高等数学定积分课件

1、高等数学高等数学Advanced Mathematics第六章第六章 定积分定积分一、定积分问题举例一、定积分问题举例二、定积分的定义二、定积分的定义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的一种认识问题、分析问题、解决问题的不定积分侧重于基本积分法的训练不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.第一节第一节 定积分定积分的概念与性质的概念与性质1.曲边梯形的面积曲边梯形的面

2、积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出来的。定积分概念也是由大量的实际问题抽象出来的。 求由连续曲线求由连续曲线及及0)( xfy所所围围成成0, ybxax和和直线直线.A的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积一、一、定积分问题举例定积分问题举例ab)(xfy Oxy?A habAhxf)(,)()( 矩形面积公式为矩形面积公式为时时常数常数用用矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积（五个小矩形）（五个小矩形）（十个小矩形）（十个小矩形）思想思想: :以直代曲以直代曲显然显然,小矩形越多小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边矩形总面积越接近曲边近似取代曲边梯形面积近似取代曲边梯形面积OxyOxyab)(x

3、fy 个个分成分成把区间把区间nba,1iixx 在在每每个个小小区区间间 采取下列四个步骤来求面积采取下列四个步骤来求面积A.(1) 分割分割任任意意用用分分点点,1210bxxxxxann (2) 取近似取近似为为底底，以以,1iixx 的的窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积上上对对应应表表示示,1iiixxA ;1 iiixxx，小区间小区间,1iixx 长度为长度为)(if 为高的小矩形为高的小矩形,面积近似代替面积近似代替Oxyix1x1ix 1 nx，上任取一点上任取一点i i iA (),1,2,iiiAfx in 有有,iA A1lim()niiiAfx (3) 求和求和 这些小

4、矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积面积A的近似值的近似值.(4) 求极限求极限 为了得到为了得到A的精确值的精确值,时时，趋趋近近于于零零)0( 取极限取极限,形的面积形的面积:分割无限加细分割无限加细,iniixf )(1 极限值就是曲边梯极限值就是曲边梯,max21nxxx 即小区间的最大长度即小区间的最大长度0 ab)(xfy Oxyi iA ix1x1ix 1 nx二、定积分的定义二、定积分的定义设函数设函数f (x)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入中任意插入定义定义若干个分点若干个分点bxxxxxann 1210把区间把区间a,b分成分成n个小

5、区间个小区间, 各小区间长度依次为各小区间长度依次为), 2 , 1( ,1nixxxiii 在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点),(iiix 作乘积作乘积), 2 , 1()(nixfii 并作和并作和iinixfS )(1 记记,max21nxxx 如果不论对如果不论对(1)(2)(3)(4),ba被积函数被积函数被积表达式被积表达式记为记为积分和积分和怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间,1iixx 上点上点i 怎样的取法怎样的取法,只要当只要当,0时时 和和S总趋于确定的总趋于确定的极限极限I,称这个称这个极限极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的定积

6、分定积分. .iniibaxfIxxf )(limd)(10 积分下限积分下限积分上限积分上限积分变量积分变量a,b积分区间积分区间 baxxfd)( bafd)(,)()1(11iiiniixxbaxfS 的分法及在的分法及在是与是与 ,)(lim110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是与是与 (2) 的结构和上、下限的结构和上、下限, 今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理进行推理.定积分是一个数定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分数值只依赖于被积函数取取法法上上i 有关有关; ;注注取取法法上上i 无关无关. .而与积

7、分变量的记号无关而与积分变量的记号无关.tt bafd)(u u, 0)( xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值 baxxfd)(1. 几何意义几何意义2A 1A 3A 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义Oxyab)(xf1A2A3A几何意义：几何意义： baxxfd)(各部分面积的代数和各部分面积的代数和.取负号取负号.它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f (x) 的图形及两条的图形及两条直线直线 x = =a, x = = b之间的之间的在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号;在在

