信号检测与估计5

1、 波形估计波形估计 信号的被估计参量是随机过程或随机的信号的被估计参量是随机过程或随机的未知过程，则为波形估计。未知过程，则为波形估计。 波形估计是动态估计，信号的参数是随波形估计是动态估计，信号的参数是随时间变化的。时间变化的。 给定有用信号的加性噪声的混合波形，给定有用信号的加性噪声的混合波形，寻求一种线性运算作用于此混合波形，得到寻求一种线性运算作用于此混合波形，得到的结果是信号与噪声的最佳分离，最佳的含的结果是信号与噪声的最佳分离，最佳的含义就是使估计的均方误差最小。义就是使估计的均方误差最小。线性滤波器线性滤波器)( tx)()( tsty)()()(tntstx )0(tt 1)

2、=0，则为滤波。，则为滤波。2) 0，则为预测（外推）。，则为预测（外推）。 3) 0，则为平滑（内插）。，则为平滑（内插）。例例1: 设信号为设信号为s(t)为均值为零的平稳随机过程。为均值为零的平稳随机过程。求求 的估计的估计)()(tasts解解: 采用线性最小均方误差估计采用线性最小均方误差估计)()(2tastse0),(ts0),(ts)0()(),0()(ssssrraarr最小最小0)()()(tstastse由正交原理由正交原理)()0()()(tsrrtsss则则估计误差的方差为估计误差的方差为)0()()0()()0()()()()0()()()(var22sssssss

3、rrrtsrrtsetsrrtsets例例2: 设信号为设信号为s(t)为均值为零的平稳随机过程。为均值为零的平稳随机过程。用用 及其导数及其导数 对对 进行预测。进行预测。)()()(/tbstasts解解:)(ts)(/ts0)()()()(0)()()()(/tstbstastsetstbstastse由线性最小均方误差估计和正交原理由线性最小均方误差估计和正交原理0),(ts)()(/ssssrr由于由于0)0()0()(0)0()0()(/ssssssssssbrarrbrarr由于由于0| )(0/ssr)0()(,)0()(/ssssssrrbrra)()0()()()0()()

4、(/tsrrtsrrtsssssss)0()()0()()0()()()0()()()0()()()(var/22/sssssssssssssrrrrrtstsrrtsrrtsets例例3： 考虑平滑问题，已知观测波形在两个端点的数据考虑平滑问题，已知观测波形在两个端点的数据s(0)和和s(t)，估计（，估计（0，t）区间内任意时刻）区间内任意时刻t的信号的信号s(t)。), 0(),()0()(tttbsasts解解:由线性最小均方误差估计和正交原理由线性最小均方误差估计和正交原理0)()()0()(0)0()()0()(tstbsastsestbsastse0)0()()(0)()0()(

5、ssssssbrtarttrtbrartr)()0()()()()0(,)()0()()()()0(2222trrtrtrttrrbtrrttrtrtrrassssssssssss)()0()(tbsasts)()()0()()()0()()(varttbrtarrtstbsastsetssss一、维纳滤波一、维纳滤波 维纳滤波器就是在最小均方误差标准下维纳滤波器就是在最小均方误差标准下的最佳滤波器。的最佳滤波器。 tdxthty0)(),()( tdtxtgty0)(),()(或或式中式中),(th为冲击响应。为冲击响应。),(tg 为加权函数。为加权函数。),(),(ttgth ),(),

6、( tthtg在宽平稳随机过程情况下：在宽平稳随机过程情况下： duutxugty)()()(我们考虑的是我们考虑的是lti（线性时不变系统），系统（线性时不变系统），系统参数与时间无关。即参数与时间无关。即)()(),(hgtg duutnutsug)()()(误差误差)()()(tytste 均方误差均方误差)()()(22tytsetee duutxtseugtse)()()(2)(2 dudvvtxutxevgug)()()()( duurugrxsss)()(2) 0( dudvvurvgugxx)()()(寻求维纳滤波器的问题就归结为求使寻求维纳滤波器的问题就归结为求使 达到最小值

