流体力学课件第四章流体动力学基础

1、第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础内容简介内容简介教学的目的和要求教学的目的和要求 第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础aadapddadtddtdmdtdnfnuuufufu)()()(4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程质点动量定理质点动量定理质点系动量定理质点系动量定理以上是积分形式的动量方程以上是积分形式的动量方程, 定常条件下有定常条件下有：aadapddanfnuu)(1 1、理想、理想( (无粘性无粘性) )流体欧拉运动方程：流体欧拉运动方程：oyzxbdydzdxca2dxxpp2dxxppp(x,y)uutupf)(14.1 流体的运动微分方程流体的运动

2、微分方程bdydzdxca2dxxpp2dxxppp(x,y)xxadxdydzdxdydzfdydzdxxppdydzdxxpp)()2()2(x方向:xpfaxx1同理:zpfaypfazzyy111、理想流体欧拉运动方程：、理想流体欧拉运动方程：xyzo4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程bdydzdxca2dxxpp2dxxppp将欧拉方程表示为分量的形式将欧拉方程表示为分量的形式ypfzuuyuuxuutuyyzyyyxy1矢量形式：矢量形式：xpfzuuyuuxuutuxxzxyxxx1zpfzuuyuuxuutuzzzzyzxz11、理想流体欧拉运动方程：、理想流体欧拉运

3、动方程：uutupf)(14.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程pfrruaarruaaapfdtudarra1)2)21(00理想流体运动微分方理想流体运动微分方程（欧拉运动微分方程（欧拉运动微分方程程,1755）1、理想流体欧拉运动方程、理想流体欧拉运动方程：4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程(1). 粘性流体的动压强粘性流体的动压强理想流体的动压强理想流体的动压强),(tzyxpppppnzzyyxx粘性流体的动压强粘性流体的动压强nzzyyxxpppp),(3/)(tzyxpppppzzyyxx(2). 应力与变形速度（应变率）的关系应力与变形速度（应变率）的关系2、粘

4、性流体运动微分方程：、粘性流体运动微分方程：upfuutu21)(4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程(2). 应力与变形速度（应变率）的关系应力与变形速度（应变率）的关系xuppxxx2xuyuyxyxxy本构方程2、粘性流体运动微分方程：、粘性流体运动微分方程：(3) 粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。yuppyyy2zuyuyzzyyzzuppzzz2zuxuxzxzzx4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程(2). 应力与变形速度（应变率）的关系应力与变形速度（应变率）的关系xuppxxx2xuyuyxyxxy本构方程2、粘

5、性流体运动微分方程：、粘性流体运动微分方程：(3) 粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。xxxzxyxxxuxpfzuuyuuxuutu21upfuutu21)(n-s方程(1845)4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程2、粘性流体运动微分方程、粘性流体运动微分方程：upfuutu21)(n-s方程(1845)0)u(t连续性方程 流体力学的基本方程组，加上边界条件和初始流体力学的基本方程组，加上边界条件和初始条件，理论上可以求解。条件，理论上可以求解。4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程例

6、题例题4.1(p70)已知无粘性流体速度场为：为常数，、，baubxuayuzyx0,质量力忽略不计，试求等压面方程。u)u(tupf1解：解：展开abxxuuxpxy1abyxuuypyx1+222cyxabpcyx22)dd(d1yyxxabp积分等压面4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中： （1）任一点平行流动方向与垂直流动方向的法向应力相等，都等于该点的动压强 p； （2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。xyz恒定均匀管流证：选坐标系。0zxuu0zuyuxuzyx连续性方程0yuy0zuxuzxxuppxxx2ppppzzy

7、yxx（1）得证。4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中： （2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。xyz恒定均匀管流证：选坐标系。0zxuugfffzyx, 0upfuutu21)(0 xp01zpg)(xcgzp4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中： （2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。xyz恒定均匀管流证：选坐标系。01zpg)(xcgzp0 xp0)( xccgzpcxc)(（2）得证。4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基