8、x 轴下方的面积轴下方的面积Oxyab)(xf 例例xx d1102 求求解解4 xx d110221xy oxy11定理定理1定理定理2或或记为记为.,baRf 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866),)(上上连连续续在在设设baxf上上在在则则,)(baxf可积可积. .,)(上上有有界界在在设设baxf且只有有限个间且只有有限个间上上在在则则,)(baxf可积可积. .当函数当函数上上在区间在区间,)(baxf的定积分存在时的定积分存在时,上上在区间在区间称称,)(baxf可积可积. .黎曼可积黎曼可积, , 断点断点, ,充分条件充分条件四、定积分的存在定理四、定积分的存在

9、定理解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例 用定义计算由抛物线用定义计算由抛物线,2xy ,等分等分n,nixi 分分点点为为分分成成将将1 , 0和和x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线1 xni2 , 1 小区间小区间,1iixx 的长度的长度,1nxi ni2 , 1 取取,iix ni2 , 1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxin1n niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim31 niinixf )(1 nn

10、121161对于任一确定的自然数对于任一确定的自然数,n积分和积分和 xx d102当当n取不同值时取不同值时,xx d102 近似值精度不同近似值精度不同.n取得越大取得越大,近似程度越好近似程度越好.,1nxi 对定积分的对定积分的补充规定：补充规定：,)1(时时当当ba baxxfd)(0,)2(时时当当ba baxxfd)( abxxfd)(在下面的性质中在下面的性质中, 假定定积分都存在假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小第二节第二节 定积分的性质定积分的性质证证 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim1

11、0 iinixg )(lim10 baxxfd)( baxxgd)(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质1 baxxgxfd)()( babaxxgxxfd)(d)(性质性质2 baxxkfd)( baxxfkd)()( 为常数为常数k性质性质1和性质和性质2称为称为线性性质线性性质. .cba,例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)则则性质性质3 cbxxfd)( cbxxfd)(假设假设bca ba

12、xxfd)( axxfd)( bxxfd)(cc的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.不论不论证证0)( xf0)( if ni, 2 , 1 0 ix0)(1 iinixf ,max21nxxx 01lim()niiifx 0 性质性质4性质性质5 baxd1 baxdab 如果在区间如果在区间上上,ba, 0)( xf则则 baxxf0d)()(ba ( )dbaf xx 解解 令令xexfx )(0, 2 x0)( xf0d)(02 xxexxexd02 xxd02 于是于是xexd20 xxd20 比较积分值比较积分值xexd20 和和xxd20 的大小的大小.例例性质性

13、质5的推论的推论1证证)()(xgxf 0)()( xfxg0d )()( xxfxgba0d)(d)( babaxxfxxg如果在区间如果在区间上上,ba),()(xgxf 则则 babaxxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 babaxxgxxfd)(d)(性质性质5 如果在区间如果在区间上上,ba, 0)( xf则则 baxxf0d)()(ba )(ba 证证| )(|)(| )(|xfxfxf 说明说明性质性质5的推论的推论2性质性质5 如果在区间如果在区间上上,ba, 0)( xf则则 baxxf0d)()(ba babaxxfxxfd| )(|d)( babaxxfxxfd|

14、)(|d)( baxd baxd baxd可积性是显然的可积性是显然的.上上的的在在,| )(|baxf由由推论推论1证证Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba (此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质6mM和和设设分别是函数分别是函数上上的的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba 则则解解xxf3sin31)( , 0 x1sin03 x31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 3dsin31403 xx估计积分估计积分.dsin3103

15、的值的值xx 例例)(d)()(abMxxfabmba 解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4 x,2,4)( Cxf估计积分估计积分.dsin24的的值值xxx 例例上上在在 2,4)( xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab dxxx24sin 422 42 )(d)()(abMxxfabmba 22 21证证Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理由闭区间上连续函数的介值定理:性质性质7(定积分中值定理）定积分中值定理）如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间上上,ba连