7、的线性系统的加权函数达到最小值的线性系统的加权函数 。)(2tee)(tg用变分法解决：用变分法解决：以受扰加权函数以受扰加权函数 代替代替)(ug)()(uug duuruugrteexsss)()()(2) 0()(2 dudvvurvvguugxx)()()()()( 对对 求导，并令求导，并令 时该导数为时该导数为0。)(2tee0 得得0)()()()( dvduvurugvrvxxxs非因果解：非因果解：duurugrxxxs )()()(作拉普拉斯变换作拉普拉斯变换)()()(sssgessxxsxs )()()(ssesssgxxsxs 当信号与噪声不相关：当信号与噪声不相关：

8、)()()(ssesssgxxsss ),(ssxsnnssxxrrrrr 最小均方误差为：最小均方误差为： duurugreeixsss)()()0(min2 dejsjgjsjxsss)()()(21当信号与噪声不相关，且当信号与噪声不相关，且 =0时时： )()()()(21min2jsjsjsjseeinnssnnss 信号与噪声的功率谱在频域上重叠越信号与噪声的功率谱在频域上重叠越少少,滤波效果就越好。滤波效果就越好。例例1、如信号谱为、如信号谱为1/2)(2 sss噪声谱为噪声谱为1)( nns求出最佳的非因果滤波器（求出最佳的非因果滤波器（ =0 ）。）。解：解：13112)()

9、()(222 sssssssssnnssxx12)()(2 sssssssxs32)()()(2 sssesssgxxsss33/ 133/ 132)(2 ssssg tteetg333131)() 0() 0( tt577. 0min2 eei例例2、)()()(tntstx )(tx 与与 均值为零，互不相关均值为零，互不相关)(ts|)(asser )0( a|)(bnner )0( b设计一个维纳滤波器设计一个维纳滤波器 的冲击响应的冲击响应)()()(xxxsssh )(h解：解：22|2)()( aaserssass22|2)()( bbsernnbnn)(1 )()()()()(

10、)(2ababbbaassssshnnssssxxxs 2)()()(|abeababbbaah )()()()(min2nnssnnsssssseeibaabdabbaab 2122因果解：因果解：0)()()( xsxxrduurug)0( )()()()(arduurugxsxx 频域解法：频域解法：)( )()()()(saesssssgsxsxx 0)()()()( dvduvurugvrvxxxs已知输入和输出谱函数已知输入和输出谱函数)(| )(|)(2jsjgjsxxy 或或)()()()(sssgsgssxxy 而功率谱而功率谱 与相关函数与相关函数 的关系为：的关系为：)(

11、 jsy)(rderjsjyy )()(dejssjyy )(21)(如如)()()(ssssssyyy 则则)()()()()(saesssssssgsxsxxxx )()()()()()(ssesssssasssgxxsxsxxxx对对 的解，应有的解，应有0 )()()(1)(ssesssssgxxsxsxxdsssesssstgxxtxsxx )()()(121)()0( t0)( tg)0( tdsssesssssssseeixxtxsxxxxss )()()()()(min2例例3、如信号谱为、如信号谱为1/2)(2 sss噪声谱为噪声谱为1)( nns求出最佳的因果滤波器（求出最

12、佳的因果滤波器（ =0 ）。）。解：解：13112)()()(222 sssssssssnnssxx12)()(2 sssssssxs1313)()()( ssssssssssxxxxxx313113) 1)(3(2)()( ssssssssxxxs313113131)()()(1)( ssssssesssssgxxsxsxx 0) 13()(3tetg) 0() 0( tt732. 0min2 eei二、卡尔曼滤波二、卡尔曼滤波特点：特点：1、采用最小均方误差准则。、采用最小均方误差准则。 2、放弃用冲击响应和系统函数描述线、放弃用冲击响应和系统函数描述线性系统。性系统。 3、用状态变量描述线性系统。、用状态变量描述线性系统。 4、用正交原理代替维纳、用正交原理代替维纳-霍夫方程。霍夫方程。 5、用递推快速求解。、用递推快速求解。 卡尔曼滤波不需要全部过去的观测数据，卡尔曼滤波不需要全部过去的