北林高数下8(4)-空间曲线及其方程

1、1第四节第四节 空间曲线空间曲线及其方程及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影2 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间两曲面的交线空间两曲面的交线:xyzO1S2SC0),( zyxF0),( zyxG解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，632 zx表示平面，表示平面， 632122zxyx例例 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？交线为交线为椭圆椭圆C1zxyO23例例 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 022222axyxyxaz解解222

2、yxaz 上半球面上半球面4)2(222ayax 圆柱面圆柱面zyxaOC4zyxO二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, y, z表示成参数表示成参数 t 的函数的函数: :空间曲线的空间曲线的参数方程参数方程. . t vz 例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线的参数方程为的参数方程为,2 时时当当 bh2 上升高度上升高度螺距螺距. .tax cos tay sin )(txx )(tyy )(tzz vbt ,令令M bzayax sincos5例例. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示: 6321)1(22zxyx 0)

3、2(22222xayxyxaz3/ )cos26(tz 变形为变形为,4)2(222ayax 2/ )cos1(taz 引入参数引入参数 , txcos tysin )20( ttaaxcos22 taysin2 )20( t6例例. 求空间曲线求空间曲线 :)(tx )(ty )(tz )( t绕绕 z 轴旋转轴旋转时的旋转曲面方程时的旋转曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1 tttM任任取取点点点点 M1绕绕 z 轴旋转轴旋转, 转过角度转过角度 后到点后到点 , ),(zyxM则则 cos)()(22ttx sin)()(22tty )(tz 20 t这就是旋转曲面满足的参数方程这

4、就是旋转曲面满足的参数方程 . 7直线直线1 xty tz2 绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程轴旋转所得旋转曲面方程? cos12tx sin12ty tz2 20 t消去消去 t 和和 , 得得旋转曲面方程为旋转曲面方程为4)(4222 zyxxzyO8三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线C的一般方程为的一般方程为消去消去z得得投影柱面投影柱面C在在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线C :消去消去 x 得得C 在在yOz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C在在zOx 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程 0),(0),(zyxGzy

5、xF,0),( yxH 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxTzyxCCO9A1.曲线曲线 在在xOy面面上的上的投影柱面投影柱面方程是方程是( ). 03215416222zxzyx01162420)(22 xyxA 001162420)(22zxyxC 0071244)(22xzzyD071244)(22 zzyB10 2. 球面球面 与与 交线交线在在xOy面面上上投影曲线投影曲线方程是方程是()D2222Rzyx azx 0)()(2222zRzyzaB2222)()(RxayxC 0)()(2222zRxayxD2222)()(RzyzaA 11表示表示( ).(

6、A) 双曲柱面与平面双曲柱面与平面x = 2交线交线;(B) 双曲柱面双曲柱面;(C) 双叶双曲面双叶双曲面; (D) 单叶双曲面单叶双曲面.A 214922xxy3.12方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 3254222xzyx.316422 xzy双曲线双曲线. .zyx1OC在在xOy 面上的投影曲线方程？面上的投影曲线方程？ 002222zyyx 1)1()1(1:222222zyxzyxC1322yxz 122zyxyxz122 yxyx 0122zyxyx例例 求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面轴旋转的曲面 的交线在的交线在 xOy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程. 1

7、 zyx解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为此曲线向此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 此曲线在此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 2yz 0 x它与所给平面的它与所给平面的交线为交线为与平面与平面14zxy1所围的立体在所围的立体在 xOy 面上的投影区域面上的投影区域? ?上半球面上半球面和锥面和锥面224yxz )(322yxz 0122zyx在在 xOy 面上的面上的投影曲线投影曲线 )(34:2222yxzyxzC二者交线二者交线.0,122 zyx所围圆域所围圆域:CO15例例 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 21122

8、2zzyx解解(1) 消去变量消去变量 z ：4322 yx在在 xOy面上的投影：面上的投影： 04322zyxxOy面的面的投影柱面投影柱面(2) 曲线在平面曲线在平面 上，上， 21 z在在 xOz面上面上的投影为线段的投影为线段.23|021 xyz16交线方程交线方程: 0222zyxxzy0 z解解求椭圆抛物面求椭圆抛物面xzy 22与平面与平面02 zyx的交线在三个坐标面上的投影曲线方程的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.例例(1) 消去变量消去变量 z， 04522xxyyx 0222zyzy(3) 消去变量消去变量 x，在在 yOz 面投影方程：面投影方程：0 x(2) 消

9、去变量消去变量 y，0 y 042522xxzzx在在 zOx 面投影方程：面投影方程：在在 xOy 面投影方程：面投影方程：17参数方程表示的空间曲线在坐标面上的投影。参数方程表示的空间曲线在坐标面上的投影。在在yOz平面上的平面上的投影：投影：想一想想一想 在在xOz平面上的平面上的投影投影呢呢?注注在在xOy平面上的平面上的投影投影: tztytxsincos例例 螺旋线螺旋线0 z 0122zyx tztysin 0sinxzy tytxsincos0 x18 填空题填空题相交于原点的两条直线相交于原点的两条直线.16322 zy1.母线平行于母线平行于x轴且通过曲线轴且通过曲线的的柱

10、面方程柱面方程是是 0162222222zyxzyx 2.双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面) 与与xOy面的交线面的交线是是)0, 0(222 qpzqypx19空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT四、小结四、小结空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程20 xOz面投影方程面投影方程:yOz面投影方程面投影方程:曲线在曲线在xOy面投影方程面投影方程: 0022zaxyx 022yaaxz 00)(2224xzyaz解答解答思考题思考题求曲线求曲线)0(0222222 aaxyxazyx在在各坐标面各坐标面上的上的投影方程投影方程.zyxaOC球面与圆柱面的交线球面与圆柱面的交线C. 21xzy2zyx1P36 题题1 (2)21 x2 y(1)224yxz 0 xy答案答案: OOzxy(3)aa222azx 222ayx O2