工科数学分析教学资料139条件极值

1、13.9 13.9 条件极值条件极值2条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值的最大值的最大值问题实质：求问题实质：求zyx2312, zyxzyx满足满足同时同时拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法找函数找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的可能极值点，下的可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxl 其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxlyxyxflyxyxflyyyxxx 4解解 12 0 020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx 则则 )4( ,12)3(

2、,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)，(2) 得得(5) ,32xy 由由 (1)，(3) 得得(6) ,31xz 5.691224623max u将将 (5)，(6) 代入代入 (4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值在条件组在条件组)( , 2 , 1 , 0),(21nmmkxxxnk 的限的限求目标函

3、数求目标函数. ),(21的极值的极值nxxxfy ,制下制下其其拉拉格格朗朗日日函函数数是是：),(2121mnxxxl mknkknxxxxxxf11121),( ),( . , 21为拉格朗日常数为拉格朗日常数其中其中m )1(一般形式：一般形式： ,), 2 , 1( 内有内有均在均在如上如上和和设设dmkfk ,一阶偏导数一阶偏导数是是若若 ),( )0()0(2)0(10dxxxpn ,上述问题的极值点上述问题的极值点 且雅可比矩阵且雅可比矩阵01111pnmmnxxxx ,m的秩为的秩为使得使得个常数个常数则存在则存在 ,)0()0(2)0(1mm ),()0()0(1)0()0

4、(1mnxx 连续的连续的的的为拉格朗日函数为拉格朗日函数)1(.稳定点稳定点1定定理理9.9.: ),( )0()0(1)0()0(1为下述方程的解为下述方程的解即即mnxx 0),(0),(00111111111nmnmknkknxmkkkxxxlxxlxxflxxflmn :骤骤条件极值问题的一般步条件极值问题的一般步用拉格朗日乘数法求解用拉格朗日乘数法求解; 1.和条件组和条件组根据问题确立目标函数根据问题确立目标函数 2.作拉格朗日函数作拉格朗日函数),(2121mnxxxl mkkkf1 ,. 3有稳定点有稳定点求出拉格朗日函数的所求出拉格朗日函数的所这些稳定点这些稳定点;就就是是

5、可可能能的的条条件件极极值值点点. , 4.据理说明确实是据理说明确实是值点值点对每一个可能的条件极对每一个可能的条件极?据什么理据什么理, 2 , 1 , 0),( 1.21mkxxxnk 如条件组如条件组 ,满足隐函数定理的条件满足隐函数定理的条件个变量个变量则在则在nnxxx,21中唯一确定了其中中唯一确定了其中.个变量的一组隐函数个变量的一组隐函数个变量为其余个变量为其余mnm 得得到到一一个个有有个个函函数数代代入入目目标标函函数数将将这这 ,fm.个独立变量函数个独立变量函数mn ,算出此函数的黑赛矩阵算出此函数的黑赛矩阵 ,应用隐函数求导法则应用隐函数求导法则由此判断极值点的由此

6、判断极值点的.类型类型,),( 2.)0()0(1)0()0(1的稳定点的稳定点是是若若lxxmn 020)( pkjxxlphl : 则则; ,)( 1.00取条件极小值取条件极小值在在那么那么正定正定如如pfphl. ,)( 2.00取条件极大值取条件极大值在在那么那么负定负定如如pfphl. :元元函函数数的的泰泰勒勒公公式式利利用用证证明明n,),( )0()0(2)0(10dxxxpn 记记. 3.判断判断根据问题本身的特点来根据问题本身的特点来而其拉格朗日函数而其拉格朗日函数值值如果某实际问题确有极如果某实际问题确有极 ,仅有一个稳定点仅有一个稳定点或逼近或逼近且在定义域的边界上且

7、在定义域的边界上(,)不取极值不取极值边界时边界时的的则这个稳定点就是所求则这个稳定点就是所求.条件极值点条件极值点. 3. . , 2. 1.较为常用较为常用一般不用一般不用计算量大计算量大 :1例例rzyxxyzzyxf1111),( 在条件在条件求求)0,( rzyx.下的极小值下的极小值:解解设拉格朗日函数为设拉格朗日函数为).1111(),(rzyxxyzzyxl 0000 llllzyx由由,3:rzyxl 稳定点为稳定点为知知4)3( r ? )3()3 ,3 ,3( 3是否为条件极值是否为条件极值判断判断rrrrf ),(1111yxzzrzyx 看成隐函数看成隐函数把条件把条

8、件则目标函数则目标函数).,(),(),(yxfyxzxyzyxf , yyxyxxyxyxfffffzz计算出计算出,)3 ,3(正定正定rrhf ,)3 ,3 ,3(为极小值点为极小值点故稳定点故稳定点rrr.进而最小值点进而最小值点,)3( 3rxyz 所以所以)1111rzyx 且且0,( rzyx, czbyax 令令1)111( cbar则则 )3( 3得得代入代入rxyz 31)111(3 cbaabc. )111(3 31abccba 或或解解设设),(000zyxp为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxf, 过过),(000zyxp的切平面

9、方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzv ,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 v 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxg 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxgggzyx可得可得30

10、ax 30by ，30cz 此为唯一的驻点此为唯一的驻点四面体的体积最小四面体的体积最小abcv23min .根据实际情况四面体体积有最小值根据实际情况四面体体积有最小值22xyz1xyz 例：抛物面例：抛物面被平面被平面截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离解：原问题转化为解：原问题转化为： 22222, ,1f x y zxyzxyzxyz 2222222, , , ,1220220131351120,23, 33, 732233010 xyzl x y zxyzxyzxyzlxxlyylylxyzlxyz 由于函数由于函数222222

11、22222, ,1, ,1313239 5 322xyzf x y zxyzdxy zf x y zxyz ，在有界集上0,0,1,2,3,.iixin 1212.111212.nnnnnnxxx xx 例设例设证明：证明：1212.1 11212.nnn nnnxxx xx 11121121111212.ln.ln.lnln.nnniininninniinnxxxxxx 证明：分析证明：分析等价于等价于 niiinnxxxxxfn111ln),ln(),(1 证：证：，下的极值，下的极值在条件在条件 niiicx1 iiiiiiixxxf , 0cxxiniiniii 11相加得相加得两端乘

12、两端乘驻点驻点所以所以,111 niiiniicxc ,22ijiijixxxf niczhf 1220)(以为最大值以为最大值取极大值，且唯一，所取极大值，且唯一，所 iiiicx logln.1，得不等式，得不等式由条件由条件 niiicx 1111111111 xxxxnn.等号成立显然等号成立显然2222221xyzabc 0ax by cz2222 2 2222 22 2abc a b csa ab bc c例证明椭球面例证明椭球面与平面与平面相交的所截的椭圆面积为相交的所截的椭圆面积为2222221xyzabc0ax by cz12,dd12d d证明：设椭球面证明：设椭球面与平面与平面相交的所截的椭圆的长短轴为相交的所截的椭圆的长短轴为则则s=引入下面的极值问题：引入下面的极值问题： 222222222, , , ,1xyzl x y zxyzaxby czabc 22222222222222222222222202202201001111111xxxxlxaaylybbzlzccxyzlabclaxbyczxyzdabcbcacab 222222222222abca b csa ab bc c 222x206.cxoy35.yzxyz 例例求求 曲曲 线线：上上 距距 离离面面最最 远远 和和 最最 近近 的的 点点因此所求最值因此所求最值为