a,叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 ),( axxaU的的称称为为点点数数集集aaxx ,邻邻域域 ),( aU记记作作),( axaxaU) ,( aaxa a a21实用精品课件PPTAnNAAnxn目的：AxANnNAxnn

14、n , 0lim时，有使得自然数要找到一个22实用精品课件PPTNAAA 越来越小，N越来越大！nxn23实用精品课件PPT,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散24实用精品课件PPT1nxn1n21031041051061071081091010101110nxO25实用精品课件PPT1n21031041051061071081091010101110nxOnxn1126实用精品课件PPTnnxOnnxOnx

15、n27实用精品课件PPTnxnnx) 1(nO101112131415161718192021202122232425262728293031303132333435363738394041n11目标不惟一！28实用精品课件PPT,) 1(nnxnn证明数列证明数列nx的极限为的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使欲使,1nx即即,1n只要只要1n因此因此 , 取取, 1N则当则当Nn 时时, 就有就有1) 1(nnn故故1) 1(limlimnnxnnnn29实用精品课件PPT,1q证明等比数列证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使欲使,0n

16、x只要只要,1nq即即,lnln) 1(qn亦即亦即因此因此 , 取取qNlnln1, 则当则当 n N 时时, 就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的极限为的极限为 0 . 1nq30实用精品课件PPT一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :1.3.2 函数的极限 31实用精品课件PPTXXAAoxy)(xfy A定义定义2 . 设函数设函数

17、xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数则称常数时的极限时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作记作直线直线 y = A 为曲线为曲线)(xfy 的水平渐近线的水平渐近线,0 xxf当)(A 为函数为函数32实用精品课件PPTxx这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的

18、点顶点！33实用精品课件PPT. 01limxx证证:01xx1取取,1X,时当Xx 01x因此因此01limxx注注:就有就有故故,0欲使欲使,01x即即,1xoxyxy1.10的水平渐近线为xyy34实用精品课件PPTx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线直线 y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) 的渐近线的渐近线 .Axfx)(lim,0,0X当当Xx 时时, 有有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当当Xx时时, 有有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线都有水平渐近线. 1y

19、又如，又如，oxyx21x2135实用精品课件PPT| xxxxxxxx |记为AxfAxfAxfxxx)(lim )(lim)(lim且因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右：x| x036实用精品课件PPT1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积测量正方形面积.面积为面积为A )边长为边长为(真值真值:;0 x边长边长面积面积2x直接观测值直接观测值间接观测值间接观测值任给精度任给精度 , 要求要求 Ax2确定直接观测值精度确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx37实用精品课件PPT)(xf在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,0,

20、0当当00 xx时时, 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf当即即,0,0当当),(0 xx时时, 有有若若记作记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在极限存在函数局部有界函数局部有界这表明这表明: 38实用精品课件PPTxOy0 x)(xfy AAA0 x0 x 目的：对任意的0, 要找0，使得0|x-x0| 时，有|f(x)-A|.即 A f(x) A.哈哈, 找到了!39实用精品课件PPTxOy0 x)(xfy A1A1A0

21、 x0 x 1 1 1 1目的：对任意的0, 要找0，使得0|x-x0|时，有|f(x)-A|.即 A f(x) 0 ,000 xx一切满足不等式一切满足不等式的的 x , 总有总有则称函数则称函数)(xf当当0 xx 时为无穷大时为无穷大, 使对使对.)(lim0 xfxx若在定义中将若在定义中将 式改为式改为Mxf)(则记作则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作记作, )(Mxf总存在总存在49实用精品课件PPT1. 无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.2

22、. 函数为无穷大函数为无穷大 , 必定无界必定无界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, 函数函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当当n2但但0)(2nf所以所以x时时 ,)(xf不是无穷大不是无穷大 !oxyxxycos50实用精品课件PPT若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:51实用精品课件PPT定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .说明说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无

23、穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，22212limnnnnn 12 有限个无穷小之差仍为无穷小有限个无穷小之差仍为无穷小 . 52实用精品课件PPT推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .53实用精品课件PPT时时, 有有,min21定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 . 设设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当当100 xx时时 , 有有2, 02当当200 xx时时 , 有有2取取则当则当

24、00 xx22因此因此.0)(lim0 xx这说明当这说明当0 xx 时时,为无穷小量为无穷小量 .54实用精品课件PPT说明说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，22212limnnnnn 12类似可证类似可证: 有限个无穷小之差仍为无穷小有限个无穷小之差仍为无穷小 . 55实用精品课件PPT证证: 设设, ),(10 xxMu 又设又设,0lim0 xx即即,0,02当当),(20 xx时时, 有有M取取,min21则当则当),(0 xx时时 , 就有就有uuMM故故,0lim0uxx即即u是是0 xx 时的无穷小时的无穷小 .推论推论 1 .

