线性代数期末复习吕线代ch23

1、 ch2 回顾回顾: 倒数倒数 , 1 baab1 定义定义: : 设设a是一个数是一个数, 若存在数若存在数b,使得使得1a则称则称b是是a的的倒数倒数, 记为记为b=或或 a-1.2 判别判别: : 数数a有倒数的充要条件是有倒数的充要条件是111212122212nnm nmmmnaaaaaaaaaa复习复习: 矩阵的概念矩阵的概念 a0.a数本身即为数本身即为1 11 1型矩阵型矩阵 ch2 【定义定义2.6】设设a为一个为一个方阵方阵, ,若存在同若存在同阶阶方阵方阵b,使得使得一一 逆矩阵的概念逆矩阵的概念注：注：(1) 可逆矩阵必须是可逆矩阵必须是方阵方阵； (2) 若方阵若方阵

2、a有逆矩阵，则逆是有逆矩阵，则逆是唯一唯一的的.原因原因: 由由amnbst=bstamn=e, ab=ba=e,则称则称a是是可逆矩阵可逆矩阵,称称b为为a的逆矩阵的逆矩阵,记为记为b=a-1.原因原因: 若若a有两个逆矩阵有两个逆矩阵b和和c, 即即ab=ba=e, ac=ca=e, 则则b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c.则则 m=n=s=t. ch2 (1) 由由ee=e知，单位矩阵知，单位矩阵e可逆，且可逆，且e-1=e；(2) 若若a2=e, 则则a可逆，且可逆，且a-1=a;例：例：(3) 若方阵若方阵a满足满足: :a2+2a-e=o. 说明说明a可逆可逆, ,并求并求

3、a-1. .解：解：由由 a2+2a-e=o 得得: :故由故由逆矩阵的定义逆矩阵的定义知：知：a可逆可逆, ,且且 a-1= a+2e.注注: : 求逆矩阵的方法之一求逆矩阵的方法之一: :a( )=e且且a+2e 利用定义利用定义. . ( )a=e.a+2e ch2 【定理定理2.1】设设a是是n阶方阵阶方阵, 则则【证明思路证明思路】利用逆矩阵的定义利用逆矩阵的定义. . (4)所以由定义知：所以由定义知：ab 可逆可逆, ,且且(ab)-1=b-1a-1 证毕证毕. . b-1a-1 (ab) (ab)b-1a-1 =a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1 =b-1(a-1a)b

4、 =b-1eb =b-1b二二 逆矩阵的性质逆矩阵的性质 (1) 若若a可逆可逆, 则则a-1也可逆也可逆,且且(a-1)-1=a;(2) 若若a可逆可逆, 数数k0, 则则ka也可逆也可逆, 且且(ka)-1=k-1a-1;(3) 若若a可逆可逆, 则则at也可逆也可逆, 且且(at)-1=(a-1)t;(4) 若若b与与a是同阶可逆矩阵是同阶可逆矩阵, 则则ab也可逆也可逆, 且且(ab)-1=b-1a-1. =e, =e.运算顺序运算顺序的交换性的交换性 ch2 (一一) 伴随矩阵：伴随矩阵：1 1 定义定义: : 设方阵设方阵a=(aij)nn，用用|a|中元素中元素aij的的代数余子

5、式代数余子式 aij 构成的矩阵构成的矩阵： 称为称为a的的伴随矩阵伴随矩阵, ,记为记为a*. 112111222212nnnnnnaaaaaaaaa三三 方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件 注意注意aij的排列顺序的排列顺序! !*a 灰常重要灰常重要! ! ch2 332313322212312111aaaaaaaaaaa 的的伴伴随随矩矩阵阵所所以以 222563462例例:.a的的伴伴随随矩矩阵阵求求矩矩阵阵 343122321解：解：112131122232132333a2a6a-4a-3a-6a 5a2a2a-2为因 ch2 设设a是是n阶方阵，则阶方阵，则 *.a aaaae

6、【证证】 nnnnnnnnnnnn*aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122221112112122212121110000.00aaa ea同理可得：同理可得：*.aaa e 2 性质：性质：行行列列式式的的按按列列展展开开定定理理证毕证毕. .最给力最给力! ! ch2 (二二) 方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件【定理定理2.2】设设a是是n阶阶方阵方阵, ,则则a可逆的充要条件是可逆的充要条件是0.a 【证证】必要性必要性.所以所以 |a|0.eaaaaaa11设设 , ,则由则由 得：得： 0aeaaaaa 11.aaa从而从而a可逆，且可逆，且 证毕证毕. .11 aaa

7、有有,0时时且当且当 a充分性充分性.设设a是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则aa-1=e，从而，从而|a| |a-1|=|e|=1, ch2 若若a与与b都是都是方阵方阵, 只需满足只需满足ab=e或或ba=e之一之一,则则b=a-1.0;0为为非非奇奇异异矩矩阵阵，称称若若为为奇奇异异矩矩阵阵，称称若若aaaa 注注:(1)n阶方阵阶方阵a可逆可逆0a .为为非非奇奇异异矩矩阵阵a(2)【证证】, 1, ebaabeab.a,a可逆可逆0 得：得：两端左乘两端左乘在在1 aeab.ab1 .1 abeba同理由同理由(3) 定理给了我们一种求逆矩阵的方法定理给了我们一种求逆矩阵的方法:.11 a

8、aa ch2 aaa11 22256346221 11125323231（三）用伴随矩阵求逆矩阵（三）用伴随矩阵求逆矩阵解：解： 222563462332313322212312111aaaaaaaaaa, 2a所以所以a可逆，先计算伴随矩阵可逆，先计算伴随矩阵： 343122321a例：例： 设矩阵设矩阵 ,求其逆矩阵求其逆矩阵a-1. ch2 例例. 1529538,122212221ba求满足求满足矩阵方程矩阵方程ax=b的矩阵的矩阵x,其中其中解解：027 a故故a可逆，且可逆，且 1222122219136663666327111aaabax1 用用a-1左乘左乘方程方程ax=b两边得两边得： 152953812221222191 31928359731792xba-1 ch2 ( (一一) )逆矩阵的定义逆矩阵的定义( (在方阵中在方阵中););( (二二) )可逆矩阵的性质；可逆矩阵的性质；( (三三) )方