高等数学教学课件汇编102第二类曲线积分

1、第二型曲线积分第二型曲线积分对坐对坐标的曲线积分标的曲线积分oxyabl1 nmim1 im2m1mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:baljyxqiyxpyxf),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.abfw .)()(1jyixmmiiii 一、问题的提出一、问题的提出求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyqxp取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyqxpw,),(),(),(jqipfiiiiii 取取1(,),iiiiiwfmm .),(),(iiiiiiiyqxpw 即即 niiww1近似值近似值精确值精确值

2、1.定义定义二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,.),(),(,11时时最大值最大值如果当各小弧段长度的如果当各小弧段长度的意取定的点意取定的点上任上任为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把在在 上沿上沿l l的方向的方向上有界上有界在在函数函数线弧线弧的一条有向光滑曲的一条有向光滑曲到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiyyyxxxnlllyxqyxpbaxoyl).,;, 2 , 1(0 nbmamnil),(,),(),(111222111 nnnyxmyxmyxml任意插入点列任意插入点列1iimm 1iimm 类似地定义类似地定义.

3、),(lim),(10iiniilyqdyyxq ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxqyxp.叫积分弧段叫积分弧段l记作记作线积分）线积分）或称第二类曲或称第二类曲的曲线积分的曲线积分上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数的极限存在的极限存在,(),(,),(1xlyxpxpniiii .),(lim),(10iiniilxpdxyxp 2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当lyxqyxp3.组合形式组合形式 llldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),()

4、,(),(),().,(),(dydxjdyidxdsqpjqipf 其中其中. ldsf4.4.推广推广l空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniilxpdxzyxp . lrdzqdypdx.),(lim),(10iiiniilyqdyzyxq .),(lim),(10iiiniilzrdzzyxr 5.5.性质性质则则和和分成分成如果把如果把,)1(21lll.21 lllqdypdxqdypdxqdypdx.21 lllrdzqdypdxrdzqdypdxrdzqdypdx则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(ll

5、l 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),( lldzzyxrdyzyxqdxzyxpdzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),(),(),(),(,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设

6、设 ldyyxqdxyxptytxtytxblalyxmttyytxxllyxqyxp定理定理三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算dttytytxqtxtytxpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),( 且且)( ，终点为，终点为的起点为的起点为t( , )( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( )( )lp x y dxq x y dyp x ty t x tq x ty ty t dt 特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyl，终点为，终点为起点为起点为 lqdypdx则则.)(:)2(dcyyxxl，终点为，终点为起点为起点为 lqd

7、ypdx则则)( ，终点为，终点为的起点为的起点为t.)()(,)(,dxxyxyxqxyxpba .),()(),(dyyyxqyxyyxpdc .,)()()(:)3( 终点终点起点起点推广推广ttzztyytxxl ldzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),(dttztztytxrtytztytxqtxtztytxp)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例1 将将 ldyyxqdxyxpi),(),(化为定积分化为定积分.yxl4:)1(2 上从点上从点(0,0)到到(2,1)一段一段.解解dxxxxqxxpi2)4,()4,(2202 1:)2(2

8、2 yxl按逆时针方向一周按逆时针方向一周.解解取取x为积分变量为积分变量,则则21xy ,1:21xyl 221:xyl dxxxxxqxxpi1)1,()1,(22211 dxxxxxqxxp1)1,()1,(22211 例例2 计算计算dyxdxyil22 2:)1(xyl 从从 到到x=1一段一段.21:)2(xyl 从从 到到x=1一段一段.1 x1 x解解dxxxxi2)(11222 .52 奇函数奇函数(1)dxxxxxi1)1(11222 .34 奇函数奇函数(2)由例由例2看出看出: 被积函数相同，起点和终点也相被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同同，但路径

9、不同积分结果不同.例例3).1 , 1(),0 , 1)(0 , 0(,)2(;)1 , 1()0 , 0()1(,222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算baooabboxyldyxxydxil 2xy )1 , 1(b解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变到变到从从xxyl 1022)22(dxxxxxi 1034dxx. 1 aboadyxxydxdyxxydxi2222)2(,上上在在 oa,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxoa. 0 ,上上在在 ab,10,

10、1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxab. 1 10 i. 1 ) 0 , 1 (a)1,1(b由例由例3知知:被积函数相同，起点和终点被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同也相同，但路径不同而积分结果相同.例例4 计算计算ydzxzdyydxxi2233 : 从点从点a(4,1,2)到到o(0,0,0)直线段直线段.解解ao方程方程:tzyx 214则则. 01:,2,4 ttztytx 01223)21623464(dtttttti.2115 三、三、 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系： rdzqdypdxdsrqp)coscoscos

11、( cos,cos,cos是是 上点上点(x,y,z)处的切线的处的切线的方向余弦方向余弦(切线的方向与切线的方向与 方向一致方向一致). ,cosdsdx ,cosdsdy ,cosdsdz lrdzqdypdx则则 ldsrqp)coscoscos( ldsta lrda, ltdsa，其中其中,rqpa ,cos,cos,cos t处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyxl,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量taat的方向一致的方向一致的方向与曲线的方向与曲线lt例例1将将 lqdypdxi化为第一型曲线积分化为第一型曲线积分.(1)l:从从o(0,0)到到a(1,1)直线段直线段.解解切线向量切线向量,:xyoa )1 , 1( t方向余弦方向余弦21cos,21cos lqdypdxi.)2121(dsqpl 2:)2(xyl 上从点上从点(1,1)到到(0,0).解解切线向量切线向量)2 , 1(xt 方向余弦方向余弦,411cos2x ,412cos2xx lqdypdx.411)2(2dsxxqpl xyo ),(yx例例2 证明证明( , , )( ,