8、础n伯努利方程是能量守恒定律在工程流体力学伯努利方程是能量守恒定律在工程流体力学中的数学表达式，它形式简单，意义明确，中的数学表达式，它形式简单，意义明确，在工程流体力学中有着广泛的应用。在工程流体力学中有着广泛的应用。4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程2222112122zgpgvzgpgv2222112122gzpvgzpv一一 、理想流体恒定元流的伯努利方程、理想流体恒定元流的伯努利方程(1)理想理想(3)质量力有势质量力有势(2)恒定恒定0tututuzyxypfzuuyuuxuutuyyzyyyxy1xpfzuuyuuxuutuxxzxyxxx1zpfzuuyuuxuutuzz

9、zzyzxz1),(ddddzyxuzfyfxfzyxzzyxufyzyxufxzyxufzyx),(,),(,),(4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程(4)不可压缩流体不可压缩流体(const)pddpdzzpdyypdxxp1)(1(5)沿流线沿流线 ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt 222222zzyyxxxxxxuddzdtduuddydtduudduudtudtdudxdtdu一一 、理想流体恒定元流的伯努利方程（续）、理想流体恒定元流的伯努利方程（续）4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程(a)(b)( c)(a)dx+(b)dy+( c)dz0)2()

10、()2(2222upvdpdduuuudzyx积分得积分得122cupv五个条件: 理想；定常； 不可压；质量力有势；沿流线ypfzuuyuuxuutuyyzyyyxy1xpfzuuyuuxuutuxxzxyxxx1zpfzuuyuuxuutuzzzzyzxz14.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程122cupv五个条件: 理想；定常； 不可压；质量力有势；沿流线二、重力场中理想流体的伯努利方程二、重力场中理想流体的伯努利方程gzu 122cgzpv122cupv4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程二、重力场中理想流体的伯努利方程二、重力场中理想流体的伯努利方程czgpgv2222221

11、12122zgpgvzgpgv1938年瑞士物理学家伯努利首先提出。同一根流线上。该方程就是元流的伯努利方程。注意适用条件。gzu 122cgzpvbemoulli,d.（17001782）根据能量原理给出了类似的公式，为纪念他。4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程单位重量流体的动能单位重量流体的动能+压力势能压力势能+高度势能高度势能-总机械能守恒总机械能守恒速度水头速度水头 压强水头压强水头 位置水头位置水头-总水头沿流线相等。总水头沿流线相等。2222112122zgpgvzgpgv物理意义和几何意义：物理意义和几何意义：1z2z1pgv2222phabc12 b c a测压管水头总

12、水头gv2214.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程rsug沿流线沿流线s伯努利积分（不讲）伯努利积分（不讲）suutuaspfasss1理想理想定常定常spfsuus1重力场重力场不可压不可压)(psszgsuucgugpzupgzs20)2(22szggfscos4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程例 已知无穷远 v=1.2m/s , p=0; 求: 驻点驻点处的压强ps vps解:ssszpgvzpgv2222m073. 08 . 922 . 122222gvgpgvgpss故 ps= 0.073 m水柱4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程例题：例题：)()(gpzgpzhaa

13、bbu计算计算a点的流速。点的流速。（b点称为滞点称为滞点或驻点点或驻点uhab4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程解：解：应用理想流体恒定元流的伯应用理想流体恒定元流的伯努利方程于努利方程于a、b两点，有：两点，有：022gpzgugpzbbaaughcu2 考虑到实际流体粘性的作用引起水头损失和测速管对流动考虑到实际流体粘性的作用引起水头损失和测速管对流动的影响，对上式进行修正。的影响，对上式进行修正。ughu2c 称皮托管因数，与皮托管构造有关，由实验确定，数值接近1。uh)()(gpzgpzhaabbuab4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程whgugpzgugpz222222

14、2111三、实际流体恒定元流的伯努利积分三、实际流体恒定元流的伯努利积分 实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线表示。程变化可用几何曲线表示。4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程实际恒定元流的伯实际恒定元流的伯努利方程各项及总努利方程各项及总水头、测压管水头水头、测压管水头的沿程变化可用几的沿程变化可用几何曲线表示。何曲线表示。gugpz22总水头线总是沿程下降的。总水头线总是沿程下降的。下降的快慢可用水力坡度下降的快慢可用水力坡度 j 表示。表示。)2(dddd2gugpzsshjw1z2z1pgu222

