大学高等数学ppt课件第四章2平面图形的面积旋转体的体积计算

1、定积分的元素法定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（定积分的元素法分析（演示演示） 定积分的元素法（定积分的元素法（演示演示） 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx 和积分区间和积分区间a ,b。 一般地：若所求量一般地：若所求量u与变量的变化区间与变量的变化区间a , b有关，且关于有关，且关于a , b具有可加性，在具有可加性，在a , b中的任意一个小区间中的任意一个小区间x , x+dx上上找出部分量的近似值找出部分量的近似值du=f(x)dx,得

2、所求量的定积分表达式得所求量的定积分表达式 这种方法叫做定积分的元素法。这种方法叫做定积分的元素法。 du=f(x)dx称称为所求量为所求量u的元素。的元素。(,)bauf x dx直角坐标系下的平面图形的面积（演示）直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、 由由x=a ， x= b ,y=0 及及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为 )( baaf x dxab2、由、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及及 y=g (x) 所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为 )( ()()baaf xg xabdx3、 由由y= c ， y= d ,x=0 及及

3、x= (y) 所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为 )( dcaycdyd 平面图形的面积例题选举平面图形的面积例题选举例例1 计算由计算由 及及 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 2yx2yx例例2 计算由计算由 和和 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 22yx4yx例例3 求椭圆求椭圆 的面积。的面积。22221xyab解解1220822(2 ) 2(4)18aaaxxdxxxdx 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx d

4、ax1610 xeeadx11233 2x xadx323练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。102axx dx32123axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2,2yxyxyx（5） 83762 2222202axxdx12221xdx一般地：如右图中的阴影部分的面积为一般地：如右图中的阴影部分的面积为 dcafyg ydy练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。222,1yxyxy（6） 10()2yaydy或或 22(1)321222241yx

5、24 2yx法一：以法一：以 y 作积分变量作积分变量 3223122414 2axdxx dx法二：以法二：以 x 作积分变量作积分变量 221,244yxxy 22202(2)(1)44yyady22,4421xxyy（7） 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。4 234 231a例例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。求由下列给定曲线所围成的图形面积。33cossinxatyat 1044aaaydx20422sinc2s1ottadt 22022sin2s3inttdta22031 cos41 cos4att dt

6、22031 cos4coscos4 cos4atttt dt23.8a03324sincosatd at解由图形的对称性可得解由图形的对称性可得偶次方化倍角偶次方化倍角 222333xya即即旋转体的概念旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 演示演示xyxy旋转体的体积旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示演示）。）。aby=f (x)dcx=g (y)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式1、旋转轴为、旋转轴为 x 轴（轴（演示演示） 由由x=a , x= b ，y=0, y=

7、f (x) （a0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为22( )bbxaavf xdxdyx 由由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为22( )ddyccvg ydydxy2、旋转轴为、旋转轴为 y 轴（轴（演示演示）oxyp(h,r)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式例例 1 连接坐标原点连接坐标原点 o 及点及点 p( h , r) 的直线，直线的直线，直线 x=h及及 x轴围轴围成一个直

8、角三角形，将它绕成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为轴旋转构成一个底半径为 r，高为，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。的圆锥体，计算圆锥体的体积。x x+dx解解 如图所示如图所示 (0, )xh任取任取 (0, )xh，形成区间，形成区间 , x xdx体积元素为体积元素为 2dvy dx2rxdxh直线直线op的方程为的方程为 ryxh所求体积为所求体积为 22013hrvxdxr hh1a旋转体的体积例题选举旋转体的体积例题选举例例2 求星形线求星形线 绕绕 轴旋转构成旋转轴旋转构成旋转体的体积。体的体积。222333 (0)xyaax返回返回例例3 计算由曲线计算由曲

9、线 y=x2 与与 x=y2 所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕 y 轴旋转轴旋转一周而成的立体的体积。一周而成的立体的体积。解解 如图所示如图所示v2v112yvvv11221200 x dyx dy11400ydyy dy310练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 31,1,0yxxy160 xvx dx11600 xvdxx dx 32,1,0yxyxx1y=x31xy=x31绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1767 223,21xyxyy240 x dx练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积

10、分表达式绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1222021221vxdx32 23 2151y=x31y 35,1,yxxx213025yvydy 34,1,yxyy213035yvydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 1y=x3y21 226,21xyxyy2222011yvydyydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 32例例4 求由曲线求由曲线 及及 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线 旋转一周而构成的旋转体的体积。旋转一周而构成的旋转体的体积。24yx0y 3x yo-223 x414xy 24xy问题的提出问题的提出返回返回定积分元素法分析定积分元素法分析返回返回定积分元素法定积分元素法返回返回平面图形的面积（直角坐标）平面图形的面积（直角坐标）返回返回求面积例题求面积例题