双曲线第一课时课件课件1

1、2012年12月19日1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习回顾复习回顾双曲线双曲线图象图象拉链画双曲拉链画双曲线线|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 思考：思考：2012年12月19日定义图象方程焦点a.b.c的关系yoxF1F2xyoF1F2 x2a2+y2b2=1

2、y2x2a2+b2= 1|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）a2=b2+c2F ( c,0) F(0, c) 1. 1. 请说出椭圆定义及符号表示：请说出椭圆定义及符号表示：等于等于常数常数2a ( 2a|F1F2|=2c0) 的点的轨迹叫做椭圆的点的轨迹叫做椭圆.平面内平面内与两与两定点定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM, 2. 请说出椭圆的标准方程：请说出椭圆的标准方程：即：即：|MF1|+|MF2|=2a( 2a2c0) 点点M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆 x2a2+y2b2= 1(ab0)y2x2a2+b2= 1(ab0)（焦点在x轴上）（

3、焦点在y轴上）或若若2a=2c,点点M的轨迹是线段的轨迹是线段F1F2；若若2a2c，点点M的轨迹不存在。的轨迹不存在。3.方程中a,b,c之间有怎样的关系？ 根据根据x2 , y2 分母的大小来判断分母的大小来判断,谁的分母大，焦点谁的分母大，焦点就在相应的坐标轴上。就在相应的坐标轴上。4.根据标准方程如何判断椭圆的焦点位置？a2=b2+c2且且ab0,ac0。思考：思考：等于常数等于常数的点的轨迹是否存在？如果存在，又是什么的点的轨迹是否存在？如果存在，又是什么曲线呢？曲线呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2012年12月19日画双曲线画双曲线演示实验：用拉链画双曲

4、线演示实验：用拉链画双曲线思考：思考：1.1.在作图的过程中哪些量是定量？在作图的过程中哪些量是定量？ 哪些量是不定量？哪些量是不定量？ 2.2.动点在运动过程中满足什么条件？动点在运动过程中满足什么条件？ 3.3.这个常数与这个常数与|F|F1 1F F2 2| |的关系是什么？的关系是什么？ 4.4.动点运动的轨迹是什么？动点运动的轨迹是什么？ 5.5.若拉链上被固定的两点互换，若拉链上被固定的两点互换， 则出现什么情况？则出现什么情况？动画演示11在黑板上取两定点记为在黑板上取两定点记为数学实验：数学实验：22取一条拉链取一条拉链, ,并拉开；在链拉的一边取并拉开；在链拉的一边取下端点固

5、定在下端点固定在F F1 1处，处， 在另一边上取一点固在另一边上取一点固定在定在F F2 2处，剩余的一段表示为处，剩余的一段表示为F F2 2 F F，如图，如图A A所示；所示；33拉链的拉环表示的点记为拉链的拉环表示的点记为M M，将拉链逐，将拉链逐 渐拉开或者闭拢，请观察渐拉开或者闭拢，请观察M M的轨迹；的轨迹；思考：思考：M M运动时运动时|MF1| ，|MF2|，|F2 F | 三者之间有何关系？三者之间有何关系？ 若将拉链上两点固定的位置互换，剩余的若将拉链上两点固定的位置互换，剩余的一段长度不变记为一段长度不变记为 F F，如图，如图B B所示，那么当所示，那么当M M运动

6、时，它的轨迹又是什么？此时运动时，它的轨迹又是什么？此时|MF1| |MF2|， |F2 F |三者之间又有何关系？三者之间又有何关系？根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？2012年12月19日根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？： 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数等于常数（小于（小于F1F2)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线. 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.|MF1| - |MF2|

7、=常数（小于常数（小于|F1F2|） 讨论：讨论：定义当中定义当中差的绝对值差的绝对值小于小于|F1F2 |如果去掉，那么点的如果去掉，那么点的轨迹还是双曲线吗？轨迹还是双曲线吗？（类比椭圆进行思考）类比椭圆进行思考）oF2F1M2.说明：说明：（1）距离的差距离的差（2）绝对值绝对值（想一想：若不加绝对（想一想：若不加绝对值，动点的轨迹又是什么？）值，动点的轨迹又是什么？）(3)差的绝对值小于差的绝对值小于|F|F1 1F F2 2 | | 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.注意：注意：02a2c ；oF2F1M ：平面内平面内与两个定点与两

8、个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值等于常数（小于的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线.| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 02a|F1F2|或或F F2 2F F1 1M6|),0 , 5(),0 , 5()2(2121PFPFFF2222|(5)(5)|6xyxy 小试身手：请说出下列方程对应曲线的名称：小试身手：请说出下列方程对应曲线的名称：（3 3） （4 4） （两条射线两条射线） （双曲线（双曲线）（双曲线双曲线） （双曲线右支双曲线右支） 6|),0 , 5 (),0 , 5() 1 (2121PFPFFF6)3()3(2

