解排列组合应用题的策略

1、解排列组合应用题的策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证 明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一 谈排列组合应用题的解题策略 1.相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列例1代B,C,D,E五人并排站成一排， 如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有A . 60 种B . 48 种C. 36 种 D. 24 种【答案】D【解析】把A, B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于 4人的全排列， A4 =24种.【变式1】7人站成一排，其中甲乙相

2、邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5A；A2 =480种不要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列【变式2】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20【解析】没命中的4枪有5个空，连续的命中的3枪捆绑到一起，和单独命中的一枪插空，共有A2=2O 种方法【解析2】用列举法列举出来123123123123123

3、1232.相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A . 1440 种B . 3600 种C . 4820 种 D . 4800 种【解析】除甲乙外，其余 5个排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是A5A2 =3600 种，选 B 【变式1】一个晚会的节目有 4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序 有多少种？【解析】分两步进行第一步排 2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一步

4、排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A：不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 A；A：种【变式2】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30。【解析】民=303. 定序问题缩倍（空位插入）法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法例3代B,C,D,E五人并排站成一排， 如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排 法种数是A . 24 种B . 60 种C . 90 种D . 120 种【解析】B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设

5、的排法只是 5个元素全排列数的一半，1即a5 =60种，选B 2【变式1】7人排队，其中甲乙丙 3人顺序一定共有多少不同的排法？【解析】（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：A；/ A3（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A；种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A；种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗？（插入法）先排甲乙丙三个人，共有C；种排法，再把其余4四人依次插入共有 A4种方法，所以共有 c；a4种排法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插【变式2】1

6、0人身高各不相等，排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？第2页（共12页）解排列组合应用题的策略【答案】Cjq （10人中选5人，排到前排，选出来之后身高确定，因此位置确定，后排的5人位置也就确定了）4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A . 6 种B. 9 种C . 11 种 D . 23 种【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数

7、字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X1=9种填法，选B .5. 有序分配问题逐分法有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法例5.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是A . 1260 种B . 2025 种C . 2520 种 D . 5040 种【解析】先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有G：C8C； = 2520种，选C .【解析 2 】g4）C：C； = 2520【变式1】12名同学

8、分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A . C12C8C4 种【答案】AB . 3C；C；C：种C .C12C8 A 种6. 全员分配问题分组法：例6.4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？【解析】把四名学生分成3组有C：种方法，再把三组学生分配到三所学校有A种，故共有C：A；二36种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配【变式1】5本不同的书，全部分给 4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A . 480 种B . 240 种C . 120 种 D . 96 种【答案】B【解析

9、】C；A - 240 （ 5人分3组较难，后期有试题加入）7. 名额分配问题隔板法例7.10个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案?【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成 7堆，每堆至少一个, 可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案， 故共有不同的分配方案为C96 =84种.olo ololo ololo o七 班将n个相同的元素分成 m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板, 插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为8. 限制条件的分配问题分类法 ：例8.某高校从

10、某系的10名优秀毕业生中选 4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【解析】因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： 若甲乙都不参加，则有派遣方案 A84种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3种方法，然后安排 其余学生有 A方法，所以共有3A83 ；若乙参加而甲不参加同理也有 3A3种；若甲乙都参加，则 先安排甲乙，有 7种方法，然后再安排其余 8人到另外两个城市有 a2种，共有7A2方法所以共有 不同的派遣方法总数为 a4 3A83 3A83 *72=4088种【分解】甲乙都不选 A4 =1680 甲乙都选

11、，第一步C；（其他8人选2人）第二步甲去西宁：A，甲不去西宁c2c2a2所以 C：（A3 +C；C2a|） =392 甲参加乙不参加 c；c3a3=1008 乙参加甲不参加 c；c3a3 = 1008所以不同派遣方法总数为 1680+392+1008+1008=40889. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计例9.由数字0, 1, 2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A . 210 种B . 300 种C . 464 种 D . 600 种【解析】按题意，个位数字只可能是0, 1, 2, 3, 4共5种