15、2phabc12 b c a测压管水头线总水头线uhgu2214.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程gpz测压管水头线。该线沿程测压管水头线。该线沿程可升、可降，也可不变。可升、可降，也可不变。其变化情况可用测压管水其变化情况可用测压管水头坡度头坡度jp 表示。表示。)(ddgpzsjpnotes: 不管是j还是jp，均以相应水头沿程降低为正。1z2z1pgu2222phabc12 b c a测压管水头线总水头线uhgu2214.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程whgvgpzgvgpz2222222

16、21111恒定总流的伯努利方程rsug一、一、 压强沿流线法向的变化压强沿流线法向的变化)(cos2pgzrrurzggfr当曲率半径很大时当曲率半径很大时, 上式左边可忽略不计上式左边可忽略不计, 故沿流线的法向有：故沿流线的法向有：1cgpz缓变流与急变流概念缓变流与急变流概念 ruarpfarrr214.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程whgugpzgugpz2222222111实际流体恒定元流的伯努利积分实际流体恒定元流的伯努利积分实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线表示。头的沿程变化可用几何曲

17、线表示。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线表示。变化可用几何曲线表示。gugpz22 总水头线总是沿程下总水头线总是沿程下降的。降的。 下降的快慢可用水力下降的快慢可用水力坡度坡度 j 表示。表示。)2(dddd2gugpzsshjw1z2z1pgu2222phabc12 b c a测压管水头线总水头线uhgu2214.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程gpz测压管水头线。该线沿测压管水头线。该线沿程可升、可降，也可不程可升、可降，也可不变。变。其

18、变化情况可用测压管其变化情况可用测压管水头坡度水头坡度jp 表示。表示。)(ddgpzsjpnotes: 不管是j还是jp，均以相应水头沿程降低为正。1z2z1pgu2222phabc12 b c a测压管水头线总水头线uhgu2214.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程通过过流断面将元流积分通过过流断面将元流积分dqghvdagzgpgvvdagzgpgvw22221121)2()2(考虑恒定渐变流考虑恒定渐变流 (缓变流缓变流)dzpp+dpgdadl0yxaqgpzgvdaggpz)()( 二、实际流体恒定总流的伯努利方程：二、实际流体恒定总流的伯努利方程：avdaggpz)(

19、constgpz（1）4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程aaaadavuagvqgdavuavagvgdavugvgudaggu3232332)(12)()(2 )(22令称称 为动能修正系为动能修正系数数, 一般为一般为1。aaadavuaaggvgdagu333)(1d22qggvudaggua2222（2）4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程whgvgpzgvgpz222222221111gvgpzh22whhh21awwqghvdagh（3）总流单位质量流体由1-1至2-2断面的平均机械能损失，称为总流的水头损失。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方

20、程wwhhhgvgpzhhgvgpzgvgpz2122222221111222实际流体恒定总流实际流体恒定总流的伯努利方程的伯努利方程hw为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失，通常称为总总流的水头损失。流的水头损失。实际流体恒定总流的伯努利方程，其物理意义和几何意义与元流的伯努利方程类似。恒定总流的伯努利方程的应用条件：恒定总流的伯努利方程的应用条件：（1）流体是不可压缩的；（2）质量力为重力；（3）过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急变流。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程0012z1hw12z2zp1p21v122g2v222g测压管水头线测压管水头线总

21、水头线总水头线p v 22g4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程v21212水面测压管水头线水面测压管水头线v11v122g2v222gz1z2hw总水头线总水头线4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程11s22334455ipi/v0hwih0 总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线v022gh4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 水力坡度水力坡度 总水头线沿流程的降低值与流程之比，为总水头线沿流程的降低值与流程之比，为水力坡度水力坡度 当总水头线为直线时，其可表示为当总水头线为直线时，其可表示为:lhlhhjw 21当总水头线为曲线时，其可表示为当总水头

22、线为曲线时，其可表示为 lhjdd 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程22333111131 3223332222323 2222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg 水流汇流水流汇流1q2qq4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程水流分流水流分流 3123333211112122222211112222wwhgvpzgvpzhgvpzgvpz 1q2qq4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程（4）两过流断面之间除了水头损失以外，总流没有能量的）两过流断面之间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。当总流之间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，输入或输