9、222yxyx2012年12月19日探究探究: :(1)(1)已知已知A(-5,0),B(5,0),MA(-5,0),B(5,0),M点到点到A,BA,B两点的距离之差两点的距离之差为为8,8,则则M M点的轨迹是什么点的轨迹是什么? ?(2)(2)已知已知A(-5,0),B(5,0),MA(-5,0),B(5,0),M点到点到A,BA,B两点的距离之差两点的距离之差的绝对值为的绝对值为10,10,则则M M点的轨迹是什么点的轨迹是什么? ?(3)(3)已知已知A(-5,0),B(5,0),MA(-5,0),B(5,0),M点到点到A,BA,B两点的距离之差两点的距离之差的绝对值为的绝对值为1

10、2,12,则则M M点的轨迹是什么点的轨迹是什么? ?双曲线的一支双曲线的一支动点动点M M的轨迹是分别以点的轨迹是分别以点A,BA,B为端点，方向指向为端点，方向指向ABAB外侧的两条射线外侧的两条射线不存在不存在(4)(4)已知已知A(-5,0),B(5,0),MA(-5,0),B(5,0),M点到点到A,BA,B两点的距离之差两点的距离之差的绝对值为的绝对值为0,0,则则M M点的轨迹是什么点的轨迹是什么? ?线段线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线2012年12月19日4 4）在双曲线的定义描述中要注意：）在双曲线的定义描述中要注意： 差的绝对值差的绝对值、常数常数小于小于|F|F1

11、1F F2 2| |及及常数大于常数大于0 0这三这三个条件个条件2 2）当常数大于）当常数大于|F|F1 1F F2 2| |时，动点时，动点M M的轨迹的轨迹不存在不存在1 1）当常数等于）当常数等于|F|F1 1F F2 2| |时，动点时，动点M M的轨迹是的轨迹是以点以点F F1 1、F F2 2为端点，方向指向为端点，方向指向F F1 1F F2 2外侧的两条射线外侧的两条射线3 3）若常数等于）若常数等于0 0时时, ,轨迹是轨迹是线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线感悟感悟: :2012年12月19日 双曲线标准方程推导双曲线标准方程推导F2 2F1 1Mx

12、Oy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤： 以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线轴，线段段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系xoy. 2. 2.设设点点 设设M（x , y）是双曲线上任意）是双曲线上任意一点一点,双曲线的焦距为双曲线的焦距为2c(c0),则则F1(-c,0),F2(c,0),又设点又设点M与与F1,F2的距离的差的绝对值等于常数的距离的差的绝对值等于常数2a. 3. 3.列列式式|MF1| - |MF2|=2a5.5.化化简简aycxycx2)()(2222即 1 1. .建建系系.4.4.代代换换由两点间的距离公式可得即即 |MF1| -

13、|MF2|=2a2012年12月19日aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax类比椭圆的标准方程，请思考焦点在类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴轴上的上的双双曲线曲线的标准方程是什么？的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).2012年12月19日代数式化简得：代数式化简得：)()(22222222a

14、cayaxac可令：可令：c2-a2=b2 代入上式得：代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2)0,01:2222babyax（即其中其中c c2=a2+b2F2 2F1 1MxOy此即为焦此即为焦点在点在x x轴轴上的双曲上的双曲线的标准线的标准方程方程2012年12月19日F ( c, 0)0, 0( 12222babyax)0, 012222babxay（F(0, c)OxyF2F1MxOy若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?1916)2( , 191612222yxyx）（2012年12月19日焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线的标准方程的标准方程想一想想一想F2F1y

15、xo)0, 0( 12222babxayF1(0,-c), F2(0,c)222bac焦焦 点点 位置确定：位置确定：椭圆看分母大小椭圆看分母大小双曲线看双曲线看x2、y2的系数正负的系数正负焦点在焦点在y轴上的双曲线的图象轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？是什么？标准方程怎样求？F1F2yxoF1(0,-c), F2(0,c)2012年12月19日定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的的关系关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲

16、线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab2012年12月19日已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F F1 1(-5,0), F(-5,0), F2 2(5,0)(5,0)双曲线上双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于一点到焦点的距离差的绝对值等于6 6，则，则 (1) a=_(1) a=_ _ , c =_ , b =_ , c =_ , b =_ (2) (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)(3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF|PF1 1|=10,|=10, 则则

17、|PF|PF2 2|=_|=_354116922yx4或或16课堂巩固课堂巩固2012年12月19日小结小结 -双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为常数为2aF1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，轴，线段线段F1F2的中点的中点o o为原点建立直角为原点建立直角坐标系坐标系1. 建系建系. .2.设点设点3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方

