高等数学下教学资料new第七节laurent级数

1、第七节第七节 laurentlaurent级数级数一、一、含负幂的幂级数含负幂的幂级数二、二、解析函数在环形域的幂级数展开解析函数在环形域的幂级数展开三、三、把环形域的解析函数展开为把环形域的解析函数展开为laurent式式电气学院学习部资料库一、含负幂的幂级数一、含负幂的幂级数101()()()() nmnmnnnccczacc zazazacza 1、含负幂的幂级数的一般形式、含负幂的幂级数的一般形式规定：规定： 01011()()()()()()nnnnnnmnmnnnnczacc zaczaccczazazacza 当当且且仅仅当当正正、负负幂幂项项部部分分 和和 都都收收敛敛时时，

2、才才称称收收敛敛电气学院学习部资料库2、收敛条件、收敛条件正幂项部分:正幂项部分:20210()( )()nnnnnnczar ,zars zcza. 是一般幂级数，设其收敛半径为是一般幂级数，设其收敛半径为则当时，可记则当时，可记负幂项部分:负幂项部分:1,za 令令11()nnnnnnczac 则=,则=,1nnn rrc 它是关于的一般幂级数，可设其收敛半径为 ，它是关于的一般幂级数，可设其收敛半径为 ，则当时，级数收敛。则当时，级数收敛。电气学院学习部资料库11rr 现记=，现记=，1111rzarzar 则当=，即时，则当=，即时，12()( )nnnczasz 负幂项级数收敛,记其

3、和函数为；负幂项级数收敛,记其和函数为；11()nnnzarcza 当时，级数发散。当时，级数发散。()nnncza 含负幂项级数 含负幂项级数 12(1) rr 若，若，1212()( )( )( )nnnrz -arczas zs zsz 正幂项部分和负幂项部分在环形域 正幂项部分和负幂项部分在环形域内同为收敛，故原级数收敛为内同为收敛，故原级数收敛为 电气学院学习部资料库12()nnnrz -arcza 在环形域以外，正幂项部分或负幂项 在环形域以外，正幂项部分或负幂项部分发散，按规定，原级数发散。部分发散，按规定，原级数发散。12()nnnrz -arczas z 此时，在环形域内，级

4、数此时，在环形域内，级数绝绝 对收敛和内闭一致收敛，且其和函数对收敛和内闭一致收敛，且其和函数( )在该环域内解析、可逐项求导、逐项( )在该环域内解析、可逐项求导、逐项 注： 注：求积分。求积分。12(2) rr 若，若，()nnncza 原级数处处发散原级数处处发散电气学院学习部资料库12(3) rr 若 ，若 ，12()nnnczaz -arr 原级数在圆周以外发散；原级数在圆周以外发散；12z -arr在圆周上，既可能收敛，也可能发散。在圆周上，既可能收敛，也可能发散。电气学院学习部资料库二、解析函数在环形域的幂级数展开二、解析函数在环形域的幂级数展开 laurent级数级数laure

5、nt定理1（）定理1（）12( )( )()nnnf zrzarf zcza 如果在环形域解析，则它可展开为幂级数如果在环形域解析，则它可展开为幂级数 11( ) (0, 1, 2,)2()nnkfcdnia 其中，其中， ， ，laurentka称为系数， 是环形域内包围 在其内部的任一简单闭称为系数， 是环形域内包围 在其内部的任一简单闭曲线。曲线。12laure ntlauren ()( )tnnnczaf zrzar 是在的是在的级数级数或或展开式展开式。电气学院学习部资料库:证明证明12,grzar如图，记 为环形域如图，记 为环形域1122:, :karkar记记zg 12rr存在

6、正数 和 满足：存在正数 和 满足：1122rrzarr( )f zg因 在内解析，故因 在内解析，故21211( )( )21( )1( ) 22kkkkff zdizffddiziz 电气学院学习部资料库2,kzaa 当当时时，故故11()()zaza 1()(1)zaaa 10()()nnnzaa 2k 上述展式关于 在闭集上一致收敛，由逐项积分性，上述展式关于 在闭集上一致收敛，由逐项积分性，22101( )1()( )22()nnkknfzadfdizia 2101( )()2()nnknfdzaia 0()nnncza 电气学院学习部资料库1,kzaa 类类似似地地，当当时时，故故

7、11()()zaza 1()(1)azaza 10()()mmmaza 11101( )1()( )22()mmkkmfadfdiziza 111011( )()2()mmkmfadiza 1111( )()2()nnknfdzaia 1()nnncza 电气学院学习部资料库1( )()nfga 又在 内解析，由闭路变形定理，又在 内解析，由闭路变形定理，211111( )1( ) 2()2()1( ) 2()nnkknkffddiaiafdia ka其中， 是环形域内包围 在其内部的任一简单闭曲线。其中， 是环形域内包围 在其内部的任一简单闭曲线。到到此此，定定理理证证毕毕。电气学院学习部资

