4.3利用二次函数解决实际中最值问题分析

1、第二章第二章 二次函数二次函数第第4 4节节 二次函数的应用二次函数的应用第第3 3课时课时 利用二次函数解决利用二次函数解决 实际中最值问题实际中最值问题1课堂讲解课堂讲解用二次函数表示实际问题用二次函数表示实际问题 利用二次函数最值解实际问题利用二次函数最值解实际问题2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：(1)引入自变量；引入自变量；(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关 的量；的量；(3)由几何图形的特征，

2、列出其面积的计算公式，并且用由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用 函数表示这个面积；函数表示这个面积；(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值1知识点知识点用二次函数表示实际问题用二次函数表示实际问题知知1 1讲讲 根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下 几个步骤：几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系 列出方程或等式列出方程或等式(3

3、)将方程或等式整理成二次函数的一般形式将方程或等式整理成二次函数的一般形式 例例1 如图，已知等腰直角三角形如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形的直角边长与正方形 MNPQ的边长均为的边长均为10 cm，AC与与MN在同一直线上，开在同一直线上，开 始时点始时点A与与M重合，让重合，让ABC向右移动，最后点向右移动，最后点A与点与点 N重合问题：重合问题： (1)试写出重叠部分面积试写出重叠部分面积y(cm2)与线段与线段MA的长度的长度x(cm)之之 间的函数关系式；间的函数关系式； (2)当当MA1 cm时，重叠部分的面积是多少？时，重叠部分的面积是多少？知知1 1讲讲知知1

4、1讲讲（来自（来自点拨点拨） (1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角 三角形，从而根据三角形，从而根据MA的长度可得出的长度可得出y与与x之间的函之间的函 数关系式；数关系式；(2)将将x1代入可得出重叠部分的面积代入可得出重叠部分的面积解：解：(1)由题意知，开始时由题意知，开始时A点与点与M点重合，让点重合，让ABC向右向右 移动，两图形重叠部分为等腰直角三角形，移动，两图形重叠部分为等腰直角三角形， 所以所以y x2(0 x10)； (2)当当MA1 cm时，重叠部分的面积是时，重叠部分的面积是 cm2.1212导引：导引：总总 结结知

5、知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 此题主要考查的是求动态几何图形中面积的此题主要考查的是求动态几何图形中面积的函数关系式，判断出重叠部分是等腰直角三角形函数关系式，判断出重叠部分是等腰直角三角形比较关键在确定实际问题中的函数关系式时，比较关键在确定实际问题中的函数关系式时，通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系式但要特别注意自变量的取值范围式但要特别注意自变量的取值范围1 在一幅长在一幅长60 cm，宽，宽40 cm的矩形油画的四周镶一条的矩形油画的四周镶一条 金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果

6、要 使整幅挂图的面积是使整幅挂图的面积是 y cm2，设金色纸边的宽度为，设金色纸边的宽度为 x cm，那么，那么y关于关于x的函数表达式是的函数表达式是() Ay(602x)(402x) By(60 x)(40 x) Cy(602x)(40 x) Dy(60 x)(402x)知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2 心理学家发现：学生对概念的接受能力心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念与提出概念 的时间的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提；当提 出概

7、念出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下时，学生对概念的接受能力就剩下31， 则则y与与x满足的二次函数表达式为满足的二次函数表达式为() Ay(x13)259.9 By0.1x22.6x31 Cy0.1x22.6x76.8 Dy0.1x22.6x43知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点利用二次函数的最值解实际问题利用二次函数的最值解实际问题知知2 2导导 服装厂生产某品牌的服装厂生产某品牌的T恤衫成本恤衫成本是每件是每件10元元.根据市场调查，以单价根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价

8、件，并且表示单价每降价0.1元，元，愿意多经销愿意多经销500件件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？最多？知知2 2讲讲1利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运 用用“总利润每件商品所获利润总利润每件商品所获利润销售件数销售件数”或或“总利总利 润总售价总成本润总售价总成本”建立利润与销售单价之间的二建立利润与销售单价之间的二 次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值 拓展：拓展： 现实生活中的许多最值问题都可通过建立二次函数的现实生活中的许