16、续连续, ,则在积分区间则在积分区间上上,ba至少存在一点至少存在一点 , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 积分中值公式积分中值公式上上在在,ba至少存在一点至少存在一点 , baxxfabfd)(1)( 使使即即)(d)(abfxxfba ).(ba 定理用途定理用途 )( f注注性质性质7( (定积分中值定理）定积分中值定理） 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间上上,ba连续连续, ,则在积分区间则在积分区间上上,ba至少存在一点至少存在一点 , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 无论从几何上无论从几何上, 还是从物理上还是从

17、物理上, 都容易理解都容易理解平均值公式平均值公式求求连续变量的连续变量的平均值平均值要用到要用到. .如何去掉积分号来表示积分值如何去掉积分号来表示积分值. baxxfabfd)(1)( )(ba .,)(上的平均值上的平均值在区间在区间就是就是baxf积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释)(d)(abfxxfba )(ba 上上,ba至少存在一点至少存在一点 在区间在区间, 使得以区间使得以区间,ba为底边为底边,以曲线以曲线)(xfy 为曲边的曲边梯形的为曲边的曲边梯形的面积面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的一个矩形的面积的一个矩形的面积.)(xfy ab )(

18、fOxy例例0dsinlim xxxannn求求证证证证 由由积分中值定理积分中值定理有有 xxxanndsin annn xxxannndsinlim annn sinlim 0 (a为常数为常数)nn sin)()(d)(baabfxxfba ()nan证明证明0dsinsinlim40 xxnxnn 求求证证证证,4, 0时时当当 x |sinsin|xnxn n4sin n 21xxnxndsinsin40 0421 n0)( n 夹逼定理夹逼定理即得即得0dsinsinlim40 xxnxnn 3. 定积分的性质定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用注意估值性质、积分中值定理

19、的应用)4. 典型问题典型问题(1) 估计积分值估计积分值;(2) 不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小.小结小结1. 定积分的实质定积分的实质: 特殊和式的极限特殊和式的极限.2. 定积分的思想和方法定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变以直代曲、以匀代变.四步曲四步曲:分割、分割、 取近似、取近似、求和、求和、 取极限取极限.思想思想方法方法).1( 设设解解.2 T周周期期 21例例 200dsin2ttE0 定积分几何意义定积分几何意义 E 2tE sin0td0求电动势求电动势在一个周期上的在一个周期上的tEE sin0 平均值平均值讨论定积分的近似计算问题讨论定积分的近

20、似计算问题:,)(baCxf 设设 baxxfd)(存在存在.用分点用分点bxxxxan ,210长度长度,nabx 取取,1 iix 有有 iniibaxfxxf )(limd)(10 baxxfd)( ni 1nab )(1 ixf nlim)(lim11 niinxfnab每个小区间每个小区间对任一确定的自然数对任一确定的自然数,n)(11 niixfnab将将 分成分成n个长度相等个长度相等的小区间的小区间, , a b将将 n等分等分, , a bnab baxxfd)()(11 niixfnab), 2 , 1 , 0(ni iiyxf )(记记取取,1 iix ,nabx 如取如

21、取,iix baxxfd)(nab baxxfd)(矩形法矩形法公式公式).(110 nyyy).(21nyyy 矩形法的矩形法的几何意义几何意义xOy)(xfy ab第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式 一、问题的提出一、问题的提出二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式(v(t)和和s(t)的关系的关系) 通过定积分的物理意义通过定积分的物理意义,例例变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21d)(TTttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs (v(t)和和s(t)的关系的关系)设某物体作直线运动

22、设某物体作直线运动,已知速度已知速度)(tvv tTT上上,21的一个连续函数的一个连续函数, 0)( tv且且求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔是时间间隔2121( )d()().TTv tts Ts T )()(tvts 一、问题的提出一、问题的提出其中其中积分的有效、简便的方法积分的有效、简便的方法.找到一个计算定找到一个计算定 如果能从如果能从v(t)求出求出s(t), 21d)(TTttv)()(12TsTs 这正是第四章已经解决了的微分运算的这正是第四章已经解决了的微分运算的定积分的计算是否有捷径可寻定积分的计算是否有捷径可寻进行进行一般性一般