12、情况，分别有 A个，A4A3 A3, A3A3A3 , A2A3a3 , A3 A3 个，合并总计 300 个,选 B.【变式1】从1 , 2, 3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？【解析】被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做 A二7,14,21, L 98共有14个元素，不能被7整除的 数组成的集合记做 A=1,2,3,4L 100共有86个元素；由此可知，从 A中任取2个元素的取法有 C：,从A中任取一个，又从A中任取一个共有C；4C86 ,

13、两种情形共符合要求的取法有 c： . C；4C；6 =1295种.【变式2】从1, 2, 3,，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？【解析】将I =1,2,3, L 100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A二4,8,12, L 100；能被4除余1的数集B二1,5,9丄97，能被4除余2的数集C =2,6, L 98，能被4除余3的数集 D -3,7,11, L 99，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从 C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要 求的取法共有c；5 -

14、 c；5c25 c25种.10. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例10. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】老师在中间三个位置上选一个有a3种，4名同学在其余4个位置上有a4种方法；所以共有a3a4=72 种。.11. 多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例11.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A . 36 种B . 120 种C. 720 种 D. 1440 种【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一

15、排，共A?=720种，选C.【变式1】8人排成前后两排，每排4 人,其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法【解析】8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A2种,再排后415215个位置上的特殊元素丙有 A4种,其余的5人在5个位置上任意排列有 A5种,则共有A4A4A5-5760一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研【变式2】有两排座位，前排 11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的 3个座位不能坐，并且这 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346, 2【解析】两人都在后排：An =110 （空座位10人，11个空，两人坐

16、椅子插入空位） 都在前排：都在左或者都在右 2A -2 6=12一左一右：c：c4a2=32 前后两排：C12c4a； =192所以不同排法的种数是 110+12+32+192=34612.圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周 n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a1,a2,a3丄an;a2,a3,a4,L an,L ;an,a1丄an4在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有 卫种因此可将某个元素固定展成单

17、排，其它的n-1元素全排列n例12.8人围桌而坐，共有多少种坐法？【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把 圆形展成直线其余 7人共有（8-1）！种排法即7 ！AGABCDEFGHA一般地,n个不同元素作圆形排列，共有（n-1）!种排法 如果从n个不同元素中取出 m个元素作圆形排列共有一A：n【变式1】6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈【解析】A 602【变式2】5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？【解析】首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐5的左边和右边，有 2种方式，故不同的安排方

18、式 24 2 =768种不同站法.1说明：从n个不同元素中取出 m个元素作圆形排列共有 丄岸种不同排法m13. 至少”至多”问题用间接排除法或分类法 ：例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取 3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A . 140 种B . 80 种C. 70 种 D . 35 种【解析1】逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有c5方阵选出3 X3方阵便可解决问题从5 X5方队中选取3行3列有C；C；选法所以从5 X5方阵选不在同一行也不在同一列的 人有 c53c53c1c2ci1 选法。处理复杂的排列组合问题

19、时可以把一个问题退化成一个简 要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题21. 平均分组问题除法策略例21.6本不同的书平均分成 3堆，每堆2本共有多少分法？【解析】分三步取书得 c2c2c；种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDEF，若 第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则CfcfC；中还有 3(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A3 种取法，而这些分法仅是(AB,CD,EF) 一种分法，故共有C；C：C；/A3种分法

20、。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以An (n为均分的组数)避免重复计数。【变式1】将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？ ( G；C；C：/a2 )【变式2】10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法(1540)【变式3】某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 ( c：c；a2/a2=9o )22. 合理分类与分步策略例22.在一次演唱会上共 10名演员，其中8人能能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞

21、的节目，有多少选派方法【解析】10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究2 2只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C3C3种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员c5c3c：种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有 cfc;种，由分类计数原理共有c|c| C5C3C42 cfcf种。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。23. 数字排序问题查字典策略例23.由0,1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？【解析】N =2A +2A： + A3 +A| +A1 =297数字排序问题可用查字典法，查字典的法应从高位向低位查，依次求出其符合要求 的个数，根据分类计数原理求出其总数。【变式1】用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第71个数是314024. 树图策略例24. 3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有 N = 10对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不