有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案课件

1、有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案8.3 有理函数和可化为有理有理函数和可化为有理函数的不定积分函数的不定积分 一、有理函数的一、有理函数的不定不定积分积分 二、三角函数有理式的二、三角函数有理式的不定不定积分积分 三、某些无理根式的不定积分三、某些无理根式的不定积分 四、小结四、小结有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案有理函数的定义：有理函数的定义： 有理函数是指两个多项式函数的商表示的有理函数是指两个多项式函数的商表示的函数函数. .一般形式为一般形式为mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函数的一、有理函数的不定不

2、定积分积分有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx由于多项式的不定积分容易求出由于多项式的不定积分容易求出;只需研究真分式的不定积分只需研究真分式的不定积分.根据代数知识根据代数知识,有有:有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案1命题( )Q x每个实系数多项式都可以唯一

3、地2()(),xaxpxq分解为与类型的实因式其中2().xpxq不能再分解为实因式即0( )()()Q xb xaxb22()() (1)xpxqxrxs, ; ,; N其中, , , ,a bp qr sR22040,40 (0)pqrsb(1).式中相同的因子乘在一起有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2命题( )(1),Q x如果多项式能分解为式 则( )( )P xQ x有理真分式能唯一地分解为下列部分分式之和122( )( )()()P xAAAQ xxaxaxa122()()BBBxbxbxb11222222P xQP xQP xQxpxqxpxqxpxq112222

4、22R xSR xSR xSxrxsxrxsxrxs有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案1212,;,;A AAB BB其中1122,;P Q P QP Q1122,.R S R SR S皆为实常数, ; ,; N2()m, , , ,;a bp qr sR2240,40pqrs0(0)b 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其其中中kAAA,21都都是是常常数数.特殊地：特殊地：,

5、1 k分解后为分解后为;axA 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常数数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAx

6、BAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2称为赋值法称为赋值法有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12A

7、CxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(1121lnln1.1xxCx解解有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(122221211ln 1255511xxdxdxxx2211ln 12ln(1)arc

8、tan.555xxxC有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案236ln3ln1ln(1)3arctan2ttttCdttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 36ln3ln12ttdttttd 2221131)1(有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案说明说明 将有

9、理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分1) lnAdxAxaCxa12) 1nnAAdxxaCnxa2,3,n 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案23) MxNdxxpxq)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab ,422pqa ,2MpNb 则则,222atqpxx , bMtNMx 记记,42222pqpxqpxx 令令tpx 22MxNdxxpxq22Mtdtta22bdtta有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教

10、案2()nMxNdxxpxq dtatMtn)(22 dtatbn)(22同理令同理令tpx 2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn2,3,n 221nnIdtta2222221ntatdtata22122222111nntdtdtaatata有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案所以所以,这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .1221221112(1)nnIt dan ata112212221112(1)2(1)nnntIIan an ata1212

11、221232(1)2(1)1arctannnnntIInanatatICaa有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角函数有理式一般记构成的函数称之为三角函数有理式一般记为为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的二、三角函数有理式的不定不定积分积分有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2222cossin22coscossin

12、22xxxxx,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能替换公式）（万能替换公式）有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式, dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222 tan,2xu 令有理函数和可化为有理函数的

13、不定积分83(数分教案duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例8 8 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案解（二）解（二）xutan

14、令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc (cot )dx .cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置

15、换.有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例9 9 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln

16、41x .tan41Cx 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案类型类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例1010 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、某些无理根式的不定积分三、某些无理根式的不定积分有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例1111 求积分求积分.

17、1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案例例1212 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 有理函数和

18、可化为有理函数的不定积分83(数分教案类型类型2,R xaxbxc dx,R u v其中是有理函数, ,.a b c是实常数我们先讨论类型2的二个特殊情况, 再介绍类型2的一般情况的积分:2(1) pxqdxaxbxc(0)a 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2pxqdxaxbxc22244pxqdxa xbaacba2t x ba 令22244ptqbpadtatacba,4:则原不定积分 可化为下列 种积分来计算221),tdttA222),tdtAt2213) ,dttA2214).dtAt有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2 245xdxxx例:解2121

19、3 2xdxx原式1t x 令21123 2tdtt2123 2tdtt21123 2dtt213 22t21ln3 22ttC2211245ln124522xxxxxC 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2 5xdxxx例:解221 41 2xdxx原式1 2t x 令21 221 4tdtt221 4tdtt21 221 4dtt221 4t 1arcsin221 4tC21215arcsin221xxxC 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2(2) pxqaxbxcdx(0)a 2t x ba 令22424bpacbptqatdtaa分母中去掉二次三项式中的一

20、次项,原不定积分,可化为下列四种积分来计算:221) t tA dt222) tAt dt223) tA dt224)At dt有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2 123xxxdx例:解2123xxxdx 2112xxdx1t x 令 2112xxdx222ttdt22t tdt222tdt3 22123t2222ln22ttttC3 2221231233xxxxx22ln123xxxC 有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案2 2xx dx例2:2xx dx解29 41 21 2xd x21 2911 921arcsin2422 432xxxC2219212arcs

21、in483xxxxC有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案类型类型2, ,R xaxbxc dx中(1) 0,a 若2 axbxcaxt 令(Euler称此替换为第一替换):两边平方后可得2bxcaxtt ()x关于 的一次方程2: ,2tcxbat从而有222atbtacaxbxcbat2,R xaxbxc dx则被化为有理函数的不定积分.有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案(2) 0,c 若2 axbxcxtc令(Euler称此替换为第二替换):两边平方整理得22axbxtct()x关于 的一次方程22: ,bctxta从而有2,R xaxbxc dx则被化为有理函数

22、的不定积分.有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案 a xxxt令(Euler称此替换为第三替换):两边平方整理得2 a xxt()x关于 的一次方程22: ,taxta从而有2,R xaxbxc dx则被化为有理函数的不定积分.2 0,axbxc(3)若方程有两个相异的实根 与2, axbxca xx于是有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案:最后指出,初等函数的不定积分一定存在,但是初等函数的不定积分不一定是初等函数,如:222sin1,sin,cos,lnxxexxxx等函数的不定积分,.都不是初等函数.初等函数关于积分运算不封闭,换句话说:不定积分222sin1,

23、sin, cos,lnxxedxx dxx dxdxdxxx!求不出来有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？有理函数和可化为有理函数的不定积分83(数分教案思考题解答思考题解答