等差数列的性质1凌荣寿

1、皖黄山市徽州区第一中学 凌荣寿知识回顾知识回顾等差数列 几何意义几何意义通项通项公差公差定义定义AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数. . . . .【说明说明】AAA数列数列 an 为等差数列为等差数列an+1-an=d或或an+1=an+dd=an+1-an公差是公差是 唯一唯一 的常数。的常数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点等差数列各项对应的点都在同一条直线上都在同一条直线上.一、判定题：下列数列是否是等差数列？. 9 ，7，5，3，, -2n+11， ；. -1，1

2、1，23，35，,12n-13，；. 1，2，1，2，；. 1，2，4，6，8，10， ；. a, a, a, a, ， a， ；复习巩固：复习巩固： (1)等差数列等差数列8，5，2，的第，的第5项是项是 AA AAAAAAA (2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第n项是项是A -4an = -5+(n-1).(-4)10【说明说明】 在等差数列在等差数列an的通项公式中的通项公式中 a1、d、an、n 任知任知 三三 个，个，可求出可求出 另外一个另外一个二、填空题：二、填空题：简言之“知三求四知三求四”(3)已知已知an为等差数列，为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21

3、，则，则n = 上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，如的项，如a1+a2=a3 成立吗？成立吗？【说明说明】 3.更一般的情形，更一般的情形，an= ，d= 等差数列的性质等差数列的性质1. an为等差数列为等差数列 2. a、b、c成等差数列成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）为常数）am+(n - m) dmnaamnb为为a、c 的等差中项的等差中项AA2cab 2b= a+c4.在在等差数列等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：注意：

4、上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的； 例例1. 梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽，最低一级宽110 cm，中间，中间 还有还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.项数（上） 123456789101112数列的项数列的项33110项数（下）121110987654321分析：分析：例题分析例题分析 解法一解法一: 用用an题中的等差数列，由已知条件，有题中的等差数列，由已知条件，有 a1=33 ，a12=110 ，n=12 又又a12=a1+(121)d即即1103311d 所以所以

5、 d=7 因此，因此， a2=33+7=40 a3=40+47 a11=96+7=103 答：梯子中间各级的宽从上到下依次是答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、 47cm、 54cm、 61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.例例2 .在在等差数列等差数列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20例题分析例题分析(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8(3) 已知已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 =

6、 a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1523分析：分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ， 解解 、 得得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或或d= _2或或2, 从而从而a14= _3或或31课堂练习课堂练习1 1. .等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a -5-5， -3-3a +2 2，则，则 a 等于（等于（ ) )

7、 A . -. -1 1 B . . 1 1 C . .-2 -2 D. 2B2. 在在数列数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=4 -353. 在在等差数列等差数列an中中 (1) 若若a59=70，a80=112，求，求a101； (2) 若若ap= q，aq= p ( pq )，求，求ap+qd=2,a101=154d= -1, ap+q =0研究性问题研究性问题300 5004. 在在等差数列等差数列an中中, a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多

8、少项在300到到500之间？之间？ d=5,提示：提示：an=78+5n52845244 nn=45，46，84402.已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求，求a 3 ?1. 若若a12=23，a42=143， an=263，求，求n.3. 三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的，首尾二数的积为积为12，求此三数，求此三数. .d= 4n=72a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27设这三个数分别为设这三个数分别为a-d a，a+d，则，则3a=12，a2-d2=126，4，2或或2，4，6 上面的命题中的等式两边有

9、上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，如的项，如a1+a2=a3 成立吗？成立吗？【说明说明】 3.更一般的情形，更一般的情形，an= ，d= 一、知识巩固一、知识巩固1. an为等差数列为等差数列 2. a、b、c成等差数列成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）为常数）am+(n - m) dmnaamnb为为a、c 的等差中项的等差中项AA2cab 2b= a+c4.在在等差数列等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：注意：上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一

10、定成立是不一定成立 的；的； 5. 在等差数列在等差数列an中中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 =前前100个自然数的和：个自然数的和：1+2+3+100= ； 前前n个奇数的和：个奇数的和：1+3+5+(2n-1)= ；前前n个偶数的和：个偶数的和：2+4+6+2n= .思考题：思考题：如何求下列和？如何求下列和？5050n2n(n+1)二、学习新课二、学习新课等差数列前等差数列前n 项和项和Sn = = .2)(1naan dnnna2)1(1 =an2+bna、b 为常数为常数Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an (1)Sn=an+an-1+an-2+a3+a

11、2+a1 (2)(1)+ (2)得得2Sn=n(a1+ an)【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫 ；等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；an为等差数列为等差数列 ，这是一个关于，这是一个关于 的的 没有没有 的的“ ” 倒序相加法倒序相加法梯形的面积公式梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（ 注意注意 a 还还可以是可以是 0）例例1 已知数列已知数列an中中Sn=2n2+3n， 求证：求证：an是等差数列是等差数列.等差数列等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，项数为，项数为n，第，第n项为项为an，前，前n项和为项和为Sn，请填写下表：，请填写下表： 三、课堂练习三、课堂练习 a1dnan sn51010-25025