8、料库laurent定定理理2 2（展展开开的的唯唯一一性性）12( )laurentf zrzar 如如果果 在在环环形形域域 解解析析，则则它它在在该该环环域域的的展展开开式式是是唯唯一一的的。:证证明明 ( )laurent( )()nnnf zf zaza假假设设在在环环形形域域内内展展成成的的级级数数为为 kk并并设设 为为环环形形域域内内的的任任意意一一条条简简单单闭闭曲曲线线，则则 ( )()nnnfaa1()mka 1 1两两边边同同乘乘以以，再再沿沿曲曲线线 作作积积分分，电气学院学习部资料库1111( )1()22()()nnkknmmfdaa diiaa 1()2n mnk

9、naadi 由于由于11, 1()20, n mknmadinm 故故11( )2()mkmfdaia 即即 , (0, 1, 2,)mmacm( )laurentf z也就是，在环形域内展成的级数是唯一的，它也就是，在环形域内展成的级数是唯一的，它就如定理1所示。就如定理1所示。电气学院学习部资料库1. 直接法直接法三、把环形域的解析函数展开为三、把环形域的解析函数展开为laurent级数级数2. 间接法间接法直接套用定理直接套用定理1的公式的公式(比较少用比较少用,一般不用一般不用)演演示文稿示文稿1.ppt。 借助解析函数的借助解析函数的taylor展开式，通过变形利用展开式，通过变形利

10、用6个公式个公式来展开，因此要熟记来展开，因此要熟记6个公式个公式(见第见第47页公式页公式)演示文稿演示文稿2.ppt。 注注: 解析函数的解析函数的laurent展开式在下一章计算留数展开式在下一章计算留数时很有用，因此要熟练掌握。时很有用，因此要熟练掌握。电气学院学习部资料库 1 ( )12(1)(2)1 12 2( ) taylorlaurentf zzzzzzzzf z例例1 1 函函数数 ，以以和和为为奇奇点点，它它在在区区域域，和和解解析析，试试把把 分分别别在在这这些些区区域域内内展展开开成成 级级数数和和 级级数数。解：解：111( )(1)(2)21f zzzzz(1)1(

11、 )zf z 在区域内，是解析函数在区域内，是解析函数1122(1)2zz 0122nnz 102nnnz 01111nnzzz 电气学院学习部资料库( )1taylorf zz在圆域的展式为：在圆域的展式为：110001( )122nnnnnnnnzf zzz (2)12z在环形域内，在环形域内， 10122nnnzz1111(1)zzz 011nnzz 101nnz ( )12laurentf zz在环形域的展式为：在环形域的展式为：11001( )2nnnnnzf zz 22111248zzzz电气学院学习部资料库(3)2z 在环形域内，在环形域内，1122(1)zzz 012nnnzz

12、 102nnnz 1011,1nnzz 同上同上( )2laurentf zz在环形域的展式为：在环形域的展式为：110021( )nnnnnf zzz1021nnnz laurent：由由上上例例可可见见，同同一一个个函函数数在在不不同同区区域域内内的的展展式式一一般般注注是是不不同同的的。电气学院学习部资料库 1( )| -1| 1(1)(2)1 | -1|laurentf zzzzz 例例2 2 将将函函数数 分分别别在在和和内内展展开开成成级级数数。 1( )0 | -1|laurentzzf zez 例例3 3 将将函函数数 在在内内展展开开成成级级数数。 13 ( )0lauren

13、tzf zz ez例例4 4 把把函函数数 在在展展开开成成级级数数。电气学院学习部资料库 21 ( )()1laurentf zzzzizi例例5 5 把把函函数数 分分别别在在1 1和和0 0展展开开成成级级数数。解：解：z (1)1(1)111(1)izziz 101iznnizz 2330011 ( 1)()nnnnnniizzizzz 电气学院学习部资料库1zi(2)0(2)021( )()f zzzi 211()()ziizi 2211()() (1)ziziii 01(1)()()nnzinzii 10(1)()nnnnzii 电气学院学习部资料库21( )011()f zzzizzilaurent 例例6 6 把把函函数数 分分别别在在和和展展开开成成级级数数。1z(1)(1)在在0 0内内解：解：22120011( )=( 1)(1)nnnnnnzzf zziziiz ii 120nnniz 电气学院学习部资料库zi (2)(2)在在1 1内内11( )()()f zziizi 011()nnnizizizi 30(1)()nnnnizi 电气学院学习部资料库11 ( )()1znnnzef zc zzcz 例例7 7 把把函函数数 1 1，求求 。解：解：1( )1zzef zz 111zze 00111!mnmnmz