23、出。当总流之间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，流体额外获得或失去了能量，则总流的伯努利方程修正为：流体额外获得或失去了能量，则总流的伯努利方程修正为：whgvgpzhgvgpz222222221111式中：式中：h表示单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量；表示单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量； h表示单位重量流体流经水轮机所失去的能量表示单位重量流体流经水轮机所失去的能量。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程1122水泵水泵 抽水管路系统中设置的抽水抽水管路系统中设置的抽水机，是通过水泵叶片转动向机，是通过水泵叶片转动向水流输入能量。水流输入能量。吸水吸水管管压水压水管

24、管吸水池吸水池4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程v1122发电机发电机水轮机水轮机尾水渠尾水渠4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 当为输入能量时，当为输入能量时，h 前符号为前符号为“”，如，如水泵，水泵， h计算公式为计算公式为 qnhppt式中，式中，np 为马达功率为马达功率 p为马达和抽水机总机械效率为马达和抽水机总机械效率4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程当为输出能量时，式中取当为输出能量时，式中取h 前符号为前符号为“”，例如，例如水轮机，水轮机， h 计算公式为计算公式为 qnhgg t式中，式中，ng 为发电机出力；为发电机出力； g为

25、水轮机与发电机的总效率为水轮机与发电机的总效率 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程应用恒定总流的伯努利方程的解题的几点补充：应用恒定总流的伯努利方程的解题的几点补充：（1）基准面可以人取，但必须是水平面，且对两过流断面必须）基准面可以人取，但必须是水平面，且对两过流断面必须取同一基准面，通常取同一基准面，通常z=0；（2）选取渐变过流断面是运用伯努利方程的关键。通常管流取）选取渐变过流断面是运用伯努利方程的关键。通常管流取在过流断面形心（管中心）处，明渠取自由面上。在过流断面形心（管中心）处，明渠取自由面上。（3）过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急）过流断面取在渐

26、变流区段上，但两过流断面之间可以是急变流。变流。上述三点归纳为：上述三点归纳为：选取基准面、选取过流断面和选取计算点。选取基准面、选取过流断面和选取计算点。但这三个但这三个“选取选取”应综合考虑，以计算方便为前提。应综合考虑，以计算方便为前提。（4）方程中的流体压强一律取绝对压强，但对于液面或两过流）方程中的流体压强一律取绝对压强，但对于液面或两过流断面高程差甚小的气流，也可以取相对压强（为什么？）。断面高程差甚小的气流，也可以取相对压强（为什么？）。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程三、总流能量方程的应用三、总流能量方程的应用应用条件应用条件:(1)恒定(定常)(2)不可压流体

27、(3)重力场(4)所选过流断面流动均匀或渐变流(5)无其它能量的输入或输出(6)总流量沿程不变若存在能量的输入或输出 则有 whhhh0201获得输入（或失去）给单位重量流体的机械能。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程四、伯努利方程应用四、伯努利方程应用1、小孔定常出流2、毕托管测速原理3、文丘里流量计4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程例 已知无穷远 v=1.2m/s , p=0， 求:驻点处的压强ps 解:ssszpgvzpgv2222m073. 08 . 922 . 122222gvgpgvgpss故 ps= 0.073 m水柱vps4.3 恒定总流的伯努利方程

28、恒定总流的伯努利方程q1q2q3分叉情况:321310301210201qqqhhhhhhww4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程例 ：已知: d=200mm h=4.5m q=100 (l/s) ， 求: 水流的总水头损失解:h2211选1-1与2-2两个断面间的流动)2(22222221111gvgpzgvgpzhw将 h=z1-z2和 p1=p2=0 及 v1=0 2=1.0 则有：m97.353.05 .4031.08 .921 .05 .422222222wwhgaqhgvhh4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程分析：分析：v1相对于相对于v2可以忽略不可以忽

29、略不计。计。p1和和p2 均等于当地大气压，均等于当地大气压，其相对压强为零。其相对压强为零。whgvh200000222m/s592. 12aqvm63. 32222whgvh0 . 121122h4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程例例 3-6 已知已知: zc=9.5m zb=6m 不计损失，不计损失， 求求: c 点压能和动能。点压能和动能。8m003.5m1.5m2bca2v211解解: 1-1与与2-2两截面两截面间流动间流动, 由伯努利方由伯努利方程有：程有：gvgvgvgpzhc2m22m8222222221列列1-1与与c断面间能量方程有断面间能量方程有m5 .

