高等数学可降阶高阶微分方程课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程),(yxfy 可降阶高阶微分方程 第五节)()(xfyn),(yyfy 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程例例1. .cose2xyx 求解解解: Cxxyx dcose2Cx

2、xsine212xy2e41xy2e81CC211此处xsin21xC32CxCxcos2CCx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、特点：特点：右端不含右端不含 y 解法：解法：降阶降阶目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程例例2. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(

3、d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy特点特点：降阶降阶解法解法：右端不含右端不含 x目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程例例

4、3. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCCy1e2解一解一:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd若0p则y C包含在通解中目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程解二解二,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子, 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 解三解三原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy

5、 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程例例4. 解初值问题解解: 令0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yppyded2积分得1221221eCpy利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据ypxyedd积分得,e2Cxy, 00 xy再由12C得故所求特解为xye1得2eydppdy即目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程解方程解方程2)(1yy 解解( )yp xyp令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(112ln cos()xcc 例例5.1

6、tan()dyxcdx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程例例6. 解方程解方程3)(yyy 解解令令( )yp ydydppy 2(1)dppppdy若若0p 21pdydp 1arctancyp 即即1tan()py cdxcydy)tan(1积分得积分得21ln)sin(lncxcy即即xeccy21)sin( 或或12)arcsin(cecyx 若若0 p则则cy包含在通解中包含在通解中目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程如一方程既属于不含如一方程既属于不含 x 型型 又属于不含又属于不含 y 型型则一般而言则一般而言若两边可消去若两边可消去 p

7、 作为不含作为不含 x 型（类型三）型（类型三）来解较简单来解较简单 若两边不可消去若两边不可消去 p 作为不含作为不含 y 型（类型二）型（类型二）来解较简单来解较简单注注 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则目录 上页 下页 返回 结束 高等数学可降阶高阶微分方程思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答