18、程？4.4.化简化简. .F1F2xOy2a|MF| - |MF| |MP21 2a|MF| - |MF| |MP12 2a | |MF| - |MF| | |M21 P 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.02a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？yoF2F1MxF2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：二、二、 双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c

19、,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程aycxycx22222将上述方程化为： aycxycx22222移项两边平方后整理得： 222ycxaacx两边再平方后整理得： 22222222acayaxac由双曲线定义知： ac22 即：ac 022ac设 0222bbac

20、代入上式整理得： 122222acyax两边同时除以 得：222aca)0,0(12222babyax化简化简这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中c2=a2+b2.类比椭圆的标准方程，请思考焦点在类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴轴上的上的双双曲线曲线的标准方程是什么？的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).F1F2yxoy2a2-x2b2= 1焦

21、点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线的标准方程是什么的标准方程是什么?想一想想一想12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，则前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上在哪一个轴上22, yx定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.ca.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyab

22、ab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax三三. .双曲线两种标准方程的比较双曲线两种标准方程的比较 方程用方程用“”号连接。号连接。 分母是分母是 但但 大大小不定。小不定。0, 0,22bababa, 。 222bac如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；如果轴上；如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上。轴上。2xx2yyOMF2F1xyF2F1MxOy定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（

23、c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2四、双曲线与椭圆之间的区别与联系四、双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab讨论：讨论： 当 取何值时，方程 表示椭圆，双曲线，圆 。nm、122 nymx解：由各种方程的标准方程知，当 时方程表示的曲线是椭圆nmnm , 0, 0当 时方程表示的曲线是圆0 nm当 时方程表示的曲线是双曲线0 n

24、m例例1、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6， （1）双曲线的标准方程为）双曲线的标准方程为_ （2）若）若 |F1|=10,则则|F2|=_4或或16221916xy（3）若）若|F1|= 7，则，则|F2|=_13（二）典型例题（二）典型例题三、例题选讲三、例题选讲 0, 5,0, 521FF 例例1 已知两定点已知两定点 ，动点，动点 满满足足 , 求动点求动点 的轨迹方程。的轨迹方程。PP变式训练：变式训练：已知两定点已知两定点 ,动点动点 满满足足 ,求动点求动点 的轨迹

25、方程的轨迹方程 0, 5,0, 521FF PP变式训练：变式训练：已知两定点已知两定点 ,动点动点 满满足足 ,求动点求动点 的轨迹方程的轨迹方程例例2 2: :如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围. .22121xymm 解解: :22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m 由由2m 课堂练习：课堂练习：1、已知点、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，动点，动点P满足满足|PF|PF1 1| - |PF| - |PF2 2|= 10|= 10，则，则P P点的轨迹是点的轨迹是( )( ) A A、双曲线、双曲线 B B

26、、双曲线一支、双曲线一支 C C、直线、直线 D D、一条射线、一条射线2 2、若椭圆、若椭圆 与双曲线与双曲线 的焦点相同的焦点相同, ,则则 a = a = )0(14222ayax12322yx3Dxy22yx 、例例2 2 已知方程已知方程 表示双曲线，表示双曲线，求求 的取值范围。的取值范围。13922 kykxk分析：由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在分析：由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 轴也可能在轴也可能在 轴，故而只要让轴，故而只要让 的系数异号即的系数异号即可。可。xy22yx 、练习：课后练习练习：课后练习32012年12月19日【思路点拨】【思路点拨】(1)是

27、利用待定系数法求双曲线的是利用待定系数法求双曲线的标准方程，待定系数法的关键在于先定位，即确标准方程，待定系数法的关键在于先定位，即确定方程的形式，再定量，即确定定方程的形式，再定量，即确定a、b的值的值.2012年12月19日2012年12月19日2012年12月19日2012年12月19日【思路点拨】【思路点拨】可先由双曲线方程确定可先由双曲线方程确定a、b、c，再利用定义和余弦定理求得，再利用定义和余弦定理求得|PF1|PF2|，从，从而求得而求得F1PF2的面积的面积2012年12月19日2012年12月19日【名师点评】【名师点评】与焦点三角形有关的问题，常用与焦点三角形有关的问题，常用双曲线的定义，并注意与三角形知识相结合，如双曲线的定义，并注意与三角形知识相结合，如余弦定理、勾股定理等，同时要注意整体运算思余弦定理、勾股定理等，同时要注意整体运算思想的应用想的应用2012年12月19日互动探究互动探究把本例中的把本例中的F1PF260改为改为F1PF290，其他条件不变，求，其他条件不变，求F1PF2的面积的面积2012年12月19日2012年