23、性 的讨论的讨论.运算运算.定积分定积分运算就可化为减法运算就可化为减法)()(d)(1221TsTsttvTT 启发：启发：不定积分问题不定积分问题.逆运算逆运算 定积分定积分 attfd)(积分上限函数积分上限函数,bax ).(x 记为记为 注注一定要分清函数的一定要分清函数的如果上限如果上限 x 在区间在区间a,b上任意变动上任意变动,每一个取定的每一个取定的x值值,则对于则对于定积分有一个对应值定积分有一个对应值,所以它所以它在在a,b上定义了一个函数上定义了一个函数,设设f (x)在在a,b中可积中可积,则对任一点则对任一点x )(x 与与自变量自变量x积分变量积分变量t.xtt二

24、、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数xb xattfxd)()( 这个函数的几何意义这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性下面讨论这个函数的可导性.是如图是如图红色部分红色部分的面积函数的面积函数.ab)(xfy Oxyx)(x 证证 )(xx 定理定理1 1 (原函数存在定理原函数存在定理),)(baCxf 设设则积分上限函数则积分上限函数且且对对上上限限的的导导数数等等于于.,)()(上上的的一一个个原原函函数数在在是是baxfx 因为因为,上上的的可可导导函函数数是是ba即即函数在上限处的值函数在上限处的值被积被积. xxxd)(d)( xattfxd)()( )(xf

25、)(bxa xattfd)()()(xxx xdd从而从而ttfad )( xx )()(xxx .之之间间与与在在xxx )( fx ,)(上上连连续续在在因因baxfxxx 0lim)( )(lim fx )(xf .x 积分中值定理积分中值定理xf )( xxxttf d)(定积分性质定积分性质3故故,0时时而而 x xattfd)( xxattfd)(ab)(xfy Oxyx)(x )( fxx 定理定理1指出指出:积分联结为一个有机的整体积分联结为一个有机的整体(2) 连续函数连续函数 f (x) 一定有原函数一定有原函数, xattfxd)()( 就是就是f(x)的一个原函数的一个

26、原函数.(1) 积分运算和微分运算的关系积分运算和微分运算的关系,它把微分和它把微分和所以它是微积分学基本定理所以它是微积分学基本定理.函数函数 微积分微积分,推论推论d1( )ddaxf ttx 、)(xf ,)(baCxf 设设,)(可可导导函函数数xg.,bax 例例 ).(,d1)(02xfttttxfx 求求设设解解 )(xf12 xxx()d2( )ddg xaf ttx 、( )f g x)(xg ( )ug x ()d( )ddg xaf ttx d( )dduaf ttx xudd d( )dduaf ttu d( )duf ux ( )f g x )(xg 例例 ).(,d

27、11)(2sin2xfttxfx 求求设设解解xusin ( )fx xudd xx2sin1cos xucos112 uttu22d11dd推论推论d3( ) ( )ddxag x f ttx 、 xattfxgd)()()(xg xattfd)(xdd )()(xfxg 例例22sinxtadxedtdx 22sinsin222xtxaedtexxx 22sin3sin22xtxaxedtx e 例例 ).(,d)(23xftexfxxt 求求设设解解tetexfxtxtdd)(32 20dxtte texxfxtddd)(202xe textd30 x2 3xe 23x 00texxtd

28、dd30 ()()d4( )ddg xh xf ttx 、()()d( )ddg xh xf ttx ( )( )d( )d( )ddg xaah xf ttf ttx ( )f g x )(xg ( )f h x ( )h x ( )( )f g xg x ( )( )h xxfh 例例21cos0dlim2xtextx 解解 1cosddd2xttex xttexcos1ddd2xe2cos xex2cossin 21cos0dlim2xtextx xexxx2sinlim2cos0 e21 00这是这是 型不定式型不定式,分析分析应用应用洛必达法则洛必达法则)(cos x证证 )(xF

