高建军matlab程序设计第三章matlab的符号运算.10

1、第三章 matlab的符号运算 matlab 不仅具有数值运算功能，还开发了在matlab环境下实现符号计算的工具包symbolicmath toolbox 符号运算的功能符号表达式、符号矩阵的创建符号线性代数因式分解、展开和简化符号代数方程求解符号微积分符号微分方程一、符号运算的基本操作1.什么是符号运算与数值运算的区别 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。特点： 运算对象可以是没赋值的符号变量 可以获得任意精度的解symbolic math toolbox符号运算工具包通过调用maple软件实现符号计算的。maple

2、软件主要功能是符号运算，它占据符号软件的主导地位。 2. 符号变量与符号表达式语法格式1：sym(arg);其中，arg：数字，字符串或表达式；f = sym(sin(x)+5x)f 符号变量名sin(x)+5x 符号表达式 符号标识v符号表达式一定要用 单引号括起来matlab才能识别。 的内容可以是符号表达式，也可以是符号方程。例： f1=sym(ax2+bx+c) 二次三项式 f2= sym(ax2+bx+c=0) 方程 f3=sym(dy+y2=1)微分方程符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算2. 符号变量与符号表达式语法格式2：(1)

3、syms a b c x y;%创建多个符号变量 f1 =a*x2+b*x+c*y;%等价于f1=sym(a*x2+b*x+c*y)(2) syms(a,b,c,x,y); %创建多个符号变量 f2=a*x2+b*x+c*y;3.符号矩阵的创建 数值矩阵a=1,2;3,4 a=a,b;c,d 不识别用matlab函数sym创建矩阵（symbolic 的缩写)命令格式：a=sym( ) 符号矩阵内容同数值矩阵 需用sym指令定义 需用 标识例如：a = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) a = a, 2*b 3*a, 0 这就完成了一个符号矩阵的创建。注意：符号矩阵的每一行的两端都有

4、方 括号，这是与 matlab数值矩阵的 一个重要区别。 符号矩阵的修改 a.指令修改v 用a1=subs(a, old, new)来修改v a(*,*)= new例如：例如：a = a, 2*b 3*a, 0a(2,2)=8*b;a3=aa3 = a, 2*b 3*a, 8*ba2=subs(a, b, c) a2 = a, 2*c 3*a, 0 v将数值矩阵转化为符号矩阵 函数调用格式：sym(a)a=1/3,2.5;1/0.7,2/5a = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000sym(a)ans = 1/3, 5/210/7, 2/5 符号矩阵与数值矩阵的转换v将符号矩

5、阵转化为数值矩阵函数调用格式：double(a),eval(a)a = 1/3, 5/210/7, 2/5eval(a)ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.40001.符号表达式的基本运算二、符号运算新版matlab利用重载技术，其基本运算符号与数值计算中的算符几乎完全相同。（1）基本算符：+,-,*,/,分别实现矩阵的加、减、乘、右除、左除和求幂运算。算符.*,./,.,.分别实现元素对元素的乘、除和求幂。算符和.分别实现矩阵的共轭转置和非共轭转置。 （2）关系运算符：在符号对象的比较中没有“大于”、“大于等于”，“小于”，“小于等于”的概念而只有“等于”和“不等于”，

6、分别表示为“=”和“=”，比较的结果用1表示真，0表示假。 1.符号表达式的基本运算 二、符号运算新版matlab利用重载技术，其基本运算符号与数值计算中的算符几乎完全相同.（3）三角函数、双曲函数和它们的反函数：除atan2不能用于符号运算之外，其它三角函数都可用于符号表达式计算. （4）指数、对数函数：函数sqrt(),exp(),expm(),log(),log2()和log10()都能用于符号计算.（5）复数函数：复数共轭conj，实部real，虚部imag和求模abs与数值计算相同，但没有求相位角函数（angle）.（6）矩阵函数：函数diag(),triu(),tril(),inv

7、(),det(),rank(),rref(),poly(),expm()和eig()等都能用于符号计算.例1：加法运算f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; syms x f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; h=f+g h = 3*x2+4*x-12例2：乘除法运算f=cos(x);g= sin(2*x); syms x f=cos(x);g=sin(2*x); h=f/g+f*g h=cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x) 2. 任意精度的数学运算 符号计算的显著特点是计算过程中不会出现舍入误差，从而可以得到任意精度的数值解。而数值计算受计算

8、机字长限制，每次数值操作都带截断误差，任何数值计算无论采用什么算法都会产生累积误差。浮点算术运算1/2+1/3 (定义输出格式format long)ans =0.83333333333333符号运算sym(1/2+1/3)ans = 5/6 精确解 任意精度算术运算digits(n) 设置可变精度，默认值32位有效数字。vpa(x,n) 显示可变精度的有效数字位数。digits(25)vpa(1/2+1/3)ans =.8333333333333333333333333vpa(5/6,40) ans =.8333333333333333333333333333333333333333 a=s

9、ym(1/4,exp(1);log(3),3/7)a = 1/4,exp(1)log(3), 3/7vpa(a,10)ans =.2500000000, 2.7182818281.098612289, .4285714286diff(f) 对缺省变量求微分diff(f,v) 对指定变量v求微分diff(f,v,n) 对指定变量v求n阶微分int(f) 对f表达式的缺省变量求积分int(f,v) 对f表达式的v变量求积分int(f,v,a,b) 对f表达式的v变量在（a,b) 区间求定积分3. 符号微积分与积分变换int（被积表达式，积分变量，积分下限， 积分上限） 定积分缺省时为不定积分例1.