30、325 . 9822201201gvzhgpgvgpzhccccccc4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程whpgvzpgvz2222121122shzvpz2111; 0; 0; 0wsavhgvhpph2222m0 . 6vhsh1122q4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程gvgvhhgvht25 . 020)(2022222222111连续性方程：连续性方程：0 . 1212211bhvbhvq/smm/s389. 5606. 1)/(2/3)(2212212qhhhhhgvt112200th1h2hq4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程伯努利方程的

31、应用：伯努利方程的应用：4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程gvpph200200ghv20,1011vpphzvvppz2022,04.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程ghvv2实际 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程eghq2实际4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程为了测量管中的流速或流量，可以在管道中串联一段收放管，称为为了测量管中的流速或流量，可以在管道中串联一段收放管，称为文德利管文德利管，如图所示。，如图所示。截面截面处的面积为处的面积为a a1 1，直径为。，直径为。收缩截面收缩截

32、面处的面积为处的面积为a a2 2，直径为。，直径为。和和处的压力差可从测压管读出来，即为已知量处的压力差可从测压管读出来，即为已知量。由光滑的收缩段、喉道和扩散端三部分组成。由光滑的收缩段、喉道和扩散端三部分组成。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程22vgvpgvp222222111)(242121ddgvpp442222112211dvdvavav连续方程连续方程: : 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 1)(24211ddppgv212141111)/(2ppkppddgvq1)/(241ddgk4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程hpp）（水汞

33、21hkqhkq）（水汞hpp214.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程p81例题：4-61d2dhh00 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程00202bapgvpabppgv2点 0 a vav b 点 0 b vb0伯努利方程：4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程abppgv2hhhhppab)(ghv2 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程ghv2此时：0,bavvv管管在处感受到动压，在处感受到动压，而管而管在处感受到总压，在处感受到总压，仍适用。仍适用。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程abppgv2hppab1总压力与动

34、压力之差。总压力与动压力之差。4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程实例五实例五 虹吸管虹吸管 下图为连接两个水箱的一段虹吸管下图为连接两个水箱的一段虹吸管4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程gvhpph20022001m/s94. 58 . 18 . 92)(221hhgv 管径管径150，13.3，21.5，z6.8，设不计能量损，设不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道最高点处的真空值。失，求虹吸管中通过的流量及管道最高点处的真空值。 解：取解：取oo为基准面，列断面为基准面，列断面oo和的伯氏方程和的伯氏方程4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程水的流

35、量为：水的流量为：l/s5 .10/sm105. 094. 515. 044322vdq 列截面和列截面和的伯氏方程，可求得虹吸管顶点处的真空的伯氏方程，可求得虹吸管顶点处的真空度。度。gvpzphx20201故真空度水柱高为：故真空度水柱高为：m3 . 58 . 13 . 38 . 62210gvhzppx真空度为：真空度为：240n/m102 . 53 . 59800 xpp4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础 一一. 容器旁管非定常出流容器旁管非定常出流0)2(2upgzstu由0-0到1-1点积分有p0hxl00111022d200

36、0211ssupgzupgzstu4.4 非定常流动的伯努利方程非定常流动的伯努利方程* 一一. 容器旁管非定常出流容器旁管非定常出流由0-0到1-1点积分有10222000211ssupgzupgzdstututlughduutughldtdu0022d12002积分得)22tanh(2tlghghu p0hxl00114.4 非定常流动的伯努利方程非定常流动的伯努利方程*u形管中液体的振荡形管中液体的振荡lupgzupgzdstu02000211122xx10dtdxugxldtdu)sin(sinlgtxxxdtxd)sin(sin)sin(002224.4 非定常流动的伯努利方程非定常

37、流动的伯努利方程*第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础n 动量修正系数动量修正系数n 动量定理动量定理 动量矩定理动量矩定理n 求解步骤求解步骤n 应用举例应用举例3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用系统：系统：所研究的流体质点的集合（流体质点系）。所研究的流体质点的集合（流体质点系）。控制体：控制体：相对于某一坐标系不动的某一体积。相对于某一坐标系不动的某一体积。动量定理：动量定理：对于某一流体质点系统，其动量随时间的变化对于某一流体质点系统，其动量随时间的变化率等于作用于该流体质点系统的外力矢量之和。率等于作用于该流体质点系统的外力矢量之和。fdutmut