29、)(xF01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf为单调增加函数为单调增加函数.上上在在1 , 0)(xF1 10td,1 , 0)(上上连连续续在在设设xf. 1)( xf且且证明证明: xttfx01d)(2上上在在1 , 0只有一个解只有一个解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一个解只有一个解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或证证 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd例例. 0)(), 0)( xfxf内内连连续续且且在在设设证明函数证明函

30、数 xxttftttfxF00d)(d)()(内内在在), 0( 为单调增加函数为单调增加函数. xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF200)d)(d)()()()( xxttfttftxxfxF0 )0( x0)( xf0 20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF内内在在), 0( 为单调增加函数为单调增加函数.故故)(xF0( )xf t dt 0 0() ( )xxt f t dt 且且满满足足连连续续时时当当,)(,0 xfx ).2(f求求,d)()1(02 xxxttf 分析分析 求求必须先化掉必须先化

31、掉积分号积分号,只要对所给积分方程两边求导即可只要对所给积分方程两边求导即可.解解 对所给积分方程两边关于对所给积分方程两边关于x求导求导,得得.51)2( f即即,1时时当当 x),2(f需先求出需先求出).(xf1 即即)32()1(22xxxxf 1 15)2( f )1(2 xxf2(1)xx ()()d( )ddg xh xf ttx ( )( )f g xg x ( )( )h xxfh d( )( )dxxx )(xf )(bxa xattfd)(xdd( )( )dxaxf tt )(bxa 变上限函数变上限函数微积分学基本定理微积分学基本定理例例21cos0dlim2xtex

32、tx 解解 1cosddd2xttex xttexcos1ddd2xe2cos xex2cossin 21cos0dlim2xtextx xexxx2sinlim2cos0 e21 00这是这是 型不定式型不定式,分析分析应用应用洛必达法则洛必达法则)(cos x证证 )(xF( )Fx 又又因因01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf为严格单调增加函数为严格单调增加函数.( )0,1F x在在上上1 10td,1 , 0)(上上连连续续在在设设xf. 1)( xf且且证明证明: xttfx01d)(2上上在在1 , 0只有一个解只

33、有一个解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一个解只有一个解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或,)(d)(CxFttfxa 定理定理2 (牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨公式公式),)()(CxFx ,bax 证证牛顿牛顿( (英英)16431727)16431727 莱布尼茨莱布尼茨( (德德)16461716)16461716如果如果)(xF是连续函数是连续函数上上区区间间在在, )(baxf的一个原函数的一个原函数, 则则)()(d )(aFbFxxfba xattfxd)()( 都是都是f(x)在在a,baa因为因为及及)(xF上的原函数上的原函数, 故有故有

34、C是待定常数是待定常数, 即有即有,bax 0 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式( )CF a )()(aFxF ttfxad)(),(aFC , bx 令令牛顿牛顿(Newton)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式)()(d)(aFbFxxfba 微积分基本公式微积分基本公式,bax 特别特别, xxfbad)( )baF x ( )( )F bF a CxFttfxa )(d)(bbd ( )baF x )()(d)(aFbFxxfba 微积分基本公式表明微积分基本公式表明 baxF)( 注注求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区

35、间一个连续函数在区间a, b上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间a, b上的增量上的增量.,时时当当ba )()(d)(aFbFxxfba 仍成立仍成立.例例 20d)1sincos2( xxx原式原式 20cossin2 xxx 23 解解 面积面积 A 0cosx 2 例例 解解轴轴上上与与在在计计算算曲曲线线xxy, 0sin 平面图形的面积平面图形的面积.所围成的所围成的xysin xsin 0 xd 1)1( Oxy 例例 , 21, 5, 10,2)(xxxxf设设.d)(20 xxf求求解解 20d)(xxf 1021d5d2xxx6 12

