数列综合应用放缩法

1、数列综合应用（ 1）用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和二、典例讲解1先求和后放缩例 1 正数数列 an 的前 n 项的和 Sn ，满足2 Sn an 1 ，试求：（1）数列 an 的通项公式；（2）设 bn，数列 bn 的前 n 项的和an an 1为 Bn ，求证： Bn 122. 先放缩再求和 放缩后成等差数列，再求和例2已知各项均为正数的数列 an的前 n

2、项和为 Sn,2且 an an2Sn.（1） 求证： Sn22anan 1（2） 求证： Sn求证： 2S1 S2 放缩后成等比数列，再求和 例 3（ 1）设 a，nN*，a 2，证明：2n n na2n （ a）n （a 1） an ；1（2）等比数列 an中， a11 ，前 n 项的和为 An，22an 且A7，A9，A8成等差数列设 bnn ，数列 bn1 an前n项的和为 Bn，证明： Bn13 放缩后为差比数列，再求和 例 4已知数列 an 满足： a1 1，an 1 (1 2nn )an(n 1,2,3 )求证：n1an 1an2n 放缩后为裂项相消，再求和 例 5在 m（m2）个

3、不同数的排列 P1P2Pn 中， 若 1iPj（即前面某数大于后面某数） ， 则称 Pi与 Pj 构成一个逆序 . 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数 . 记排列 （n 1）n（n 1） 321 的逆序数为 an，如排列 21 的逆序数 a1 1，排列 321的 逆序数 a3 6 （1）求 a4、 a5，并写出 an的表达式；（2）令 bn anan 1 ，证明：an 1 an2n b1 b2bn 2n 3 ，n=1,2,.高考真题再现：321.（06 浙江卷） 已知函数 f （x） x3 x2 ， 数列 xn（ xn 0）的第一项 x1 1，以后各项按如下方式取定：曲线 yf（x）

4、在 （xn 1, f（xn 1） 处的切线与经过（0，0）和（ xn ，f （xn） ）两点的直线平行（如图）求证：当* n N*时，()xn2 xn3xn 12xn 1 ；1 n 11 n 2（）( )n 1xn ( ) 。2.（06 福建卷） 已知数列 an 满足a1 1,an 1 2 an 1（n N ）.（I ）求数列 an 的通项公式；（II ）证明：n213a1a2a2 .a3an an 1nn2(nN*)3.（07 浙江）已知数列an中的相邻两项a2k 1，a2k是关于 x 的方程2 x(3kk2k)x3k2k0的两个根，且 a2k 1 a2k（k 1，2，3，L ） （ I ）

5、求 a1 ， a2 ， a3 ， a7 ；II ）求数列 an 的前 2n项和 S2n ；1 sin n)记 f (n) 32 sin n( 1)f (4)a5 a6( 1)f (n 1)a2n 1a2 n求证：1 5 *16Tn 254(n N*)( 1)f (2) a1a2( 1)f (3) a3a44.（07湖北） 已知 m，n 为正整数，I ）用数学归纳法证明：当 x1时，(1 x)m 1 mx ；II）对于 n6 ，已知 1n3求证 1m m n3m1， m 1，2，L ， n ；2III ）求出满足等式 3n 4n L(n 2) n (n 3)m的所有正整数 n 5. （08 辽宁

6、） 在数列 an , bn 中, a1 2,b1 4 ,且an,bn,an 1成等差数列 ,bn,an1,bn 1成等比数列求 a2,a3,a4及b2,b3,b4, 由此猜测 an , bn 的通项 公式, 并证明你的结论证明 :1a1 b11La2 b215an bn 12数列综合应用（ 1）用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和二、典例讲解 1先求和后放缩 例

7、 1 正数数列 an 的前 n 项的和 Sn ，满足2 Sn an 1 ，试求：（1）数列 a n 的通项公式；1（2）设 bn，数列 bn 的前 n 项的和an a n 1为 Bn ，求证： Bn 122. 先放缩再求和 放缩后成等差数列，再求和例 2已知各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 Sn ,且 an2 an 2Sn .22(1) 求证：anan 1 ；Sn；4(2) 求证：2S1S2Sn2 放缩后成等比数列，再求和例 3( 1)设 a，nN*，a 2，证明：2n n na ( a) (a 1) a ；1(2)等比数列 an中， a11 ，前 n 项的和为 An，22an且 A7

8、，A9，A8成等差数列设 bnn ，数列 bn1 an1前 n 项的和为 Bn，证明： Bn 3 放缩后为差比数列，再求和 例 4已知数列 an 满足： a1 1，an 1an 1(1 2nn )an(n 1,2,3 )求证：n1an 3 2n 1 放缩后为裂项相消，再求和例 5在 m（m2）个不同数的排列 P1P2Pn 中， 若 1iPj（即前面某数大于后面某数） ， 则称 Pi与 Pj 构成一个逆序 . 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数 . 记排列 （n 1）n（n 1） 321 的逆序数为 an，如排列 21 的逆序数 a1 1，排列 321的 逆序数 a3 6 1）求 a4

9、、 a5，并写出 an的表达式；2）令 bnanan 1 ，证明：an 1an高考真题再现：321.（06 浙江卷） 已知函数 f （x） x3 x2 ， 数列 xn（ xn 0）的第一项 x1 1，以后各项按如下方式取定： 曲线 y f（x）在（xn 1, f（xn 1） 处的切线与经过0，0）和（ xn， f （xn ） ）两点的直线平行（如图） 求证：当 n N* 时，2() xn xn2xn 1 ；3xn2 12.（06 福建卷） 已知数列 an 满足a1 1,an 1 2 an 1(n N ).I ）求数列 an 的通项公式；ann *n (n N * ).an 12II ）证明：

10、n 1 a1 a22 3 a2 a33.（07 浙江） 已知数列 an 中的相邻两项 a2k 1，a2k2 k k是关于 x的方程 x2 （3k 2k ）x 3k 2k 0的两个根，且 a2k 1 a2k（k 1，2，3，L ） I )求 a1 ， a2 ， a3 ， a7 ；II ）求数列 an 的前 2n项和 S2n ；)记 f (n)1 sin n2 sin n3，( 1)f (3) ( 1)f (4)( 1)f (n 1)a2n 1a2 n求证：1 5 *16 Tn 254 (n N* )a1a2a3a4 a5 a6T ( 1)f (2)Tn4.（07湖北） 已知 m，n 为正整数，I ）用数学归纳法证明：当 x1时，(1 x)m 1 mx ；II）对于 n6 ，已知mm12m求证 1 mn3，m1，2，L ，III ）求出满足等式3n 4n(n 2) nn；(n 3)m的所有正整数 n