10、计算定积分 syms x;f=2*xh=int(f,x,0,2)h=4例2.计算二重不定积分dxdyxexyf=int(int(x*exp(-x*y),x),y)f=1/y*exp(-x*y)ztrans(fn,n,z) 求时域序列fn的z变换iztrans(fz,z,n) 求频域序列fz的z反变换fnlaplace(ft,t,s) 求时域函数ft的拉氏变换fsilaplace(fs,s,t) 求频域fs的拉氏反变换ftfourier(ft,t,w) 求时域ft的付氏变换fwifourier(fw,w,t) 求频域fw的付氏反变换ft例3.计算 f=sym(x*exp(-x*10)的z变换f=

11、ztrans(f,x,z)f=z*exp(-10)/(z-exp(-10)2例4. 计算指数函数eat。用拉氏反变换法计算。eat的公式为： eat = l-1(si-a)-1系统矩阵a= 3210tttttttteeeeeeee22222222eat =结果： a=0 1;-2 -3; syms s b=(s*eye(2)-a)b = s, -1 2, s+3 b=inv(b) (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2) -2/(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2) b=ilaplace(b,s,t) 4. 极限，序列求和和泰勒级数1. limit(f,x,a)

12、计算符号表达式f(x)在xa时的极限值;limit(f,x,a,right)或limit(f,x,a,left) 计算f(x)的单侧极限;2. symsum(f,n,a,b) 计算符号表达式f(n)在n取遍a,b区间所有整数时的和;3. taylor(f,x, order,n, expansionpoint,a) 计算符号表达式f(x)在a点的n-1阶taylor展开多项式；例1：求f=1/x+1在x 时的极限值syms x f=1/x+1h=lim(f,x,inf)例2：求级数1+2+n+的和syms nf=nh=symsum(f,n,1,10)例3：求f=ex在x=2处的4阶taylor展

13、开syms xf=exp(x)h=taylor(f,x, order,5, expansionpoint,2)5.符号代数方程求解 matlab符号运算能够解一般的线性方程、非线性方程及一般的代数方程、代数方程组。当方程组不存在符号解时，又无其他自由参数，则给出数值解。命令格式：solve(f) 求一个方程的解solve(f1,f2, fn) 求n个方程的解 例1. 方程 ax2+bx+c=0 求解syms a b c x;f=a*x2+b*x+c solve(f) 对缺省变量x求解ans =1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)计

14、算机格式aacbb242一般格式例2. 符号方程cos(x)=sin(x) 的解f1=solve(cos(x)=sin(x),x),f1 =1/4*pi solve(f , b ) 对指定变量b求解ans =-(a*x2+c)/x例3. 解方程组 x+y+z=1 x-y+z=2 2x-y-z=1syms x y z;g1=x+y+z-1,g2=x-y+z-2,g3=2*x-y-z-1f=solve(g1,g2,g3,x,y,z)f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1x,y,z)f.z = 5/6, f.y = -1/2, f.x = 2/3f=solve(x+y+z

15、=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f = x: 1x1 sym f.x ans =2/3 y: 1x1 sym f.y ans =-1/2 z: 1x1 sym f.z ans =5/6 x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) x = 2/3 y =-1/2 z =5/66. 符号微分方程求解 用一个函数可以方便地得到微 分方程的符号解符号微分方程求解指令：dsolve命令格式：dsolve(f,g)f 微分方程，可多至12个微分方程的求 解；g为初始条件默认自变量为 x,可任意指定自变量t, u等微分方程的各阶导数项以大写字母d表示 dtdydx

16、dy22dtydnndtyd22dxydnndxyd或或或y的一阶导数 dyy的二阶导数 d2yy的 n 阶导数 dnyy1,y2=dsolve(x1,x2,xn) 返回 微分方程的解一阶微分方程dsolve(dx=y,dy=x,x(0)=0,y(0)=1)ans =x(t) = (exp(t)-exp(-t)/2, y(t) = (exp(-t)+exp(t)/2二阶微分方程dsolve(d2y=-a2*y,y(0)=1,dy(pi/a)=0)ans =cos(a*x)微分方程组求解注：eq1,eq2,.为微分方程或微分方程组，cond1,cond2,.,是初始条件或边界条件，v是独立变量，默认的独立变量是t。 函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,., v)x,y=dsolve(dx+2*x-dy=10*cos(t),dx+dy+2*y=4*exp(-*t),x(0)=2,y(0)=0,t)例1：求的通解。例2.y=dsolve(d2y+2*dy+2*y=0,y(0)=1,dy(0)=0)ans =exp(