36、 10d)(xxf 21d)(xxfxyO5例例 222d,maxxxx解解 由图形可知由图形可知,max)(2xxxf 原式原式211 注注 如被积函数是分段函数如被积函数是分段函数, 应分段分成几个应分段分成几个再用再用牛牛莱公式莱公式.积分积分, 022dxx 10dxx 212dxx,2x02 x,2x,x10 x21 xxyO2xy xy 2 21xxxd)12(10 解解,210时时当当 x,121时时当当 x 原式原式 1dx41 ; 0)12( xx. 0)12( xx0)12( xx令令.21, 0 xx 0dx2121)12( xx )12( xx例例 例例解解xxd2si

37、n120 求求xxd2sin120 xxxd)sin(cos202 40)cos(sin xx 20dsincos xxx222 如被积函数有绝对值如被积函数有绝对值,注注 24)sincos( xx 再用再用去掉后去掉后,N-L公式公式.04 xxxd)sin(cos 4 2 xxxd)cos(sin 应分区间将绝对值应分区间将绝对值例例 已知函数已知函数 .21, 1,10,01, 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxf求积分上限的函数求积分上限的函数.d)()(1 xttfx 解解分段函数分段函数 )(x ,01时时当当 x xtd1,10时时当当 x xttd.21时时当当 x

38、xttd)1(10,22x,2322 xx, 1 x1 错错!已知函数已知函数 .21, 1,10,01, 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxf求积分上限的函数求积分上限的函数.d)()(1 xttfx 正确做法正确做法,)0 , 1时时当当 x xt1d1. 1 x xttfx1d)()( , 1 , 0时时当当 x xttfx1d)()( 1dt xtd00t1.212x ,2 , 1(时时当当 x xttfx1d)()( 1dt01 0dt1t xt1d)1( t.22xx .21,2,10,21,01, 1)(22时时当当时时当当时时当当xxxxxxxx 例例解解为为其其中中设

39、设 204)(,d)(2cos)( xfxxfxxf).(,xf试求试求连续函数连续函数 20,d)( Axxf令令Axxf2cos)(4 xAxAd)2(cos204 ,22143A ,)1(163 A.)1(83cos)(4 xxf则则xd20 xd)(20 例例 解解 nnnnn12111lim求极限求极限此极限实为一此极限实为一积分和的极限积分和的极限. ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x 2ln )1()(limd)(10 niiibaxfxxf 定积分是代数和的推广定积分是代数和的推广,无穷小无穷小的的无限项无限项的代数和的代数和.即它

40、表示每项为即它表示每项为用定积分求极限时用定积分求极限时,需将需将(1)式中的两个式中的两个任意量任意量 用特殊的值处理用特殊的值处理.10 x 11例例 10d|txtt解解计算定积分计算定积分令令0tx,0时时当当 x 10d|txtt 10d)(txtt231x ,10时时当当 x 10d|txtt x0ttxtd)( 1xtxttd)( 31233 xx,1时时当当 x 10d|txtt 10d)(ttxt312 xxt 微积分基本公式微积分基本公式积分上限函数积分上限函数(变上限积分变上限积分)( )( )dxaxf tt 积分上限函数的导数积分上限函数的导数( )( )xf x (

41、 )d( )( )baf xxF bF a 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系积分学之间的关系小结小结 ( )baF x 例例,)(),(上连续上连续在在设函数设函数baxgxf, 0)( xg且且 利用闭区间上连续函数的性质利用闭区间上连续函数的性质, 证明存在一点证明存在一点使使,ba xxgfxxgxfbabad )()(d)()( 证证最值定理最值定理上上在在,)(baxf 有最大值有最大值M 和最小值和最小值m,)(xf)(xg)(xg)(xg mM baxxgxfd)()(xd baxd baxd ba baxxgd)(M m介值定理介值定

42、理,ba )( f即证即证. babaxxgxxgxfd)(d)()( xxd14)1(2 x)1(2 x 1d4xxxxxxd11121222 xxxxd11121222 1()12d xx 21()2xx 1()12d xx 21()2xx 技巧技巧 例例 求求 解解原式原式=21arctan221xx 21 221 ln21 xx21 xx)0( xC 12证证 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd例例. 0)(), 0)( xfxf内内连连续续且且在在设设证明函数证明函数 xxttftttfxF00d)(d)()(内内在在), 0

