（全国通用）高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案 理 新人教B

1、第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1.分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，

2、区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.常用结论与微点提醒1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤

3、的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为()A.6 B.5C.3 D.2解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.答案B3.(教材练习改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方

4、法共有()A.24种 B.30种C.36种 D.48种解析需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有432248(种).答案D4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种(用数字作答).解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2222232(种).答案325.(2018阜新月考)已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为_(用数字作答).解析分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选

5、一个门出有4种方法，所以共有5420种走法.答案20考点一分类加法计数原理的应用【例1】 (1)满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_.(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_.解析(1)当a0时，b的值可以是1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a0时，要使方程ax22xb0有实数解，需使44ab0，即ab1.若a1，则b的值可以是1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a1，则b的值可以是1，0，1，(a，b)的个数为3；若a2，则b的值可以是1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个

6、数为443213.(2)当个位数字为2时，十位数字为1，共1个；当个位数字为3时，十位数字为1，2，共2个；当个位数字为4时，十位数字为1，2，3，共3个；当个位数字为9时，十位数字为1，2，3，4，7，8，共8个；由分类加法计数原理可知满足条件的两位数的个数为123836.答案(1)13(2)36规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(

7、1)中易漏a0这一类.【训练1】 (1)从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3 B.4 C.6 D.8(2)如图，从A到O有_种不同的走法(不重复过一点).解析(1)以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，所求的数列共有2(211)8个.(2)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有ABO和ACO共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有ABCO和ACBO共2种不同的走法，由分类加法计数原

8、理可得共有1225种不同的走法.答案(1)D(2)5考点二分步乘法计数原理的应用【例2】 (1)(2018石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A.10种 B.25种 C.52种 D.24种(2)(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18 C.12 D.9解析(1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.(2)分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最

9、短路径.由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路径.故选B.答案(1)D(2)B规律方法(1)在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.(2)利用分步乘法计数原理应注意：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.【训练2】 (1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为_.(2)(2018合肥质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种.解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5

10、种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为554100.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.答案(1)100(2)4554考点三两个计数原理的综合应用(多维探究)命题角度1组数、组点、组线、组对及抽取问题【例31】 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对

11、”的个数是()A.48 B.18 C.24 D.36解析在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.答案D命题角度2涂色、种植问题【例32】 (一题多解)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.解法一按所用颜色种数分类.第一类：5种颜色全用，共有A种不同的方法；第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2A种不同的方法；第三类：只用3种颜色

12、，则A与C，B与D必定同色，共有A种不同的方法.由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为A2AA420(种).法二以S，A，B，C，D顺序分步染色.第一步：S点染色，有5种方法；第二步：A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步：B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步：C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种).规律方法(1)注意

13、在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.例题中，相邻顶点不同色，要按A，C和B，D是否同色分类处理.【训练3】 (1)(一题多解)(2018青岛质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A.72种 B.48种C.24种 D.12种(2)如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答)

14、.解析(1)法一首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有432372种涂法.法二按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有432124(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有43224(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有2424272(种).(2)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32840(个).

15、答案(1)A(2)40基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2018郑州调研)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A.8种 B.9种 C.10种 D.11种解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3339(种)不同的监考方法.答案B2.从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数的个数是()A.30 B.42 C.36

16、 D.35解析因为abi为虚数，所以b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数.答案C3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40 B.16 C.13 D.10解析分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面.答案C4.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有()A.18个 B.15个 C.12个 D.

17、9个解析依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成3个数分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数分别为211，121，112.共计363315(个).答案B5.某电话局的电话号码为139，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A.20 B.25 C.32 D.60解析依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为2532.答案C

18、6.集合Px，1，Qy，1，2，其中x，y1，2，3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9 B.14 C.15 D.21解析当x2时，xy，点的个数为177(个).当x2时，由PQ，xy.x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7714(个).答案B7.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为()A.3 B.5 C.9 D.12解析只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10

19、张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理得，共有3519(种).答案C8.从集合1，2，3，4，10中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()A.32个 B.34个 C.36个 D.38个解析将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C2种，共有2222232个.答案A二、填空题9.某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有_种.解析因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，

20、坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有437(种).答案710.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答).解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法.第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336(种).答案3611.在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最

21、多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有_种.解析设两个不同的小球为A，B，当A放入1号盒或者6号盒时，B有4种不同的放法；当A放入2，3，4，5号盒时，B有3种不同的放法，一共有423420种不同的放法.答案2012.如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法(用数字作答).解析区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法.所以共有5445433260种涂色方法.答案260能力提