25、 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .56实用精品课件PPToyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理利用定理 2 可知可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线的渐近线 .57实用精品课件PPT 第一章第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小都是无穷小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . 无穷小的比较58

26、实用精品课件PPT,0limCk,0lim若若则称则称 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,)(o,lim若若若若若若, 1lim若若,0limC或或,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小;则称则称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶无穷小阶无穷小;则称则称 是是 的等价无穷小的等价无穷小, 记作记作59实用精品课件PPT)(o0 x时时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故故0 x时时xc

27、os1是关于是关于 x 的二阶无穷小的二阶无穷小,xcos1221x且且60实用精品课件PPT0 x时时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb61实用精品课件PPT0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较无穷小的比较设设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小, 且且 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小 是是 的低阶无穷小的低阶无穷小 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小 是是 的等价无穷小的等价无穷小 是是 的的 k 阶无穷小

28、阶无穷小62实用精品课件PPT63实用精品课件PPT,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理 1 . （1）若64实用精品课件PPT,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf说明说明: 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数为正整数 )BA65实用精品课件PPT,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 则有则有)()(

29、limxgxf)(lim)(limxgxfBA66实用精品课件PPT,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 1 . （1）若说明: 可推广到有限个函数相加、减的情形 .67实用精品课件PPT,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf说明说明: 可推广到有限个函数相乘的情形可

30、推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数为正整数 )BA68实用精品课件PPT为无穷小为无穷小(详见详见P44)B2B1)(1xg)(0 xx,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,设设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小无穷小有界有界BA因此因此由极限与无穷小关系定理由极限与无穷小关系定理 , 得

31、得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小为无穷小,69实用精品课件PPT例例121211lim(37)limlim37xxxxxxx 7lim3)lim(121xxxx1173170实用精品课件PPT这是因为分子、分母都包含着在这是因为分子、分母都包含着在 x =2时为零的因子时为零的因子 x2 。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求极限。极限。解解 原式原式= 31)1()1(lim)2)(1()2)(1(lim22xxxxxxxx例例2 求求223lim222xxxxx注注 此题中若将此题中若将 x =2

32、代入分子、分母，则得到代入分子、分母，则得到无意义的式子无意义的式子 ，0071实用精品课件PPT例例3 )1311(lim31xxx 解解 当当 时，时， ， 的分母都趋于零，原的分母都趋于零，原式式 出现出现“ ”的形式，两项均不的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。变换一下形式。11x133x)1311()(3xxxf1x 原式原式 = 1)1(lim321xxxx1)1(2lim21xxxx)1)(1()2)(1(lim21xxxxxx（消去零因子）（消去零因子）72实用精品课件PPT解解

33、原式原式= )11()11)(11(lim0 xxxxx 解解 当当 时，分母极限为时，分母极限为0，不能直接使用，不能直接使用极限运算法则，若将分子有理化极限运算法则，若将分子有理化0 x)11(lim0 xxxx111lim0 xx21例例4 求求xxx11lim073实用精品课件PPT.4532lim21xxxx解解: x = 1 时时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因74实用精品课件PPT.125934lim22xxxxx解解: x时时,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母

34、同除以,2x则则54分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式75实用精品课件PPT为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当76实用精品课件PPT. )1(lim2xxxx解解 原式原式 =xxxx1lim21111lim2xx2177实用精品课件PPT定理定理. 设设,)(lim0axxx且且 x 满足满足100 xx时时,)(ax 又又,)(limAufau则有则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得则类似可得 )(lim0 xfxxA

35、ufu)(lim78实用精品课件PPT解解: 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61 原式原式 =uu61lim616679实用精品课件PPT1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 为什么为什么 ?答答: 不存在不存在 . 否则由否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知)(limxg存在存在 , 与已知条件与已知条件矛盾矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问问80实用精品课件PPT,),(0时当xx

36、Axhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且且两个重要极限81实用精品课件PPT1sincosxxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积1sinlim. 10 xxx证证: 当当即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有注注82实用精品课件PPT当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(

37、lim0 xx83实用精品课件PPT.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim0184实用精品课件PPT.cos1lim20 xxx解: 原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x2185实用精品课件PPTexxx)1(lim1.)1 (lim1xxx解：原式解：原式 111lim(1)xxxe 86实用精品课件PPTlimx.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin

38、x2sin187实用精品课件PPT1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注: 代表相同的表达式88实用精品课件PPT填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e89实用精品课件PPT二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第一章第一章 90实用精品课件PPT1x11211yx111xxyxx，yx112191实用精品课件PPT,0 xxx有函数的增量有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy

39、 xoy0 xxxy0lim0 xy92实用精品课件PPT1x11211yx111xxyxx，yx112193实用精品课件PPT可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x定义定义:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;94实用精品课件PPT1x11211yx111xxyxx，yx