43、( 为单调增加函数为单调增加函数. xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF200)d)(d)()()()( xxttfttftxxfxF0 )0( x0)( xf0 20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF内内在在), 0( 为单调增加函数为单调增加函数.故故)(xF0( )xf t dt 0 0() ( )xxt f t dt )21(lim2nnnn 求求极极限限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni 32例例 已知两曲线已知两曲线 0d)(2teyxfyt与与在点在点)0

44、 , 0(处的切线相同处的切线相同,写出此切线方程写出此切线方程,并求极限并求极限).2(limnnfn 解解0 x, 1 故所求切线方程为故所求切线方程为.xy )2(limnnfn nlim)2(nf0)0( f)0(f n22)0(2 f . 2 )(xfxarctane21x 2)(arctan x 0例例例例 解解求极限求极限 )cos1(dd)1arctan(lim0002xxuttxux 00 原原式式3000dd)1arctan(lim22xuttxux 0lim2 x2cos12xx )0(x 20d)1arctan(utt23xx0lim32 xx2)1arctan( 2x

45、x2 6432 00且且满满足足连连续续时时当当,)(,0 xfx ).2(f求求,d)()1(02 xxxttf 分析分析 求求必须先化掉必须先化掉积分号积分号,只要对所给积分方程两边求导即可只要对所给积分方程两边求导即可.解解 对所给积分方程两边关于对所给积分方程两边关于x求导求导,得得.51)2( f即即,1时时当当 x),2(f需先求出需先求出).(xf1 即即)32()1(22xxxxf 1 15)2( f )1(2 xxf2(1)xx xttftxx0d)()(dd0)()( xfxx对吗对吗? ?错错!分析分析,d)()(dd0中中在在 xttftxx其中的其中的x对积分过程对积

46、分过程是是常数常数,而积分结果而积分结果 xttftx0d)()(是是x的函数的函数.若被积函数是积分上限若被积函数是积分上限(或下限或下限)的函数中的的函数中的注意注意变量变量 x 及积分变量及积分变量 t 的函数时的函数时,应注意应注意 x与与t 的区别的区别.对对 x求导时求导时, 绝不能用积分上限绝不能用积分上限(或下限或下限)的变量的变量x替替换积分变量换积分变量. xttftx0d)()( xxtttfttxf00d)(d)( xttftxx0d)()(dd0)()( xfxx对吗对吗? ? xxtttfttfx00d)(d)(故故 xttftxx0d)()(dd)d)(d)(dd

47、00 xxtttfttfxx xxtttfxttfxx00d)(dd)d)(dd xttf0d)(.d)(0 xttf正确解答正确解答 因为因为)(xxf)(xxf 常义积分常义积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限广义积分广义积分推广推广无界域的面积无界域的面积, 电容器放电问题等等电容器放电问题等等.(反常积分反常积分)一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第五节第五节 广义积分广义积分 axxfd)( tatxxfd)(lim 定义定义1 1,),)(上

48、连续上连续在在设设axf,at 取取 axxfd)( 即即 axxf.d)(记作记作当极限存在时当极限存在时,称广义积分称广义积分当极限不存在时当极限不存在时, 称广义积分称广义积分如果极限如果极限存在存在,ttlim则称这个极限值为则称这个极限值为广义积分广义积分,(1)收敛收敛; ;发散发散. .( ) ,)f xa 在在上上的的一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分 bxxfd)( bttxxfd)(lim 即即当极限存在时当极限存在时,称广义积分称广义积分当极限不存在时当极限不存在时, 称广义积分称广义积分,()(上上连连续续在在设设bxf bt 取取 bxxfd)(上的上的在在为为