9、多最值问题都可通过建立二次函数的 模型进行解决模型进行解决2易错警示：易错警示：实际问题中的最大利润未必是顶点的纵实际问题中的最大利润未必是顶点的纵 坐标，即顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，坐标，即顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时， 要根据函数的性质去确定最大值要根据函数的性质去确定最大值知知2 2讲讲 例例2 某旅馆有客房某旅馆有客房120间，每间房的日租金为间，每间房的日租金为160元时，元时， 每天都客满每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日经市场调查发现，如果每间客房的日 租金增加租金增加10元，那么客房每天出租数会减少元，那么客房每天出租数会减少6间间 不考虑其他因素

10、，旅馆将每间客房的日租金提高不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高 到多少元时，客房到多少元时，客房日日租金的总收入最高？最高总租金的总收入最高？最高总 收入是多少？收入是多少？（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲设每间客房的日租金提高设每间客房的日租金提高10 x元，则每天客房出租数会元，则每天客房出租数会减少减少6x间间.设客房日租金总收入为设客房日租金总收入为 y元，元，则则 y = (160+10 x) (120- -6x)= - -60 (x- -2)2+ 19 440. x0,0,且且120- -6x0，0 x 20.当当x=2时，时，y最大最大= 19 440.这时每间客房的

11、日租金为这时每间客房的日租金为160 +102=180 (元元).因此，每间客房的日租金提高到因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人元时，客房总收人最高，最高收入为最高，最高收入为 19 440 元元.（来自（来自教材教材）解：解：知知2 2讲讲例例3 沈阳一玩具厂去年生产某种玩具，成本为沈阳一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元元/件，件， 出厂价为出厂价为12元元/件，年销售量为件，年销售量为2万件今年计划通过适当万件今年计划通过适当 增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩 具每件的成本比去年每件的成本增加具每件的成

12、本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩倍，今年这种玩 具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则倍，则 预计今年年销售量将比去年年销售量增加预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍倍(0 x1) (1)用含用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本 为为_元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_元；元； (2)求今年这种玩具每件的利润求今年这种玩具每件的利润y(元元)与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式； (3)设今年这种玩具的年销售利润为设今年这种玩

13、具的年销售利润为W万元，求当万元，求当x为何值为何值 时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少 万元？万元？知知2 2讲讲 由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(10.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (10.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1x)倍倍解：解：(1)(107x)；(126x) (2)y(126x)(107x)2x， 即即y与与x的函数关系式为的函数关系式为y2x. (3)W2(1x)(2x)2

14、x22x42(x- -5)24.5， 0 x1，当当x0.5时，时，W有最大值有最大值 W最大值最大值4.5. 答：答：当当x0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为售利润为4.5万元万元（来自（来自点拨点拨）导引：导引：总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） 本题利用本题利用建模思想建模思想求解，由今年与去年这种玩具的求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利总利润每件商

15、品所获利润润每件商品所获利润销售件数销售件数”可得二次函数的表可得二次函数的表达式，进而求出其最大值达式，进而求出其最大值1 某种品牌的服装进价为每件某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件元，当售价为每件210元元 时，每天可卖出时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：件，现需降价处理，且经市场调查： 每件服装每降价每件服装每降价2元，每天可多卖出元，每天可多卖出1件在确保盈利的件在确保盈利的 前提下，若设每件服装降价前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为元，每天售出服装的利润为 y元，则元，则y与与x的函数表达式为的函数表达式为() Ay x210 x1 200

16、(0 x60) By x210 x1 250(0 x60) Cy x210 x1 250(0 x60) Dy x210 x1 250(x60)知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）121212122 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益 y(元元)与旅行团人数与旅行团人数x(人人)满足表达式满足表达式yx2100 x 28 400，要使收益最大，则此旅行团应有，要使收益最大，则此旅行团应有() A30人人 B40人人 C50人人 D55人人知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3 (2016咸宁咸宁)某网店销售某款童装，每件售价某网店销售某款童装，每件售价60元，每星元，每星 期可卖期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售市场件，为了促销，该网店决定降价销售市场 调查反映：每降价调查反映：每降价1元，每星期可多卖元，每星期可多卖30件已知该款件已知该款 童装每件成本价童装每件成本价40元，设该款童装每件售价元，设该款童装每件售价x元，每星元，每星 期的销售量为期的销售量为y件件 (1)求求y与与x之间的函数表达式之间的函数表达式 (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大， 最大利润是多少元？最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于若该网店每星期想要