38、tkdddddddifvvqdtkd)(11223-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用tququt 22 110ddlimdtkd定常定常条件条件下下:动量定理：动量定理：futmuttkdddddddd应用一维管流情况：应用一维管流情况：t 时刻：时刻：1-1与与2-2所围成的流体质点系统所围成的流体质点系统tt时刻：时刻：1-1与与2-2所围成的流体质点系统所围成的流体质点系统1122 1 1 2 23-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用tdqudqudtkdt 22 110lim定常条件下定常条件下:动量定理：动量定理：fdudtddm

39、udtddtkd21aadqudqudtkd1122 1 1 2 23-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用定常条件下定常条件下:动量定理：动量定理：fdudtddmudtddtkduauuaevqdavuavqedaevuaavudaudqu222)(1()(davuaevvavqau2)(1)(1122vvqdtkd称为动量修正系数。21aadqudqudtkd3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用三维情况下三维情况下, 向各坐标轴方向投影向各坐标轴方向投影, 有：有：)()()(112211221122zzzyyyxxxvvqfvvqfv

40、vqf求解步骤求解步骤: (1) 建立坐标系建立坐标系, 标出控制体。标出控制体。 (2) 分析控制体所受到的力。分析控制体所受到的力。 (3) 分析动量的变化分析动量的变化 (流出减流进流出减流进, 速度投影有正负速度投影有正负)。 (4) 注意作用力是谁施予谁注意作用力是谁施予谁(可利用牛顿第三定律可利用牛顿第三定律)。ifvvqdtkd)(11223-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用aananprfrauurddd)(aaanpfanuuddd)(动量矩定理动量矩定理aanrprruafrurqurqdd)(2()()(0inout非惯性坐标系中的动量矩方程为

41、：非惯性坐标系中的动量矩方程为：frurqurqinout)()(3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用例例 已知矩形平板闸下出流已知矩形平板闸下出流, b=6m, h=5m, hc=1m, q=30m3/s不计水头损失。求不计水头损失。求:水流对闸门推力。水流对闸门推力。m/s51630m/s156300ccbhqvbhqv解解: 利用连续性方程利用连续性方程,有有设闸门对水流作用力为 r , 则x方向的动量方程为：)(2121)()(0220000vvqbghbghrvvqpprprpvvqcccccchcp0pchr00 xccz03-5 动量方程和动量矩方程及

42、其应用动量方程和动量矩方程及其应用代入数据代入数据, 得得kn6 .58512000029400735000) 15(301000)6165(10008 . 92122rr水流对闸门的作用力水流对闸门的作用力, 利用牛顿第三定律利用牛顿第三定律, 有有 kn6.585rr方向向右。方向向右。)(2121)()(0220000vvqbghbghrvvqpprprpvvqcccccchcp0pchr00 xccz03-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用例： p1=98kpa v1=4m/s d1=200mm d2=100mm a=450 不计水头损失求: 水流作用于弯管上

43、的力 ryxp102p2yav2v1211rx解: 设管壁对水流的作用力为rx ry由连续性方程 , 有/sm126.02.044m/s16444321112222121avqvvvdvd列1-2伯努利方程kpa95.21m24.28 .92168 .92410008 .998000222222222211pgpgvgpgvgp3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用列列x方向动量方程方向动量方程appvavqrrappvavqxxcos)cos(cos)cos(2112211122列列y方向动量方程方向动量方程apaqvrrapavqyysinsinsin)0sin(

44、22222代入有关数据得 rx=-2.328 kn ry=1.303 kn 利用牛顿第三定律, 可得到水流对管壁的作用力, 并可求得合力及合力与x方向的夹角ryxp102p2yav2v1211rx3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础无旋流动条件：无旋流动条件：1. 无粘性流体无旋流动的伯努利方程无粘性流体无旋流动的伯努利方程伯努利方程：伯努利方程：yuxuyxxuzuzyzuxuxzgugpzgugpz2222222111物理意义：无粘性流体恒定无旋流动全流场单位重量的机械能守恒。适用条件：适用条件：与元流的伯努利方程形式相