49、,()(bxf bxxf.d)(记记作作存在存在,ttlim如果极限如果极限则称这个极限值则称这个极限值广义积分广义积分,(2)收敛收敛; ;发散发散. .,),()(上上连连续续在在设设 xf如果广义积分如果广义积分和和 xxfd)( xxfd)(都收敛都收敛,则称上述两广义积分之和为函数则称上述两广义积分之和为函数 xxfd)( 0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf称广义积分称广义积分 tlim tlim00),(在在上的上的广义积分广义积分,tt即即收敛收敛;记作记作发散发散.否则称广义积分否则称广义积分(3)( )f x( )d ,f xx ( )df xx

50、( )df xx 注注为了方便起见为了方便起见, 规定规定:对反常积分可用如下的简记法使用对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式公式,.)()(的的原原函函数数是是连连续续函函数数若若xfxF aaxFxxf)(d)().(lim)(xFFx ),()(aFF ),()( FbF).(lim)(xFFx )(d)(xFxxf).()( FF 这时广义积分的收敛与发散取决于这时广义积分的收敛与发散取决于 和和 是否存在是否存在.)( F)( F( )d( )bbf xxF x 例例 计算广义积分计算广义积分.1d2 xx解解 21dxxxxarctanlim .22 xarctanxxarct

51、anlim 广义积分的积分广义积分的积分值值的的几何意义几何意义211xy Oxy例例 计算广义积分计算广义积分解解 2d1sin12xxx 21d1sinxx 21cosxxx1coslim . 1 2cos 2d1sin12xxx证证)1( 1d1xx 1ln x )2( 111pxp , 1 p, 1 p因此因此时时当当1 p收敛收敛, 其值为其值为;11 p时时当当1 p发散发散.1 p, 1 p11 p例例 证明广义积分证明广义积分,d11xxp .1时时发发散散当当 p,1时时收收敛敛当当 pxxpd11 xxpd11 定义定义2 2无无界界内内)(xf0, 取取 右右邻邻域域(

52、)dbaf xx baxxfd)(,d)( baxxf即即当极限不存在当极限不存在时时,称称广义积分广义积分).)(lim( xfx即即则称此极限为则称此极限为仍然记为仍然记为如极限如极限存在存在,0lim 也称也称广义积分广义积分点点在在a函数函数 a,)(上连续上连续在在设设baxf(二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分( (瑕积分瑕积分) )广义积分广义积分,收敛收敛; ; baxxfd)( baxxfd)(发散发散. .瑕点瑕点(1)( )( , f xa b在在上上的的0lim( )dbaf xx , 取取 0 0( )dbaf xx 否则否则,).)(lim( xfx即即(

53、 )dbaf xx 则定义则定义如极限如极限存在存在,0lim b,)(上上连连续续在在设设baxf)(2)称称广义积分广义积分 baxxfd)(发散发散. .点点 为为 瑕点瑕点, ,( )bf x 的的0lim( )dbaf xx lim( )dtatbf xx 上上在在设设,)(baxf baxxf写成写成d)( baxxfd)(若等号右边两个广义积分若等号右边两个广义积分 baxxfd)().)(lim( xfx即即 c如果如果 axxfd)( bxxfd)(cc则定义则定义( )dcaf xx ( )dbcf xx 0lim 否则否则,就称广义积分就称广义积分 baxxfd)(发散发

54、散. .都收敛都收敛,(3)广义积分广义积分注注 如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分分别讨论各段瑕点积分.通常通常用瑕点将区间分开用瑕点将区间分开,点点 为为 瑕点瑕点, ,( )cf x 的的0lim (),xc acb 除除外外 连续连续例例 计算广义积分计算广义积分解解).0(d022 axaxa 221limxax aax 为为瑕点瑕点, , axax022d220daxax 00lim arcsinaxa 0limarcsin0aa .2 0lim 这个广义积分值的这个广义积分值的直线直线x = 0与与x = a位于曲线位于曲线221xay x 轴轴之上之上,之间的图形面积之间的图形面积.几何意义几何意义之下之下, 221xa