40、112195实用精品课件PPT若若)(xf在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的连续函数或称它为该区间上的连续函数 .96实用精品课件PPT,0 xxx有函数的增量有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续,0,0当当xxx0时时, 有有yxfxf)()(0函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列等价命题连续有下列等价命题:97实用精品课件

41、PPTxx cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,1.5.3 初等函数的连续性98实用精品课件PPT证证: 设函数设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故

42、复合函数故复合函数)(xf.0连续在点 x且且即即99实用精品课件PPT基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续例如例如,21xy的连续区间为的连续区间为1, 1(端点为单侧连续端点为单侧连续)100实用精品课件PPT.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1101实用精品课件PPT0000( )lim( )(),( )xxf xxf xf xf xx连续的定义：（）设函数在

43、 附近有定义，函数极限若则称在的特殊情形连续.102实用精品课件PPT0lim( )xxf x0()f x在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在 左右极限存在并相等103实用精品课件PPT1.在x0 及其附近定义;2.极限存在 左右极限存在并相等001. ( );2.lim( ).xxf xxf x在 无定义或不存在104实用精品课件PPT105实用精品课件PPT第一类间断点第二类间断点106实用精品课件PPT.)(1 . 1 0处无定义在：情形xxfxOy0 xx)(xfy x0 xx自由地趋于A注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )()(lim 0000处连续在那么这个新的

44、处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxx107实用精品课件PPTxOy0 xx)(xfy x注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )()(lim 0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxx.)(lim)(lim.)(1.1 000存在但处有或无定义在：情形xfxfxxfxxxxA108实用精品课件PPT.)( .)(2 . 1 00的值太高了但处有定义在：情形xfxxfxOy)(xfy 注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )( ).()(lim 00000处连续在那么这个新的

45、处的值为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxA0 xxx109实用精品课件PPT.)( .)(2 . 1 00的值太低了但处有定义在：情形xfxxfxOy)(xfy 0 xxx注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )( ).()(lim 00000处连续在那么这个新的处的值为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxA110实用精品课件PPTxOy)(xfy .),(lim)(lim.)(2 000都存在但处有定义在：情形xfxfxxfxxxx0 xxx注意到：这种间断点称为跳跃间断点.)( ,)()(l

46、im 000限存在，有较好的性质的单侧极的左右两边，但分别考虑处连续在不存在，因此无法使得在这种情形下，xfxxxfxfxx 这点放哪儿能接上呢？111实用精品课件PPTxOy0 xx)(xfy x.)( .)(lim)(lim.)(3 0000的渐进线称为此时，直线或或一个为至少有和或无定义处有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点0 xx 112实用精品课件PPTxx. )(4 0无限震荡（无）定义，处有在：情形xxf：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi, 小蓝点，你停不住，

47、我也停不住啊。还想连上，你可真逗！xy1sinxy11这种间断点称为震荡间断点。113实用精品课件PPT一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 1.5.4 闭区间上连续函数的性质 第一章 114实用精品课件PPT定理定理1.1.在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数即即: 设设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则则, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值值和最小值. .在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略证明略)115实用精品课件PPT例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy11116

48、实用精品课件PPT,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM由定理由定理 1 可知有可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点至少有一点, ),(ba且且使使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 证明略证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 117实用精品课件PPT设设 , ,)(baCxf且且,)(Aaf,)(BABbf则对则对 A 与与 B

49、之间的任一数之间的任一数 C ,一点一点, ),(baAbxoya)(xfy BC使使.)(Cf至少有至少有118实用精品课件PPT二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 函数与极限 第一章 119实用精品课件PPT)(xfy yxoD1. 函数的概念函数的概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域定义域 值域值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 一般为曲线一般为曲线 )设设,RD函数为特殊的映射函数为特殊的映射:其中其中120实用精品课件PPT有界性有界性 , 单调性单调性 , 奇偶性奇偶性 , 周期性周期性3. 反函数反函数

50、)(:DfDf设函数设函数为单射为单射, 反函数为其逆映射反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数复合函数给定函数链给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为则复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数初等函数有限个常数及基本初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数复合而成的一个表达式的函数.121实用精品课件PPT,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求求.)(xff解解:,13 x122实用精品课件PPTxxxf

51、f1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx设设其中其中).(xf求求令令即即即即令令即即画线三画线三式联立式联立1111)(xxxxf即即xxxxxff) 1(2111)()(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 123实用精品课件PPT1. 下列各组函数是否相同下列各组函数是否相同 ? 为什么为什么? )arccos2cos

52、()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx与axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax与0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 与相同相同相同相同相同相同机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 124实用精品课件PPT1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 125实用精品课件PPT0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xoxy