45、同，但含义和应用范围不同，前者在同一流线上成立，而后者则在全流场成立。无旋流动条件：无旋流动条件：2. 速度势函数速度势函数存在：存在：yuxuyxxuzuzyzuxuxz称之为速度势函数。无旋流动是有速度势的流动，简称为势流；反之有速度势的流动即是无旋流动。连续性方程：连续性方程：zuyuxuzyx;使：使：zzyyxxzuyuxudzyxddddddgradu0zuyuxuzyx0222222zyx无旋流动条件：无旋流动条件：2. 速度势函数速度势函数存在：存在：yuxuyxxuzuzyzuxuxzlaplace方程：方程：zuyuxuzyx;gradu0222222zyx满足laplac

46、e方程的函数是调和函数。所以，调和函数的一切性质，也就是速度势函数的性质。),(zyx),(zyxu),(zyxp例题：已知流速场例题：已知流速场（1）判别是否无旋：）判别是否无旋：（2）若无旋求速度势函数）若无旋求速度势函数 ；（3）并指出）并指出 是否为调和函数。是否为调和函数。2. 速度势函数速度势函数yuxuyxxuzuzyzuxuxz0,2,22zyxuxyuyxu成立否？yxyxyxzuyuxudzyxd2d)(ddd220222222zyx满足否？(1) 速度势：速度势： 条件条件: 无旋流无旋流yuxuxyyuxuyx;平面不可压缩流的连续性方程：平面不可压缩流的连续性方程：0

47、yuxuyx02222yx拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。const等势线3. 平面流动与流函数平面流动与流函数(2) 流函数：流函数： 条件条件: 平面不可压缩流平面不可压缩流再利用无旋条件：再利用无旋条件：yuxuxy02222yx拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。const流线。流线。0yuxuuyxxuyuyx,3. 平面流动与流函数平面流动与流函数名称名称 : 势函数势函数 流函数流函数 条件条件: 无旋流无旋流 平面不可压缩流平面不可压缩流引入引入:定义定义:等值线等值线: =c (等势线等势线) =c (流线）流线）流网流网: 等势线与速度垂直等势线与速度垂直 流线与等势线正交流网流线与等

48、势线正交流网0yuxuxyz0yuxuuyxxuyuyx,yuxuyx,3. 平面流动与流函数平面流动与流函数0022222yx0022222yxxuyuyx,yuxuyx,0yuxuxyz0yuxuuyxxyyx,柯西黎曼条件(cauchy-riemann)条件。势函数和流函数满足laplace方程和柯西黎曼条件，是一对共轭调和函数3. 平面流动与流函数平面流动与流函数流网的性质：流网的性质：=c (流线流线）0dyydxxd0dyudxudxyyxudyudx(2) 任意两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间的任意两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间的单宽流量单宽流量xuyuyx,3

49、. 平面流动与流函数平面流动与流函数lqndudjiuyxuu jijindldxdldysincosddxudyudldqyxnubabayxbabaddxudyudlqnu(3) 平面无旋运动的等流函数线与等流速势线正交（不证）平面无旋运动的等流函数线与等流速势线正交（不证）。(2) 任意两条流线的流函数之差等于任意两条流线的流函数之差等于 通过这两条流线间的单宽流量通过这两条流线间的单宽流量xyl dnuydxdnxdydl d1cossin3. 平面流动与流函数平面流动与流函数(3) 平面无旋运动的等流函数线与等流速势线正交（不证）平面无旋运动的等流函数线与等流速势线正交（不证）。0d

50、yudxudxy=c (流线流线）0dyydxxd=c (等势线等势线）0dyydxxdyxuudydxxyuudxdy1xyyxuuuudxdydydx0dyudxudyx3. 平面流动与流函数平面流动与流函数在平面流动中，有时用极坐标更为方便。在平面流动中，有时用极坐标更为方便。rrurrru3. 平面流动与流函数平面流动与流函数 例例4.2.2 904.2.2 90角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数 已知已知: 90: 90角域流的速度分布式为：角域流的速度分布式为：求：（求：（1 1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；）判断该流场是否存在速度势，若存在

51、请确定其形式并画等势线图； （2 2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图； 解：解：（1 1）先计算速度旋度）先计算速度旋度 说明流场是无旋的，存在速度势说明流场是无旋的，存在速度势 ( (x x, , y y) )。0yuxuxyzkxux)(212yfkx ckyyf221)(kyvyfy)( 为常数）。（kkyukxuyx, 例例4.2.2 904.2.2 90角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数 已知已知: 90: 90角域流的速度分布式为：角域流的速度分布式为： 解：解：（1 1）先计算速度旋度）先

52、计算速度旋度 )(212yfkx ckyyf221)(cyxk)(2122 等势线方程为等势线方程为x x2 2- -y y2 2= =常数，在常数，在xyxy平面上是分别以第一、三象限角平分平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族。实线。线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族。实线。 为常数）。（kkyukxuyx,（2 2）再计算速度散度）再计算速度散度 上式中上式中c c为常数，流函数为为常数，流函数为 流线方程为流线方程为xyxy= =常数，在常数，在xyxy平面上是分别以平面上是分别以x x, ,y y轴为渐近线的双曲线族，轴为渐近线的双曲线族，

53、虚线。虚线。x x, ,y y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。 kxyc(b)说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数( (x,yx,y) )0kkyuxuuyxkxuy)(xgkxy kyvxgkyx)( 0)( xgcxg)(已知已知: 90: 90角域流的速度分布式为：角域流的速度分布式为： 为常数）。（kkyukxuyx, 例例4.2.2 904.2.2 90角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数 平面势流平面势流平面流平面流存在速度势存在速度势 无旋流无旋流不可压缩不可压缩存

54、在流函数存在流函数挑选一些基本解挑选一些基本解i(i)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。，叠加后若满足边界条件即是所求之解。020yuxuxyyuxuyx,0yuxuyx0202ixuyuyx,02i平面势流平面势流无旋流无旋流0yuxuxy- 均流均流物理背景物理背景 全流场以等速全流场以等速(u)做平行直线流动做平行直线流动cossinu xyycossinuxcosuxursinuyur速度分布速度分布势函数势函数流函数流函数0,yxuuusin,cosuuuuyx4. 基本平面势流基本平面势流- 点源与点汇点源与点汇物理背景物理背景 点源（点源（q 0）：流体从一点均匀地流向各方向；

55、）：流体从一点均匀地流向各方向； 点汇（点汇（q 0）：流体从各方向均匀地流入一点。）：流体从各方向均匀地流入一点。ln2qr2q当源汇位于原点当源汇位于原点o，势函数和流函数为，势函数和流函数为速度分布式为速度分布式为:02rurqrur4. 基本平面势流基本平面势流3.5.4 点涡点涡物理背景物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为与平面垂直的直涡线（强度为）诱导的流场。）诱导的流场。2ln2r 当点涡位于原点当点涡位于原点o，势函数和流函数为，势函数和流函数为速度分布式为速度分布式为:0rrurrrru2- 偶极子偶极子当偶极子位于原点当偶极子位于原点22cos22mmxrxy22sin22

56、mmyrxy 等势线等势线=c2221124xycc2221124xycc流线流线 =c物理背景物理背景: 点源点汇无限接近点源点汇无限接近(0)形成的流场。形成的流场。 （偶极矩（偶极矩m = q= 常数，源常数，源汇）汇）2cos2rmur2sin2rmu4. 基本平面势流基本平面势流- - 兰金半体绕流：均流兰金半体绕流：均流+ +点源点源已知已知: : 位于原点的强度为位于原点的强度为q q（q q0 0）的点源与沿）的点源与沿x x方向速度为方向速度为u u的均流叠的均流叠 加成一平面流场。加成一平面流场。求：求： （1 1）流函数与速度势函数；（）流函数与速度势函数；（2 2）速度

57、分布式；（）速度分布式；（3 3）流线方程；）流线方程； （4 4）画出零流线及部分流线图。）画出零流线及部分流线图。解：解： （1 1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为 （2 2）速度分布式为）速度分布式为 （3 3）流线方程为）流线方程为 常数常数c c取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场绕流物体的轮廓线。绕流物体的轮廓线。sin2qurcos2qurlnrsin2qurc（c）sin2cosururqurur4. 基本平面势流基本平面势流通过驻点通过驻点a a（- -b b,0,0）的右半部分零流线由）的右半部分零流线由a a点的流函数值决定点的流函数值